基于新型混合濾波函數(shù)的濾波反投影重建算法

（中北大學(xué) 信息與通信學(xué)院，太原030051）

隨著計(jì)算機(jī)斷層成像（computed tomography，CT）在醫(yī)療診斷、工業(yè)無損探傷和食品安全檢測等領(lǐng)域廣泛的應(yīng)用，其對重建后的圖片質(zhì)量要求也越來越高，進(jìn)而對軟硬件特別是重建算法的要求也越來越高。在眾多算法中，大致分為解析算法和迭代算法兩大類，其中在解析算法中，濾波反投影（filtered back projection，F(xiàn)BP）算法簡單方便易于實(shí)現(xiàn)，而在實(shí)際工業(yè)應(yīng)用中最為普遍。在FBP 算法中，常見的濾波函數(shù)有R-L濾波函數(shù)和S-L濾波函數(shù)。R-L濾波函數(shù)采用矩形窗，該濾波函數(shù)實(shí)現(xiàn)簡單、計(jì)算方便，用它完成的重建圖像，具有較清晰的輪廓，而且空間分辨率高，但是卻伴隨著嚴(yán)重的Gibbs 現(xiàn)象。S-L濾波函數(shù)采用sinc 函數(shù)來抑制投影中的高頻成分，很好地抑制了Gibbs 現(xiàn)象，對于含有噪聲的投影數(shù)據(jù)，它的重建圖像質(zhì)量比R-L濾波函數(shù)的好。濾波器的選取對圖像重建質(zhì)量的影響非常明顯。

至今，重建算法中所使用的濾波器一直以來都是研究的熱點(diǎn)，例如，文獻(xiàn)[1]提出一種R-L-NEW 混合濾波器，獲得了較好的結(jié)果；文獻(xiàn)[2]利用多點(diǎn)平均和混合濾波的思想，提出R-L-MS-L 混合濾波器對火箭發(fā)動(dòng)機(jī)模型進(jìn)行仿真，得到較好的結(jié)果；文獻(xiàn)[3]對指數(shù)函數(shù)進(jìn)行了研究并取得成果；本文利用混合濾波的原理，通過NEW 濾波函數(shù)和S-L濾波函數(shù)混合成新的NEW-SL 混合濾波函數(shù)，通過實(shí)驗(yàn)仿真數(shù)據(jù)的驗(yàn)證，得到了NEW-SL濾波函數(shù)所重建出來的圖像質(zhì)量更接近于原始圖像。

1 新型混合濾波器設(shè)計(jì)思路

1.1 FBP 算法

FBP 算法因其高效簡單而被大量應(yīng)用在CT 圖像重建上。本文以平行束濾波反投影重建算法為研究對象，其計(jì)算公式如下[4]：

式中：Pθ（t）代表采集到的投影數(shù)據(jù)；代表一維濾波器。

可見，影響重建結(jié)果好壞的關(guān)鍵在于濾波函數(shù)的選取，濾波函數(shù)能直接影響到反投影重建的結(jié)果。所以，選取合適的濾波器是實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量重建圖像的關(guān)鍵因素之一。

1.2 濾波器

1.2.1 R-L濾波器

R-L濾波器計(jì)算公式如下：

與濾波函數(shù)HR-L（ρ）相對應(yīng)的卷積函數(shù)hR-L（R）為

式中：B=1/（2d）；sinc（x）=sin（x）/x。

其離散表達(dá)式為

R-L濾波函數(shù)形式簡單、實(shí)用，所重建出來的圖像輪廓清晰，但有明顯的Gibbs 現(xiàn)象，即振蕩響應(yīng)。另外，當(dāng)重建圖像過程中存在噪聲時(shí)，所重建的結(jié)果就會較差。

1.2.2 S-L濾波器

S-L濾波器計(jì)算公式如下：

式中：B=1/（2d）；sinc（x）=sin（x）/x。

與濾波函數(shù)HS-L（ρ）相對應(yīng)的卷積函數(shù)hS-L（R）為

其離散表達(dá)式為

S-L濾波函數(shù)有效地減輕了R-L濾波的振蕩響應(yīng)，更好地補(bǔ)償了混迭現(xiàn)象；但由于HS-L（ρ）在低頻段偏離了所以重建的圖片質(zhì)量不如R-L 的好。

1.3 構(gòu)建新混合濾波函數(shù)NEW-SL

NEW 濾波器[5]的表達(dá)式是從理想濾波器的定義及性質(zhì)推導(dǎo)出來的，其相應(yīng)的采樣序列為

滿足正負(fù)值相加后，代數(shù)和為零。即滿足：

NEW 濾波器設(shè)計(jì)簡單，并對噪聲有抑制作用，極大地減少了Gibbs 現(xiàn)象?；诖?，本文參考RL-SL混合濾波器與RL-NEW 混合濾波器，提出NEW-SL混合濾波器。其離散形式為

式中：k1≥0，k2≥0，且k1+k2=0。顯然，當(dāng)k1=0時(shí)，就是S-L濾波；當(dāng)k2=0時(shí)，就是NEW 濾波。

2 實(shí)驗(yàn)仿真與結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)仿真是對尺寸為256*256 像素的Shepp-Logan 二維頭模型[6]分別用R-L、S-L、RL-SL、RL-NEW進(jìn)行重建，并觀察其縱向第128 行的灰度曲線圖，結(jié)果如圖1所示。

圖1 原始模型圖像與NEW-SL濾波后圖像Fig.1 Original model image and NEW-SL filtered image

實(shí)驗(yàn)是在處理器為Inter（R）Core（TM）i5-3230M CPU@2.60GHz，RAM為4.00 GB 的電腦設(shè)備上通過Matlab2016a 來完成。

想要對比圖像重建后的質(zhì)量如何，首先要進(jìn)行圖像重建后的灰度值是否與原始圖像相符或是接近。各個(gè)濾波器所重建出結(jié)果的灰度曲線如圖2所示。

圖2 原始模型及各種濾波函數(shù)下的圖像灰度曲線圖Fig.2 Image gray scale curves of the original model and various filter functions

圖像的灰度曲線圖可以顯示出不同濾波函數(shù)重建后的圖像與原始圖像的差異，灰度曲線波動(dòng)的越大，說明圖像越粗糙。由圖2可見，NEW-SL濾波函數(shù)重建出的圖像灰度曲線相比較于R-L、S-L 等濾波函數(shù)所重建出來的灰度曲線更為平滑，曲線更接近與原始圖的灰度曲線，所以，NEW-SL濾波函數(shù)所重建出來的圖像相較于R-L、S-L 等濾波函數(shù)重建出來的圖像更接近于原始圖像。

但僅通過圖像的灰度曲線圖這一項(xiàng)來定義重建圖像的好壞是不科學(xué)的，還需要對比各濾波函數(shù)的歸一化均方誤差d 和歸一化平均絕對誤差r 來進(jìn)行分析[7]。d、r 的公式如下所示：

歸一化均方誤差d 反映的是少數(shù)點(diǎn)的大誤差，d 越小表示誤差越小，體現(xiàn)為重建后的圖像更接近于原始圖像；歸一化平均絕對誤差r 反映的是多數(shù)點(diǎn)的小誤差，r 越小表示誤差越小，誤差越小，重建的結(jié)果越接近于原始圖像。

表1為各個(gè)濾波函數(shù)重建圖像后的歸一化均方誤差值和歸一化平均絕對誤差值。

表1 重建圖像后的誤差對比Tab.1 Comparison of errors after image reconstruction

通過表1可知，利用NEW-SL 混合濾波函數(shù)重建后的d值和r值相比于R-L、S-L 等濾波函數(shù)均有所下降，說明利用此混合濾波函數(shù)所重建出來的圖像效果更接近于原始圖像。

對實(shí)驗(yàn)室中采集到的128*128 的固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)模型投影數(shù)據(jù)進(jìn)行重建。為了能不引入其他因素而影響到實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對比，選取RL、S-L 及NEWSL濾波函數(shù)進(jìn)行直接對比。圖3為重建結(jié)果圖像。

可以看到，R-L濾波函數(shù)重建出來的圖像相較于S-L濾波函數(shù)重建出來的有些許偽影，影響到了圖像質(zhì)量。而NEW-SL濾波函數(shù)重建出來的圖像相較于S-L濾波函數(shù)內(nèi)部結(jié)構(gòu)相對清晰，相對于R-L濾波函數(shù)沒有產(chǎn)生偽影，即NEW-SL濾波函數(shù)兼顧了空間和密度分辨率，相較于R-L 和S-L濾波函數(shù)重建出了相對較好的結(jié)果。

圖3 原始圖像及各個(gè)濾波函數(shù)重建結(jié)果圖Fig.3 Original image and the reconstruction results of each filter function

3 結(jié)語

CT 重建中所使用的濾波器多種多樣，選擇濾波器的原則是主瓣高而窄，最大旁瓣相對主瓣盡可能小，本文結(jié)合混合濾波函數(shù)的原理所提出的NEWSL 混合濾波函數(shù)，通過實(shí)驗(yàn)仿真與R-L、S-L 等其他濾波函數(shù)從灰度曲線圖和歸一化均方誤差及歸一化平均絕對誤差這兩個(gè)方面進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)此濾波函數(shù)可以在保持原有的空間分辨率的情況下，使密度分辨率更高，重建結(jié)果也更平滑。此外，當(dāng)在實(shí)際應(yīng)用中使用NEW-SL 混合濾波函數(shù)時(shí)，可以根據(jù)實(shí)際情況來適當(dāng)?shù)恼{(diào)整參數(shù)k1和k2的值，使重建結(jié)果能夠達(dá)到預(yù)期的結(jié)果。