弧齒錐齒輪基本參數(shù)優(yōu)化設(shè)計

孫月海，唐二星

（天津大學(xué)機械工程學(xué)院機構(gòu)理論與裝備設(shè)計教育部重點實驗室，天津300350）

弧齒錐齒輪是一種非常重要和復(fù)雜的傳動齒輪，具有承載力大和傳動平穩(wěn)的優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于汽車和航空航天工業(yè)中。弧齒錐齒輪是傳動系統(tǒng)的重要元件，其設(shè)計依舊是研究熱點，研究內(nèi)容主要包括齒面設(shè)計方法和齒面接觸性能優(yōu)化兩方面。

在齒面設(shè)計方法方面：Litvin等［1］提出了“局部綜合法”；方宗德等［2］研究了基于傳動誤差設(shè)計的弧齒錐齒輪設(shè)計方法；周凱紅等［3］發(fā)展了基于預(yù)定嚙合特性的點嚙合齒面設(shè)計方法；Wang等［4］基于局部綜合法提出了齒面設(shè)計的全局綜合法；Zhang等［5］提出了新的雙螺旋切齒法。近年來，Ease-off齒面拓?fù)湫拚鳛橐粋€新的研究熱點［6］，為齒面主動設(shè)計提供了新方法。其相關(guān)研究成果不斷涌現(xiàn)：曹雪梅等［7］實現(xiàn)了齒面嚙合特性的預(yù)控；魏冰陽等［8］提出了Ease-off曲面綜合法；張衛(wèi)青等［9］分析了共軛差曲面的求取問題；嚴(yán)宏志等［10］研究了基于Ease-off的弧齒錐齒輪齒面分區(qū)修形方法。

在齒面接觸性能優(yōu)化方面：Zheng等［11］提出了變形齒面接觸分析法；Achtmann、段路茜、錢學(xué)毅等［12-17］以不同的優(yōu)化設(shè)計變量，建立了滿足不同性能要求的多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，為齒輪優(yōu)化設(shè)計提供了參考。后續(xù)，許多學(xué)者又發(fā)展了基于齒面修形的性能優(yōu)化方法：王琪等［18］以控制參數(shù)為優(yōu)化變量，建立了以加載傳動誤差峰峰值和齒面最大接觸應(yīng)力最小為目標(biāo)的弧齒錐齒輪齒面優(yōu)化數(shù)學(xué)模型；蔣進(jìn)科等［19］以修形曲面參數(shù)為優(yōu)化變量，對基于Ease-off拓?fù)湫扌蔚臏?zhǔn)雙曲面齒輪進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計，獲得其滿意的修形齒面。

綜上可知，圍繞漸縮齒弧齒錐齒輪，現(xiàn)有研究主要是以局部共軛原理為基礎(chǔ)的設(shè)計與優(yōu)化，而從本質(zhì)上分析，局部共軛接觸是基于傳統(tǒng)的機械式機床加工運動的限制而提出和發(fā)展起來的［20］，得到的齒面副理論上為點接觸齒面，其實際接觸區(qū)域小，使得齒面承載能力的提升受到較大限制。事實上，采用機床調(diào)整參數(shù)補償技術(shù)可以實現(xiàn)齒面線接觸［21］。對于全齒面線接觸的齒輪副，須考慮其實現(xiàn)條件及接觸性能，若要在理論設(shè)計階段實現(xiàn)全齒面線接觸以及優(yōu)化齒面接觸性能，則要對弧齒錐齒輪齒面副關(guān)鍵的基本參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。

針對上述研究中存在的不足，為擴大齒面的接觸區(qū)域，實現(xiàn)全齒面接觸和優(yōu)化齒面接觸性能，筆者提出了弧齒錐齒輪基本參數(shù)優(yōu)化設(shè)計方法：首先，論證了采用機床調(diào)整參數(shù)補償技術(shù)可以實現(xiàn)齒面線接觸；其次，以弧齒錐齒輪基本參數(shù)為變量，建立全齒面線接觸的弧齒錐齒輪齒面性能多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，并運用現(xiàn)代多目標(biāo)骨干粒子群優(yōu)化算法，求得其最優(yōu)基本參數(shù)；最后，進(jìn)行具體算例的仿真分析，以驗證優(yōu)化方法的有效性。

1 齒輪副線接觸實現(xiàn)方法

根據(jù)齒輪共軛嚙合傳動原理，當(dāng)設(shè)定大輪齒面為已知的加工齒面時，按照公式（1），可得到與大輪齒面線接觸共軛的小輪齒面，稱為理論齒面Σ1，具體求解過程可參見文獻(xiàn)［22］。

式中：n為大輪齒面的法矢量；v12為齒輪副的相對速度；r2（u，θ）為大輪齒面方程，u和θ為大輪齒面參數(shù)；r1為小輪齒面方程；M12為大輪坐標(biāo)系到小輪坐標(biāo)系的變換矩陣。

在傳統(tǒng)的弧齒錐齒輪加工中，小輪齒面的加工方法是：根據(jù)格里森計算卡得到機床調(diào)整參數(shù)，然后將其代入切齒數(shù)學(xué)模型，得到一定加工方法下的小輪齒面方程［20］。小輪的加工齒面Σ1*是與大輪齒面點接觸共軛的。

為實現(xiàn)小輪加工齒面Σ1*與大輪齒面線接觸，須采用機床調(diào)整參數(shù)補償技術(shù)來修整小輪的機床調(diào)整參數(shù)，使其加工齒面Σ1*逼近理論齒面Σ1。具體計算方法如下：

對小輪加工齒面Σ1*進(jìn)行網(wǎng)格劃分，由小輪的理論齒面Σ1與加工齒面Σ1*在所有網(wǎng)格點上對應(yīng)的法向失配量組成其幾何拓?fù)湔`差曲面，如圖1所示，則小輪的理論齒面Σ1可由小輪的加工齒面Σ1*疊加幾何拓?fù)湔`差曲面獲得。

在小輪加工齒面坐標(biāo)系中，機床調(diào)整參數(shù)記為d，加工齒面上任一網(wǎng)格點的位置矢量與法向矢量可分別表示為Ri1（εi，d）和ni1（εi，d），其中：εi為網(wǎng)格點i的坐標(biāo)參數(shù)，i=1，2，…，m，m為齒面網(wǎng)格點總數(shù)。

圖1 小輪齒面的幾何拓?fù)湔`差曲面Fig.1 Geometric topological error surface of pinion tooth surface

小輪齒面幾何拓?fù)湔`差曲面上網(wǎng)格點對應(yīng)的法向失配量hi可表示為：

式中：Ri為在小輪理論齒面Σ1上網(wǎng)格點的位置矢量。

以機床調(diào)整參數(shù)d為變量，以所有網(wǎng)格點法向失配量偏差平方和最小為目標(biāo)，建立最小二乘法優(yōu)化模型，即小輪齒面幾何拓?fù)湔`差與小輪機床調(diào)整參數(shù)之間的補償修整數(shù)學(xué)模型：

基于調(diào)整參數(shù)識別算法，采用基于置信域策略的列文伯格-馬夸爾特迭代算法求解非線性最小二乘優(yōu)化問題［20］。更新機床調(diào)整參數(shù)，使小輪加工齒面逼近理論齒面，進(jìn)而實現(xiàn)在誤差允許范圍內(nèi)的齒面線接觸，其具體實現(xiàn)過程將另文詳細(xì)闡述。

2 弧齒錐齒輪接觸性能優(yōu)化模型

在弧齒錐齒輪傳動副中，全齒面接觸的前提是小輪齒面與大輪齒面線接觸共軛，且無根切和無干涉。根據(jù)一定的設(shè)計參數(shù)得到大輪齒面，基于第1節(jié)介紹的齒面實現(xiàn)方法，可得到與大輪齒面線接觸的小輪齒面。為實現(xiàn)弧齒錐齒輪副的全齒面線接觸，須考慮齒面排除嚙合界限線和根切界限線（以下簡稱為“2類界限線”）以及齒頂變尖的影響。同時，齒輪副接觸線的相對滑動速度須有利于動力潤滑油膜的形成。因此，提升齒面潤滑性能和承載能力是弧齒錐齒輪基本參數(shù)優(yōu)化設(shè)計的兩個衡量指標(biāo)。

2.1 優(yōu)化變量

齒坯基本參數(shù)中螺旋角β對齒面潤滑性能和承載能力有較大影響，選擇合適的話，可以保證齒面接觸比達(dá)到1.25～1.75；工作齒高系數(shù)hk會顯著影響2類界限線與齒面工作區(qū)的關(guān)系；變位系數(shù)ξ與齒輪接觸強度和齒頂變尖關(guān)系密切。因此，選定螺旋角β、工作齒高系數(shù)hk、變位系數(shù)ξ作為優(yōu)化設(shè)計變量，記為：

2.2 齒面約束條件

2.2.1 等式約束條件

1）嚙合界限線。

根據(jù)文獻(xiàn)［22］得到大輪齒面的嚙合界限線方程為：

其中：

式中：φ為齒輪副的轉(zhuǎn)角參數(shù)；ω1、ω2分別為小齒輪和大齒輪的角速度；q為嚙合點處的線速度矢量。

嚙合界限線將大輪齒面分為接觸區(qū)和非接觸區(qū)。大輪齒面接觸區(qū)分布如圖2所示。

圖2 大輪齒面接觸區(qū)分布Fig.2 Distribution of contact area of large gear tooth surface

為實現(xiàn)弧齒錐齒輪全齒面接觸，要求嚙合界限線分布在大輪齒面區(qū)域外部下側(cè)，即要求嚙合界限線在軸截面上的旋轉(zhuǎn)投影線分布在大輪齒根曲線旋轉(zhuǎn)投影線下側(cè)，如圖3所示，圖中陰影部分為大輪軸截面。設(shè)定大輪軸截面內(nèi)軸向有從小端到大端4個均布的比較點（Pj，j=1，2，3，4）。根據(jù)這4個比較點在嚙合界限線的旋轉(zhuǎn)投影值Rfj與在齒根曲線的旋轉(zhuǎn)投影值rfj的差值Rfj-rfj來判斷嚙合界限線是否在齒面區(qū)域內(nèi)：如果不在區(qū)域內(nèi)，Rfj＜rfj，則差值之和為零；只要有任意一點在齒面區(qū)域內(nèi)，則差值之和為正值。

圖3 大輪齒面嚙合界限線和根切界限線旋轉(zhuǎn)投影的分布Fig.3 Distribution of rotation projection of meshing limit line and root cutting limit line of large gear tooth surface

記第1個等式約束條件為：

2）根切界限線。

根據(jù)文獻(xiàn)［22］得到大輪齒面的根切界限線方程為：

其中：

式中：E2、F2和G2分別為大輪齒面第一基本齊式的系數(shù)；ru2和rθ2分別為大輪位置向量對其齒面參數(shù)u和θ的偏導(dǎo)數(shù)；Фu、Фθ和Фφ分別為嚙合函數(shù)Ф對其齒面參數(shù)u和θ和轉(zhuǎn)角參數(shù)φ的偏導(dǎo)數(shù)。

當(dāng)大輪齒面上存在根切界限線時，齒輪副嚙合會使小輪出現(xiàn)根切或者產(chǎn)生嚙合實體干涉。為實現(xiàn)弧齒錐齒輪的全齒面接觸，要求根切界限線分布在大輪齒面區(qū)域外部上側(cè)，如圖3所示。其判定方法與嚙合界限線判定方法相同，利用4個比較點在齒頂曲線的旋轉(zhuǎn)投影值raj與在根切界限線的旋轉(zhuǎn)投影值Raj的差值raj-Raj來判斷根切界限線是否在齒面區(qū)域內(nèi)：如果不在區(qū)域內(nèi)，raj＜Raj，則差值之和為零；只要有任意一點在齒面區(qū)域內(nèi)，則差值之和為正值。

記第2個等式約束條件為：

2.2.2 不等式約束條件

記不等式約束條件為：

2.3 齒面優(yōu)化目標(biāo)

1）齒面潤滑性能。

可應(yīng)用彈流動壓潤滑理論對弧齒錐齒輪傳動彈流油膜厚度進(jìn)行計算［23］。采用Hamrock-Dowson公式［24］計算最小油膜厚度Amin：

式中：α為潤滑油黏壓系數(shù)；η0為潤滑油在某溫度下的動力黏度；u0為卷吸速度；R為齒輪嚙合點的當(dāng)量曲率半徑；E為齒輪材料的當(dāng)量彈性模量；Q為齒輪嚙合點的單位寬度接觸載荷。

分析式（13）可知，除了一些實際工況參數(shù)，最小油膜厚度Amin與齒面理論設(shè)計相關(guān)的參數(shù)有卷吸速度u0和當(dāng)量曲率半徑R，因此將它們合并為綜合參數(shù)［13］來評價齒面的潤滑性能，記為：

當(dāng)量曲率半徑R的計算。根據(jù)文獻(xiàn)［22］，可得齒面嚙合點處接觸線法向量N為：

結(jié)合式（10）和式（15），推導(dǎo)得到當(dāng)量曲率半徑R的計算式如下：

卷吸速度u0的計算。設(shè)嚙合點處兩齒輪的速度分別為v1、v2，g12為齒輪副相對速度v12方向的單位矢量，則：

以齒面潤滑性能綜合參數(shù)vρ作為第1個優(yōu)化目標(biāo)，即在約束條件下，盡可能使所有齒面離散網(wǎng)格點的vρ較大，有利于保證齒面具有良好的潤滑性能。建立第1個目標(biāo)函數(shù)如下：

式中：n為齒面離散網(wǎng)格點數(shù)目。

2）齒面承載能力。

齒面承載能力可以用齒面瞬時接觸線的總長度來衡量，瞬時接觸線的總長越長，則齒面的承載能力越強。因此，在約束條件下，以同一齒面的所有瞬時接觸線總長最大為第2個目標(biāo)函數(shù)，即：

式中：T為單齒嚙合時長；lt為t時刻齒面瞬時接觸線總長度。

2.4 齒面接觸性能多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

構(gòu)建以拓寬2類界限線、防止齒頂變尖為約束條件，以潤滑性能綜合參數(shù)和齒面瞬時接觸線總長度最大為目標(biāo)的齒面接觸性能多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。為了簡化數(shù)學(xué)模型的計算過程，須將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換成無約束優(yōu)化問題，為此，對2.2節(jié)中等式和不等式約束采用外點懲罰法進(jìn)行處理，這樣可使約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為附帶懲罰項的無約束優(yōu)化問題。結(jié)合式（7）、式（11）、式（12）、式（20）、式（21），建立齒面接觸性能多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型：

式中：γ為等式約束的數(shù)量，本文中γ=2；σ1、σ2為懲罰因子。

3 齒面接觸性能多目標(biāo)優(yōu)化問題的求解

3.1 求解算法選擇

針對齒面潤滑性能綜合參數(shù)和齒面瞬時接觸線總長度最大的多目標(biāo)優(yōu)化問題，由分析可知：較大的螺旋角β和工作齒高系數(shù)hk可以加大齒面接觸線長度，提升齒面承載能力，但齒面摩擦也會隨之增大，所以該問題包含了互相沖突的目標(biāo)函數(shù)，不具有唯一的最優(yōu)解，那么就須尋找該問題的最優(yōu)解集，然后再進(jìn)行單一解的決策，選擇恰當(dāng)?shù)慕狻?/p>

同時，在建立了齒面接觸性能多目標(biāo)數(shù)學(xué)模型后，針對參數(shù)多、計算復(fù)雜的多目標(biāo)優(yōu)化問題，如前文所述，在最優(yōu)基本參數(shù)的求解上，無論是按照經(jīng)驗取值，還是進(jìn)行大量的設(shè)計試算，都不可避免地面臨巨大的工作量。本文構(gòu)建的齒面潤滑性能和承載能力的多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型是由嚙合方程與目標(biāo)函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合方程，梯度矩陣求解難度大。而現(xiàn)代進(jìn)化算法因具有不需要梯度信息、自主學(xué)習(xí)能力強和收斂效果較好等特點，逐漸成為解決優(yōu)化問題的有效手段?；诖耍琙hang等［25］提出了一種多目標(biāo)骨干粒子群優(yōu)化算法，可以求解得到均勻分布的Pareto解。本文采用該方法對問題求解。

3.2 求解流程

結(jié)合式（22）與多目標(biāo)骨干粒子群優(yōu)化算法，采用圖4所示的流程進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的求解，最后輸出設(shè)計參數(shù)的最優(yōu)Pareto解集。

圖4 齒面接觸性能多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的求解流程Fig.4 Solution process of multi-objective optimization mathematical model of tooth surface contact performance

4 算例分析

為了驗證上述弧齒錐齒輪優(yōu)化設(shè)計方法的可行性，以一對齒數(shù)比為29/11、中低速傳動的弧齒錐齒輪為研究對象進(jìn)行計算。設(shè)定大輪凸面和小輪凹面為工作面，齒輪副的幾何參數(shù)見表1。大輪采用成形法加工［20］，小輪采用變性法加工［20］，且補償小輪機床調(diào)整參數(shù)使得小輪齒面與大輪齒面線共軛接觸。大輪刀盤參數(shù)見表2。

表1 弧齒錐齒輪副幾何參數(shù)Table 1 Geometric parameters of spiral bevel gear pair

表2 大輪刀盤參數(shù)Table 2 Parameters of large gear cutter

參照式（22），建立齒面接觸性能多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型：

根據(jù)各參數(shù)的數(shù)值，求解多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，得到最優(yōu)目標(biāo)齒面基本參數(shù)。

設(shè)定終止迭代條件為200代，在迭代100代之后pareto前沿［25］基本不改變。到達(dá)終止條件后算例優(yōu)化結(jié)果的Pareto前沿如圖5所示。

圖5 算例優(yōu)化結(jié)果的Pareto前沿Fig.5 Pareto frontier of optimization results of example

為了使?jié)櫥阅芫C合參數(shù)和瞬時接觸線總長度最優(yōu)取值都比較均衡，選擇圖5矩形框中的點對應(yīng)的一組設(shè)計參數(shù)作為基本參數(shù)優(yōu)化方案，該方案的設(shè)計參數(shù)為［β*hk*ξ*］T=［35.07o1.70 0.48］T。按照傳統(tǒng)的設(shè)計理論中查表取值的方法［20］，取齒面設(shè)計參數(shù)［β hkξ］T=［35.00o1.65 0.39］T作為優(yōu)化前基本參數(shù)。

把優(yōu)化前后的基本參數(shù)分別代入齒面方程中，得到圖6所示的大輪齒面接觸線和圖7所示的由大輪凸面包絡(luò)出的小輪凹面，圖6中標(biāo)注了根切界限線的位置分布。

圖6（a）表明：優(yōu)化前大輪齒面上存在根切界限線，大輪凸面在包絡(luò)出小輪凹面時，大輪大端齒頂部分進(jìn)入小輪齒面實體內(nèi)，造成根切（或干涉），如圖7（a）局部放大所示；圖6（b）表明：在齒形參數(shù)優(yōu)化后，大輪齒面上不存在根切界限線，大小輪齒面均在實體外部嚙合，無根切現(xiàn)象，如圖7（b）局部放大所示。同時，在基本參數(shù)變量范圍內(nèi)，無論是否經(jīng)過優(yōu)化，嚙合界限線均不在大輪工作齒面區(qū)域內(nèi)。

圖6 大輪齒面接觸線示意Fig.6 Schematic of contact line of large gear tooth surface

圖7 大輪凸面包絡(luò)出的小輪凹面Fig.7 Pinion tooth surface generated by large gear tooth surface

對于齒面接觸性能的評價，齒面離散網(wǎng)格點的潤滑性能綜合參數(shù)最小值和齒面瞬時接觸線總長度最小值見表4。

表4 齒面離散網(wǎng)格點的潤滑性能綜合參數(shù)最小值和齒面瞬時接觸線總長度最小值Table 4 The minimum values of lubrication performance comprehensive parameter and total length of instantaneous contact line on the tooth surface of discrete mesh points

由表4可知：優(yōu)化后齒面潤滑性能比優(yōu)化前提升了4.4%，優(yōu)化后承載能力比優(yōu)化前提升了5.0%。由此可見，對齒輪基本參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，能夠提升齒面的潤滑性能和承載能力。

將優(yōu)化前后得到的弧齒錐齒輪基本參數(shù)代入齒面方程中分別進(jìn)行齒面點求解，建立齒輪副三維模型，并應(yīng)用有限元軟件進(jìn)行仿真分析，得到如圖8所示的弧齒錐齒輪齒面接觸仿真結(jié)果。由圖8（a）可知，基本參數(shù)優(yōu)化前，由于根切界限線在大輪齒面內(nèi)，在實體嚙合時大輪大端齒頂處與小輪齒根處產(chǎn)生干涉，出現(xiàn)應(yīng)力集中，這也印證了圖7（a）局部放大部分所示的結(jié)果。由圖8（b）可知，基本參數(shù)優(yōu)化后，工作齒面內(nèi)無2類界限線影響，因此齒面呈線接觸，對應(yīng)了圖7（b）所示的包絡(luò)效果。有限元仿真結(jié)果證實了理論設(shè)計的正確性。

圖8 弧齒錐齒輪齒面接觸仿真結(jié)果Fig.8 Simulation results of tooth surface contact of spiral bevel gears

5 結(jié)論

1）長期以來弧齒錐齒輪的設(shè)計及優(yōu)化主要以局部共軛點接觸齒面為基礎(chǔ)，無法發(fā)揮全齒面承載接觸的優(yōu)勢。針對此問題，本文以大輪加工齒面為已知齒面，通過引入小輪機床調(diào)整參數(shù)補償技術(shù)，使小輪加工齒面向與大輪齒面共軛的理論齒面逼近，實現(xiàn)了弧齒錐齒輪副齒面線接觸的設(shè)計。

2）全齒面線接觸弧齒錐齒輪副受到2類界限線、齒頂變尖的影響，為此筆者提出弧齒錐齒輪基本參數(shù)優(yōu)化設(shè)計方法。以螺旋角、工作齒高系數(shù)、變位系數(shù)為變量，在排除2類界限線和防止齒頂變尖的約束下，對表征潤滑性能和承載能力的兩優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，并引入現(xiàn)代多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行求解，獲得了弧齒錐齒輪齒面副最佳基本參數(shù)。

3）通過對一個具體的弧齒錐齒輪展開基本參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計、數(shù)值計算、嚙合狀態(tài)仿真和有限元分析，結(jié)果表明，優(yōu)化后的齒輪副呈全齒面線共軛接觸，且接觸性能得到明顯提升，說明本文提出的設(shè)計方法切實有效。研究結(jié)果為弧齒錐齒輪的優(yōu)化設(shè)計提供了新思路，具有一定的指導(dǎo)意義。