考慮壓力效應(yīng)的液壓缸摩擦模型研究

李毅波 曾云龍 潘 晴，2 姜雪鵬

(1.中南大學(xué)輕合金研究院, 長沙 410083； 2.浙江大學(xué)流體動力與機(jī)電系統(tǒng)國家重點實驗室， 杭州 310027)

0 引言

液壓缸因具有驅(qū)動力大、功重比大、響應(yīng)快、操縱方便、可自動實現(xiàn)過載保護(hù)等優(yōu)點而廣泛應(yīng)用于各種工業(yè)設(shè)備中。在含有伺服閥控液壓缸的液壓系統(tǒng)中，非線性摩擦力是影響液壓系統(tǒng)位置和速度控制精度的主要因素，而摩擦力來源于液壓缸的往復(fù)運(yùn)動密封界面，與運(yùn)動速度、液壓油壓力等因素密切相關(guān)。因此，國內(nèi)外研究者針對摩擦力建模進(jìn)行了大量研究。

為了消除摩擦力對液壓伺服系統(tǒng)的不良影響、提高液壓系統(tǒng)控制性能，國內(nèi)外研究學(xué)者進(jìn)行了大量的摩擦科學(xué)實驗。Stribeck模型[1]能描述低速時摩擦力隨速度增加而減小、高速工況摩擦力隨速度增大而增大的現(xiàn)象,故廣泛應(yīng)用于控制系統(tǒng)[2-5]中，并且控制精度得到顯著提高。進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，Stribeck摩擦模型在預(yù)測穩(wěn)態(tài)摩擦力時比較理想，但預(yù)測動態(tài)摩擦力則不太理想[6]。LuGre模型[7]將兩個相互運(yùn)動物體的接觸部分表征為鬃毛模型，該模型能很好地預(yù)測摩擦滯后、Stribeck效應(yīng)、預(yù)滑動階段等摩擦特性，被廣泛應(yīng)用于摩擦補(bǔ)償控制系統(tǒng)[8-9]。TRAN等[10]針對液壓系統(tǒng)實際情況，建立了考慮負(fù)載變化、油膜厚度和時間參數(shù)的改進(jìn)LuGre摩擦模型,該模型能很好地預(yù)測摩擦滯后、Stribeck效應(yīng)、預(yù)滑動階段等摩擦特性，與經(jīng)典LuGre摩擦模型相比，預(yù)測能力更強(qiáng)。PAN等[11]在文獻(xiàn)[10]基礎(chǔ)上，考慮了油膜厚度的非線性特性，引入了Bouc-Wen模型，在伺服液壓系統(tǒng)中使用柱塞式液壓缸實驗對模型進(jìn)行驗證，進(jìn)一步提高了摩擦力預(yù)測精度。在LuGre模型后，AL-BENDER等[12]提出了GMS(Generized Maxwell slip)摩擦模型，該模型具有較強(qiáng)的摩擦力預(yù)測能力，主要表現(xiàn)在對摩擦滯后、預(yù)滑動階段和Stribeck效應(yīng)等摩擦特性具有更加準(zhǔn)確的描述能力。BOEGLI等[13]提出了Smoothed-GMS模型，該模型使用基于梯度的微分方程銜接摩擦過程中的預(yù)滑動階段和滑動階段。NILKHAMHANG等[14]提出基于線性Stribeck模型的GMS模型進(jìn)行自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償，并驗證了模型的有效性。KANG等[15]改進(jìn)了GMS摩擦模型，針對電液伺服系統(tǒng)中存在的不確定性干擾和非線性摩擦力，設(shè)計了自適應(yīng)滑?？刂破?，進(jìn)行了摩擦補(bǔ)償控制實驗，取得了較高的力跟蹤控制精度。倪風(fēng)雷等[16]基于速度觀測器進(jìn)行了GMS參數(shù)辨識，并基于GMS模型進(jìn)行摩擦補(bǔ)償，得到了較好的位置控制精度。

液壓系統(tǒng)中液壓缸的摩擦力主要來源于活塞密封件與液壓缸缸體的相互作用。密封件形變對液壓缸摩擦力有顯著影響，而液壓缸油腔內(nèi)油壓會影響密封件的形變，進(jìn)而影響密封件與活塞桿和缸體的接觸狀態(tài)，從而影響摩擦力的變化。在實際液壓伺服控制系統(tǒng)中，大部分學(xué)者直接采用經(jīng)典的摩擦模型進(jìn)行摩擦補(bǔ)償控制[17-26]，很少考慮液壓系統(tǒng)中油壓對摩擦力的影響。本文提出考慮壓力效應(yīng)的穩(wěn)態(tài)摩擦模型和動態(tài)摩擦模型，搭建用于驗證液壓缸摩擦模型預(yù)測效果的摩擦力測試實驗臺，研究復(fù)雜工況下液壓缸穩(wěn)態(tài)摩擦特性和動態(tài)摩擦特性，提出摩擦模型的摩擦參數(shù)辨識算法。

1 液壓缸摩擦特性實驗平臺構(gòu)建

液壓缸摩擦力測試實驗臺如圖1所示。在被測油缸的進(jìn)油口和出油口處均安裝壓力傳感器(ATOS，E-ART-8/250/I型)，用以測量被測缸壓力。液壓缸活塞運(yùn)動位移由安裝在液壓缸同一運(yùn)動方向的位移傳感器(MTS, RPM0800MD601V61型)測得，運(yùn)動速度由位移信號經(jīng)濾波后進(jìn)行差分獲得。通過伺服閥(ATOS,DLHZO-TEB-SN-NP-060-L71/I型)來控制進(jìn)入被測油缸的流量，從而實現(xiàn)調(diào)速。實驗臺位移信號的輸出端口、壓力傳感器輸出端口經(jīng)過PLC S7-1200數(shù)據(jù)采集模塊送入上位機(jī)，在后臺進(jìn)行數(shù)據(jù)處理并存儲。實驗臺測控軟件編程環(huán)境基于LabVIEW軟件平臺，控制系統(tǒng)采用速度閉環(huán)PID控制，調(diào)速范圍可達(dá)0.5～100 mm/s，可以實現(xiàn)正弦、三角波或者常值跟蹤速度下的液壓缸摩擦力測試。實驗平臺的液壓控制系統(tǒng)原理圖如圖2所示。

圖1 摩擦力測試實驗平臺Fig.1 Experiment platform of friction test1.位移傳感器 2.液壓缸 3.壓力傳感器

圖2 液壓缸控制系統(tǒng)Fig.2 Hydraulic cylinder control system

根據(jù)牛頓第二定律，運(yùn)動部件液壓缸活塞的運(yùn)動學(xué)方程表示為

Fr=p1A1-p2A2-mg-ma

(1)

式中m——運(yùn)動部件質(zhì)量

Fr——液壓缸摩擦力

p1——被測液壓缸下腔壓力

p2——被測液壓缸上腔壓力

A1——被測液壓缸下腔活塞有效面積

A2——被測液壓缸上腔活塞有效面積

g——重力加速度

a——加速度

使用卡爾曼濾波器處理位移信號得到加速度a，因而根據(jù)式(1)可測得摩擦力。當(dāng)以正弦信號為速度跟蹤信號(速度v為-5～5 mm/s，頻率f=0.5 Hz)時，測得的實驗數(shù)據(jù)如圖3所示。

圖3 動態(tài)摩擦力測試實驗結(jié)果(f=0.5 Hz)Fig.3 Experiment sample of dynamic friction(f=0.5 Hz)

為了驗證液壓缸上下油腔壓力和液壓缸密封形式對摩擦特性的影響，采用3種不同密封形式(U形：活塞桿和活塞處皆為U形密封；T形:活塞桿處為U形密封，活塞處為組合密封;G形:活塞桿處為U形密封，活塞處為格萊圈密封)液壓缸進(jìn)行實驗，并且還考慮了液壓缸缸徑和負(fù)載特性對摩擦特性的影響，使用的液壓缸種類如表1所示，所有液壓缸行程為250 mm。

表1 液壓缸種類Tab.1 Types of hydraulic cylinder

所有實驗均在常溫、供油壓力恒定(8.0 MPa)工況下進(jìn)行。分別研究了穩(wěn)態(tài)摩擦力特性和動態(tài)摩擦力特性在復(fù)雜工況下的變化規(guī)律。

2 液壓缸摩擦模型

2.1 GMS摩擦模型

GMS摩擦模型如圖4所示。該模型能描述3個基本現(xiàn)象：①常速下的Stribeck曲線。②預(yù)滑動階段的不具有本地記憶的滯回效應(yīng)。③滑動階段的摩擦滯后。該模型提高摩擦力預(yù)測精確性[14]，摩擦力表示為

(2)

式中N——等效摩擦單元數(shù)量

σ2——粘性摩擦系數(shù)

圖4 GMS摩擦模型Fig.4 GMS friction model

當(dāng)摩擦單元處于粘滯狀態(tài)時，獨立單元摩擦力為

(3)

式中ki——摩擦單元剛度

當(dāng)摩擦單元處于滑動狀態(tài)且液壓缸速度大于零時，獨立單元摩擦力為

(4)

(5)

式(4)中Stribeck曲線為

(6)

式中Fc——庫侖摩擦力αi——單元權(quán)重

C——引力系數(shù)vs——Stribeck速度

Fs——最大穩(wěn)態(tài)摩擦力

2.2 考慮壓力效應(yīng)的摩擦模型

2.2.1穩(wěn)態(tài)摩擦模型

提出了考慮液壓缸進(jìn)出油口壓力的穩(wěn)態(tài)摩擦模型(P-Stribeck)，因為液壓缸摩擦力主要來源于密封件與活塞桿和活塞與液壓缸內(nèi)壁的相互作用，并且油腔壓力增大會影響密封件形變，進(jìn)而加強(qiáng)密封件與活塞桿相互作用，影響摩擦特性，為了改進(jìn)Stribeck摩擦模型，因此引入有桿腔和無桿腔壓力影響系數(shù)表征油液壓力的影響。該模型表達(dá)式為

(7)

(8)

式中Kpr1、Kpr2——壓力系數(shù)

Fpr——壓力對摩擦力影響項

Fsp——考慮壓力效應(yīng)的穩(wěn)態(tài)摩擦力

pa——壓力，取0.1 MPa

2.2.2動態(tài)摩擦模型

結(jié)合文獻(xiàn)[11-12，14]和式(8)提出了考慮液壓缸進(jìn)出油口壓力的動態(tài)摩擦模型(P-GMS)。文獻(xiàn)[11-12]通過分析液壓缸密封油膜動力學(xué)和密封界面非定常流體動力學(xué)發(fā)現(xiàn)，動態(tài)摩擦力模型摩擦力相對于速度變量具有相位超前特征，因此在LuGre模型摩擦力項中加入速度一階微分環(huán)節(jié)，即活塞運(yùn)動加速度，以表征運(yùn)動加速度對摩擦力的影響。為此，本文動態(tài)摩擦模型計及加速度和壓力效應(yīng)的雙重因素影響，提出了摩擦力預(yù)測方法，即

(9)

式中FDP——考慮壓力效應(yīng)的動態(tài)摩擦力

T——流體潤滑動態(tài)摩擦?xí)r間常數(shù)

3 摩擦模型參數(shù)辨識

以多種工況下的液壓缸摩擦力測試實驗數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，對所提出的摩擦模型進(jìn)行參數(shù)辨識。參數(shù)辨識過程分為2個步驟，首先使用遺傳算法辨識穩(wěn)態(tài)摩擦參數(shù)，再使用穩(wěn)態(tài)摩擦參數(shù)辨識動態(tài)摩擦參數(shù)。

3.1 穩(wěn)態(tài)摩擦參數(shù)辨識

當(dāng)液壓缸在垂直方向上勻速穩(wěn)定狀態(tài)下運(yùn)動時，使用PID控制器保證速度的跟蹤精度，使液壓缸在給定速度(1、5、10、15、20、25、30、35、40 mm/s)下運(yùn)行，并采集實驗的位移、速度、壓力等數(shù)據(jù)。液壓缸缸徑40 mm、負(fù)載720.3 N、U形密封液壓缸穩(wěn)態(tài)摩擦參數(shù)辨識結(jié)果如表2所示，辨識效果如圖5所示。

表2 穩(wěn)態(tài)摩擦參數(shù)辨識結(jié)果Tab.2 Identification result of steady state

圖5 穩(wěn)態(tài)摩擦力辨識結(jié)果Fig.5 Identification result of steady steady state friction

3.2 動態(tài)摩擦參數(shù)辨識

為了辨識GMS摩擦模型動態(tài)參數(shù)剛度ki和權(quán)重αi，采用小幅值的正弦信號進(jìn)行實驗，同樣也是采用PID控制器進(jìn)行速度跟蹤，獲得實驗數(shù)據(jù)后經(jīng)過辨識得動態(tài)摩擦參數(shù)。

將GMS摩擦模型的單元塊設(shè)置為3個，即N=3，可得到不同實驗條件下與之相對應(yīng)的剛度ki(i=1,2,3)和αi(i=1,2,3)，將辨識得到的GMS摩擦模型參數(shù)代入P-GMS模型中辨識P-GMS模型的壓力參數(shù)Kpr1、Kpr2、T。液壓缸直徑40 mm時動態(tài)摩擦參數(shù)辨識結(jié)果如表3所示，參數(shù)C=0.054 7 N/s，Kpr1=12.96，Kpr2=-13.12,T=1.204。

表3 動態(tài)摩擦參數(shù)辨識結(jié)果Tab.3 Identification result of dynamic state

4 摩擦模型預(yù)測效果與實驗結(jié)果對比

4.1 穩(wěn)態(tài)摩擦特性

4.1.1不同缸徑、不同負(fù)載下的穩(wěn)態(tài)摩擦特性

采用3種不同缸徑(40、80、100 mm)、同等密封形式液壓缸，在特定速度(15 mm/s)、相同負(fù)載(720.3、1 440.6、2 160.9 N)、泵出口壓力恒定(8.0 MPa)工況下進(jìn)行實驗。

如圖6所示，在負(fù)載720.3 N、速度15 mm/s實驗條件下，測得不同缸徑液壓缸的實驗數(shù)據(jù)并與Stribeck、P-Stribeck模型預(yù)測結(jié)果進(jìn)行對比，參數(shù)辨識結(jié)果如表4所示；由圖6可得，本文所提出的摩擦模型預(yù)測效果明顯優(yōu)于Stribeck模型。

圖6 恒定速度、不同缸徑下摩擦力辨識結(jié)果對比(U形密封，速度15 mm/s負(fù)載720.3 N)Fig.6 Comparison results of friction identification at constant velocity with different diameters (U-seal,velocity 15 mm/s, load 720.3 N)

表4 不同缸徑下穩(wěn)態(tài)摩擦參數(shù)辨識結(jié)果(速度15 mm/s，負(fù)載720.3 N)Tab.4 Identification result of steady state (velocity 15 mm/s, load 720.3 N)

采用文獻(xiàn)[12]NRMSE誤差分析方法,計算式為

圖7 恒定速度、不同負(fù)載下摩擦力辨識結(jié)果對比(缸徑100 mm，速度15 mm/s)Fig.7 Comparison results of friction identification at situation of constant velocity with different loads (diameter 100 mm, velocity 15 mm/s)

(10)

式中RMSE——均方根誤差

NRMSE——正則化均方根誤差

表5為采用NRMSE誤差分析方法對負(fù)載720.3 N、速度15 mm/s、供油壓力8.0 MPa工況下液壓缸摩擦力辨識進(jìn)行的誤差分析結(jié)果，結(jié)果表明，P-Stribeck模型在負(fù)載720.3 N、驅(qū)動速度15 mm/s工況下3種缸徑(40、80、100 mm)U形密封液壓缸穩(wěn)態(tài)摩擦力預(yù)測的NRMSE分別為2.80%、1.55%、0.86%，其預(yù)測精度優(yōu)于經(jīng)典Stribeck模型，該模型對該工況下液壓缸摩擦力預(yù)測是有效的。

表5 不同缸徑下Stribeck和P-Stribeck模型摩擦力預(yù)測誤差分析結(jié)果(速度15 mm/s，負(fù)載720.3 N)Tab.5 Error analysis of friction prediction between Stribeck model and P-Stribeck model (velocity 15 mm/s, load 720.3 N) %

在缸徑100 mm、速度15 mm/s實驗條件下，不同負(fù)載工況的摩擦力預(yù)測結(jié)果如圖7所示，參數(shù)辨識結(jié)果如表6所示。從圖7中可知，本文所提出的穩(wěn)態(tài)摩擦模型預(yù)測效果明顯優(yōu)于Stribeck模型。

表6 不同負(fù)載下穩(wěn)態(tài)摩擦參數(shù)辨識結(jié)果(缸徑100 mm，速度15 mm/s)Tab.6 Identification result of steady state (diameter 100 mm, velocity 15 mm/s)

表7為采用NRMSE誤差分析方法對不同負(fù)載(720.3、1 440.6、2 160.9 N)、速度15 mm/s、供油壓力8.0 MPa工況下液壓缸力辨識進(jìn)行誤差分析的結(jié)果，結(jié)果表明P-Stribeck模型在3種負(fù)載(720.3、1 440.6、2 160.9 N)、運(yùn)動速度15 mm/s、缸徑100 mm工況下，U形密封液壓缸穩(wěn)態(tài)摩擦力預(yù)測的NRMSE分別為0.86%、1.25%、1.43%，該模型摩擦力預(yù)測精度高于Stribeck模型，P-Stribeck模型對預(yù)測該工況下液壓缸摩擦力有效。

表7 不同負(fù)載下Stribeck和P-Stribeck模型摩擦力預(yù)測誤差分析(缸徑100 mm，速度15 mm/s)Tab.7 Error analysis of friction prediction between Stribeck model and P-Stribeck model (diameter 100 mm, velocity 15 mm/s) %

4.1.2不同密封形式下的穩(wěn)態(tài)摩擦特性

采用3種不同密封形式、相同缸徑(100 mm)液壓缸，在特定速度(15 mm/s)、相同負(fù)載(720.3 N)、泵出口壓力恒定(8.0 MPa)工況下進(jìn)行實驗。

如圖8所示，測得不同密封形式液壓缸實驗數(shù)據(jù)與摩擦力預(yù)測效果比較，參數(shù)辨識結(jié)果如表8所示。由圖8可得，本文所提出的穩(wěn)態(tài)摩擦模型預(yù)測效果明顯優(yōu)于Stribeck模型。

表9為采用NRMSE誤差分析方法對負(fù)載720.3 N、速度15 mm/s、供油壓力8.0 MPa工況下液壓缸摩擦力辨識進(jìn)行誤差分析的結(jié)果，結(jié)果表明，P-Stribeck模型在負(fù)載720.3 N、運(yùn)動速度15 mm/s、缸徑100 mm工況下3種密封形式液壓缸穩(wěn)態(tài)摩擦力預(yù)測的NRMSE分別為0.86%、0.27%、0.46%，該模型摩擦力預(yù)測精度高于Stribeck模型，P-Stribeck模型對預(yù)測該工況下液壓缸摩擦力有效。

圖8 恒定速度、不同密封形式下摩擦力辨識結(jié)果對比(缸徑100 mm，速度15 mm/s，負(fù)載720.3 N)Fig.8 Comparison results of friction identification with different sealing types at constant velocity (diameter 100 mm, velocity 15 mm/s, load 720.3 N)

表8 不同密封形式下穩(wěn)態(tài)摩擦參數(shù)辨識結(jié)果(缸徑100 mm,速度15 mm/s，負(fù)載720.3 N)Tab.8 Identification result of steady state (diameter 100 mm, velocity 15 mm/s, load 720.3 N)

表9 不同密封形式下Stribeck和P-Stribeck模型摩擦力預(yù)測誤差分析(缸徑100 mm,負(fù)載720.3 N，速度15 mm/s)Tab.9 Error analysis of friction prediction between Stribeck model and P-Stribeck model (diameter 100 mm, load 720.3 N, velocity 15 mm/s) %

4.2 動態(tài)摩擦特性

采用特定缸徑(80 mm)、U形密封液壓缸，在不同加速度(2、4、6 mm/s2)、周期恒定(8 s)、特定負(fù)載(720.3 N)、泵出口壓力恒定(8.0 MPa)工況下進(jìn)行實驗。表10為摩擦參數(shù)辨識結(jié)果,實驗速度為10、11、12、13、14、15 mm/s。

表11為不同加速度下GMS和P-GMS兩種摩擦模型摩擦參數(shù)辨識結(jié)果。圖9為基于表11摩擦參數(shù)的GMS和P-GMS兩種摩擦模型預(yù)測結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)的對比結(jié)果。由圖9可知，本文提出的模型預(yù)測效果優(yōu)于GMS模型預(yù)測效果。

表10 動態(tài)摩擦參數(shù)辨識結(jié)果(缸徑80 mm)Tab.10 Identification result of dynamic friction force (diameter 80 mm)

表12為采用NRMSE誤差分析方法對負(fù)載720.3 N、不同加速度(2、4、6 mm/s2)、供油壓力8.0 MPa工況下液壓缸摩擦力辨識結(jié)果，結(jié)果表明P-GMS模型在工況為720.3 N，缸徑100 mm，不同加速度下U形密封液壓缸動態(tài)摩擦力預(yù)測的NRMSE分別為3.34%、2.89%、3.23%，其預(yù)測精度優(yōu)于GMS模型，該模型對該工況下摩擦力預(yù)測有效。

表11 三角波式信號摩擦參數(shù)辨識結(jié)果Tab.11 Identification result of friction with triangle wave signal

圖9 不同加速度下摩擦模型預(yù)測結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)對比(U形密封,缸徑80 mm,負(fù)載720.3 N)Fig.9 Comparison results between model prediction and friction measured at different accelerations (U-seal, diameter 80 mm, load 720.3 N)

表12 不同加速度下GMS和P-GMS模型摩擦力預(yù)測誤差Tab.12 Error of friction prediction between GMSmodel and P-GMS model %

采用特定缸徑(40 mm)、U形密封液壓缸，在不同頻率(1.0、2.0 Hz)、特定負(fù)載(720.3 N)、泵出口壓力恒定(8.0 MPa)工況下進(jìn)行實驗。

表13為不同頻率下GMS和P-GMS兩種摩擦模型摩擦參數(shù)辨識結(jié)果。不同頻率下實驗數(shù)據(jù)與GMS和P-GMS兩種摩擦模型預(yù)測結(jié)果對比結(jié)果如圖10所示，由圖10可知，本文所提出模型預(yù)測效果優(yōu)于GMS模型預(yù)測效果。

表14為采用NRMSE誤差分析方法對負(fù)載720.3 N、不同頻率(0.5、1、2 Hz)、供油壓力8.0 MPa工況下液壓缸摩擦力辨識結(jié)果，結(jié)果表明P-GMS模型在工況為720.3 N、缸徑100 mm、不同頻率下，U形密封液壓缸動態(tài)摩擦力預(yù)測的NRMSE分別為7.37%、7.71%、10.92%，其預(yù)測精度優(yōu)于GMS模型，該模型對該工況下摩擦力預(yù)測有效。

表13 動態(tài)摩擦參數(shù)辨識結(jié)果(負(fù)載720.3 N)Tab.13 Identification result of dynamic state(load 720.3 N)

5 結(jié)論

(1)搭建了一種變負(fù)載變速度驅(qū)動下液壓缸非線性摩擦特性測試實驗平臺，在不同密封形式、不同缸徑、不同負(fù)載、不同加速度和頻率下對液壓缸穩(wěn)態(tài)和動態(tài)摩擦特性進(jìn)行了測試。

圖10 不同頻率下摩擦模型預(yù)測結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)對比(U形密封,缸徑40 mm,負(fù)載720.3 N)Fig.10 Comparison results between model prediction and friction measured under different frequencies (U-seal, diameter 40 mm, load 720.3 N)

表14 不同頻率下GMS和P-GMS模型摩擦力預(yù)測誤差Tab.14 Error of friction prediction between GMSmodel and P-GMS model %

(2)基于Sribeck和GMS模型，建立了考慮液壓缸油腔壓力和運(yùn)動加速度的穩(wěn)態(tài)摩擦模型和動態(tài)摩擦模型，提出了一種改進(jìn)摩擦模型的摩擦參數(shù)辨識方法。

(3)采用Stribeck和P-Stribeck兩種模型預(yù)測穩(wěn)態(tài)摩擦力，并與實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，結(jié)果表明，P-Stribeck模型預(yù)測3種負(fù)載液壓缸摩擦力NRMSE

分別為0.86%、1.25%、1.43%，P-Stribeck模型預(yù)測3種缸徑液壓缸摩擦力NRMSE分別為2.80%、1.55%、0.86%，P-Stribeck模型預(yù)測3種密封形式液壓缸摩擦力NRMSE分別為0.86%、0.27%、0.46%，P-Stribeck模型預(yù)測液壓缸穩(wěn)態(tài)摩擦力的精度明顯優(yōu)于Stribeck模型。

(4)采用GMS和P-GMS兩種模型預(yù)測動態(tài)摩擦力，并與實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，結(jié)果表明，P-GMS模型預(yù)測3種加速度工況下液壓缸摩擦力NRMSE分別為3.34%、2.89%、3.23%，P-GMS模型預(yù)測3種頻率工況下液壓缸摩擦力NRMSE分別為7.37%、7.71%、10.92%，P-GMS模型預(yù)測液壓缸動態(tài)摩擦力的精度優(yōu)于GMS摩擦模型。