2-PUR-PSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)尺度綜合多目標(biāo)優(yōu)化

張偉中 李金平 葉 敏 楊 超

(1.浙江理工大學(xué)機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院, 杭州 310018; 2.浙江機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院自動(dòng)化學(xué)院, 杭州 310058;3.新南威爾士大學(xué)土木與環(huán)境工程學(xué)院, 悉尼 NSW 2052; 4.長(zhǎng)安大學(xué)工程機(jī)械學(xué)院, 西安 710064;5.嘉興學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院, 嘉興 314001)

0 引言

少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、高承載能力、高剛度、高精度以及優(yōu)異的運(yùn)動(dòng)/力傳遞性能和動(dòng)態(tài)性能等優(yōu)勢(shì)，有效地彌補(bǔ)了串聯(lián)機(jī)構(gòu)的不足[1-3]。其中，三自由度兩轉(zhuǎn)一移(Two rotations and one translations，2R1T)并聯(lián)機(jī)構(gòu)已廣泛應(yīng)用于諸多領(lǐng)域，如Z3主軸頭[4]、Exechon機(jī)器人[5-6]、Tricept并聯(lián)機(jī)床[7]和振動(dòng)篩[8]等。

盡管2R1T并聯(lián)機(jī)構(gòu)得到了廣泛的應(yīng)用研究，但該類機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題仍未得到很好的解決。運(yùn)動(dòng)學(xué)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)和參數(shù)優(yōu)化算法是機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)的主要內(nèi)容[9-11]。

由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間相對(duì)較小，機(jī)構(gòu)性能優(yōu)化設(shè)計(jì)首先需考慮通過(guò)優(yōu)化設(shè)計(jì)變量獲得更大的規(guī)則工作空間[12-15]。MASORY等[16]在考慮關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角約束、桿長(zhǎng)約束及桿件干涉的基礎(chǔ)上，采用數(shù)值積分方法得到了較為接近實(shí)際的機(jī)構(gòu)工作空間。CARBONE等[17]采用二進(jìn)制表達(dá)方法得到了可達(dá)工作空間體積的數(shù)值表達(dá)式。RAMANA等[18]采用極坐標(biāo)方法得到了規(guī)則工作空間的最大內(nèi)切圓柱體積的表達(dá)式。BOUNAB[19]計(jì)算了Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)的規(guī)則圓球工作空間體積。以上研究將可達(dá)工作空間或圓柱、圓球作為規(guī)則空間，沒(méi)有考慮不同高度下的工作空間最大化。

性能分析是并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行尺度綜合的前提，而構(gòu)建合理的運(yùn)動(dòng)學(xué)指標(biāo)是并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)性能分析的重要基礎(chǔ)。GOSSELIN等[20]以雅可比矩陣條件數(shù)作為機(jī)構(gòu)的性能評(píng)價(jià)指標(biāo)。陳修龍等[21]以雅可比矩陣的奇異值作為性能指標(biāo)，對(duì)并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。對(duì)于混自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)(包含移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng))，雅可比矩陣中的元素量綱并不統(tǒng)一，直接計(jì)算上述指標(biāo)會(huì)導(dǎo)致機(jī)構(gòu)性能物理意義上的模糊和解釋錯(cuò)誤。LIU等[22-23]提出了運(yùn)動(dòng)/力性能傳遞指標(biāo)，該指標(biāo)具有量綱統(tǒng)一、與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)、可判斷機(jī)構(gòu)的奇異位置等優(yōu)點(diǎn)，該運(yùn)動(dòng)學(xué)指標(biāo)在很多機(jī)構(gòu)分析中得到應(yīng)用。

尺度綜合是以性能指標(biāo)為衡量標(biāo)準(zhǔn)對(duì)機(jī)構(gòu)的尺寸參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，目前主要借助空間模型法對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行尺度綜合[24]。在工程應(yīng)用中，往往需要借助智能優(yōu)化算法對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，以達(dá)到多個(gè)目標(biāo)的綜合最優(yōu)。ZHANG等[25]使用差分進(jìn)化算法使3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度和可達(dá)工作空間最大化。崔國(guó)華等[26]基于Isight優(yōu)化了3-UPS-S并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間、靈巧度、承載能力和剛度。孫小勇等[27]通過(guò)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型對(duì)6-PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間和動(dòng)力學(xué)性能進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化。ZHANG等[28]使用遺傳算法對(duì)球形機(jī)構(gòu)的全局條件數(shù)和工作空間進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化。

本文以2-PUR-PSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)為例，對(duì)其進(jìn)行結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，在運(yùn)動(dòng)學(xué)模型分析基礎(chǔ)上，結(jié)合螺旋理論，以規(guī)則圓臺(tái)工作空間和全局運(yùn)動(dòng)/力傳遞性能為目標(biāo)函數(shù)，以關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角和驅(qū)動(dòng)限制為約束條件，采用多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行尺度綜合多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，得到滿足工作條件的機(jī)構(gòu)規(guī)則工作空間和運(yùn)動(dòng)/力傳遞性能的Pareto最優(yōu)，為得到性能更優(yōu)的機(jī)構(gòu)提供設(shè)計(jì)依據(jù)。

1 機(jī)構(gòu)描述與運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

1.1 機(jī)構(gòu)描述

如圖1所示，由機(jī)架、動(dòng)平臺(tái)、兩條結(jié)構(gòu)完全相同的PUR分支和一條PSR分支組成了2-PUR-PSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)。該機(jī)構(gòu)是為了減小由內(nèi)副驅(qū)動(dòng)的2-UPR-SPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)在操作過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)質(zhì)量，并提高機(jī)構(gòu)的剛度進(jìn)行構(gòu)型綜合，提出的一種由外副驅(qū)動(dòng)的兩轉(zhuǎn)一移并聯(lián)機(jī)構(gòu)[29-30]。機(jī)構(gòu)由固接于機(jī)架導(dǎo)軌上的線性驅(qū)動(dòng)器驅(qū)動(dòng)[31-32]。

圖1 2-PUR-PSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.1 2-PUR-PSR parallel manipulator

通過(guò)驅(qū)動(dòng)P副，3條分支結(jié)構(gòu)與機(jī)架的導(dǎo)軌相連。在2條PUR分支結(jié)構(gòu)中，U副的第1個(gè)轉(zhuǎn)軸共線，且與其P副的移動(dòng)方向一致；U副的第2個(gè)轉(zhuǎn)軸則垂直于P副的移動(dòng)方向，同時(shí)平行于另一端和動(dòng)平臺(tái)相連接的R副軸線方向；并且PUR分支的兩個(gè)R鉸軸線互相平行。S鉸是PSR分支與基座相連的點(diǎn)，并與動(dòng)平臺(tái)相連的R鉸軸線與B1B2平行。其中：Ai表示分支i(i=1, 2, 3)中與基座相鄰運(yùn)動(dòng)副的中心，A1、A2、A33個(gè)點(diǎn)在同一水平面內(nèi)。分支1、2中虎克鉸中心用B1、B2表示；分支3中與動(dòng)平臺(tái)相鄰的轉(zhuǎn)動(dòng)副中心用B3表示。

2-PUR-PSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)定/動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)為A1A2中點(diǎn)，x軸指向A2點(diǎn)，y軸指向A3點(diǎn)，z軸遵循右手法則，從而建立固定坐標(biāo)系Oxyz。與此同時(shí)，以B1點(diǎn)為原點(diǎn)，指向B2點(diǎn)為u軸，垂直于u軸且位于面B1B2B3內(nèi)為v軸，w軸遵循右手法則，從而在動(dòng)平臺(tái)上建立局部坐標(biāo)系puvw。以A1A2的中心點(diǎn)O為原點(diǎn)，與OA3共線為x軸，沿著OA1方向?yàn)閥軸，由右手螺旋法則確定z軸，建立定坐標(biāo)系Oxyz。以B1B2的中心點(diǎn)為原點(diǎn)，與oB3重合為u軸，指向點(diǎn)B1為v軸，由右手法則確定w軸，建立動(dòng)坐標(biāo)系ouvw。

對(duì)2-PUR-PSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)定義為：oB1=oB2=l1,oB3=l2,A1B1=A2B2=l3,A3B3=l4，并且為減少尺寸參數(shù)的個(gè)數(shù)，假定滿足l1l4=l2l3。采用文獻(xiàn)[33-34]提出的螺旋理論對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行分析，可求得2-PUR-PSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)為三自由度機(jī)構(gòu)，分別是2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)和1個(gè)移動(dòng)自由度。

1.2 位置逆解

已知2-PUR-PSR機(jī)構(gòu)末端點(diǎn)o的位置矢量為p=(x,y,z)T，求解驅(qū)動(dòng)P副的移動(dòng)距離即為機(jī)構(gòu)的位置逆解問(wèn)題。

由圖1可知，在2-PUR-PSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)中，動(dòng)坐標(biāo)系ouvw相對(duì)于定坐標(biāo)系Oxyz的姿態(tài)可表示為

(1)

式中Rz(φ)、Ry(θ)、Rx(ψ)——繞z軸、y軸、x軸的旋轉(zhuǎn)矩陣

c表示余弦函數(shù)，s表示正弦函數(shù)。

根據(jù)圖1可得，閉環(huán)矢量方程為

qi=p+bi-ai(i=1,2,3)

(2)

式中，分支i驅(qū)動(dòng)器的位置矢量為qi；從點(diǎn)Ai到Bi和從點(diǎn)o到Bi的位置矢量，分別表示為ai和bi,且bi=Rbio，oBi位置矢量在動(dòng)坐標(biāo)系{o}下表示為

(3)

同時(shí)，ci=Rcio是分支i中R鉸軸線的方向矢量，cio為ci在動(dòng)坐標(biāo)系ouvw中的方向矢量，表示為

(4)

機(jī)構(gòu)分析可知，機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，各分支的R副軸線始終與qi-p垂直，因此可得

(5)

展開可得各分支的約束關(guān)系

xcθcφ-(q1-y)cθsφ-zsθ=0

(6)

xcθcφ+(q2+y)cθsφ-zsθ=0

(7)

y(cψcφ+sψsθsφ)+(q3-x)(cψsφ-sψsθcφ)

(8)

式(6)、(7)相減可得

(q1+q2)cθsφ=0

(9)

在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，q1+q2不可能恒等于0，為此

cθsφ=0

(10)

式(10)代入式(6)中，可得

xcθcφ-zsθ=0

(11)

由式(11)可得，假定cθ=0，則恒有z=0，這不符合機(jī)構(gòu)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)情況，故sφ=0，φ=0或φ=π。根據(jù)2-PUR-PSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特征，φ不可能等于π，因此φ恒為0。將該結(jié)果代入式(8)中，可得

ycψ-(q3-x)sψsθ+zsψcθ=0

(12)

綜合式(11)、(12)，位置矢量p=(x,y,z)T中的x和y可表示為

(13)

將式(13)代入式(2)中，得到2-PUR-PSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置逆解為

(14)

2 規(guī)則工作空間指標(biāo)

規(guī)則工作空間是并聯(lián)機(jī)構(gòu)的一個(gè)重要指標(biāo)，可以作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)之一。在研究規(guī)則工作空間之前有必要先對(duì)機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間進(jìn)行研究。并聯(lián)機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間是指在物理約束下機(jī)器人至少?gòu)囊粋€(gè)方向可以達(dá)到的所有點(diǎn)的集合。影響并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間的主要因素包括機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)尺寸、鉸鏈的轉(zhuǎn)角范圍、驅(qū)動(dòng)的限制以及各支鏈之間的干涉等。

采用極坐標(biāo)的方法計(jì)算2-PUR-PSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的規(guī)則圓臺(tái)工作空間體積[19]。首先，利用空間搜索法得到可達(dá)工作空間的形狀，為下一步計(jì)算規(guī)則工作空間做準(zhǔn)備。其次，將操作平臺(tái)高度劃分為n層。最終，計(jì)算每一個(gè)操作平臺(tái)高度下可達(dá)空間的最大內(nèi)切圓半徑。得到了每一層的最大內(nèi)切圓半徑后便計(jì)算規(guī)則圓臺(tái)的工作空間體積，計(jì)算公式為

(15)

式中Ai——第i層最大內(nèi)切圓的面積

Δz——層間的高度間隔區(qū)間

給定2-PUR-PSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的物理約束為

(16)

式中，qmin=50 mm和qmax=800 mm分別為驅(qū)動(dòng)的最小和最大限制，αi1和αi2分別表示第i分支的R鉸和U鉸的轉(zhuǎn)角，其可以通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析得到

(17)

圖2 2-PUR-PSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間Fig.2 Workspaces of 2-PUR-PSR parallel manipulator

式中，nli、npi、nbi表示桿件、動(dòng)平臺(tái)法線和定平臺(tái)法線的單位矢量。2-PUR-PSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)在優(yōu)化前的初始機(jī)構(gòu)參數(shù)為l1=l2=200 mm,l3=l4=400 mm。本文采用空間搜索法給出機(jī)構(gòu)的可達(dá)離散工作空間如圖2所示，可達(dá)工作空間關(guān)于γ=0°對(duì)稱，與2-PUR-PSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)吻合?？蛇_(dá)工作空間的形狀和尺寸不規(guī)則，不利于軌跡的規(guī)劃和算法控制。實(shí)際工程應(yīng)用中一般采用規(guī)則工作空間，不失一般性，本文采用每一給定操作平臺(tái)高度下可達(dá)空間的最大內(nèi)切圓構(gòu)成的圓臺(tái)作為機(jī)構(gòu)的規(guī)則工作空間，如圖2所示，為了確保末端執(zhí)行器的姿態(tài)要求，此處將內(nèi)切圓的最小半徑設(shè)置為10°。

3 運(yùn)動(dòng)/力傳遞性能

3.1 局部傳遞指標(biāo)

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的本質(zhì)作用之一是在機(jī)構(gòu)的輸入端和輸出端之間傳遞運(yùn)動(dòng)和力。研究者據(jù)此特性，定義相應(yīng)的能夠同時(shí)體現(xiàn)運(yùn)動(dòng)和力的傳遞能力的指標(biāo)，用以分析并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)/力傳遞特性[35-36]。

陳祥等[37]根據(jù)力傳遞性能與傳動(dòng)角的密切關(guān)系，提出利用運(yùn)動(dòng)/力傳遞指標(biāo)(LTI)作為運(yùn)動(dòng)學(xué)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，利用該指標(biāo)表示機(jī)構(gòu)從輸入到輸出的傳遞效率。LTI指標(biāo)可表示為

(18)

(19)

式中λi——分支i的輸入傳遞指標(biāo)(ITI)

ηi——輸出傳遞指標(biāo)(OTI)

$Ai——分支i的輸入運(yùn)動(dòng)螺旋(ITS)

$Oi——分支i的輸出運(yùn)動(dòng)螺旋(OTS)

$Ti——分支i的傳遞力螺旋(TWS)

從式(18)、(19)中可知λi和ηi的取值范圍均為0～1；同時(shí)值越接近于1，機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)/力傳遞性能越好。對(duì)ITI和OTI綜合考慮，局部運(yùn)動(dòng)/力傳遞指標(biāo)(LTI)可以表達(dá)為

LTI=min{λi,ηi}

(20)

從式(20)可以看出，LTI計(jì)算值的范圍為0～1，是一個(gè)與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)的無(wú)量綱指標(biāo)，其值越接近1，表示能量從機(jī)構(gòu)輸入端到輸出端的傳遞效率越高。

如圖1所示，以機(jī)構(gòu)分支1為例，其運(yùn)動(dòng)螺旋系和約束螺旋表達(dá)式為

(21)

(22)

由于機(jī)構(gòu)分支1的驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)為P副，為此$A1=$11。傳遞力螺旋$T1與機(jī)構(gòu)分支1中被動(dòng)關(guān)節(jié)的互易積為零，即

$T1°$1i=0 (i=2,3,4)

(23)

通過(guò)式(21)、(23)可計(jì)算得傳遞力螺旋$T1表達(dá)式為

$T1=(a1/|a1|;q1×a1/|a1|)

(24)

式中 $T1——過(guò)點(diǎn)A1、沿a1方向的力螺旋

同理，其余2個(gè)分支的傳遞力螺旋分別為

$T2=(a2/|a2|;q2×a2/|a2|)

(25)

$T3=(a3/|a3|;q3×a3/|a3|)

(26)

式中 $T2——過(guò)點(diǎn)A2、沿a2方向的力螺旋

$T3——過(guò)點(diǎn)A3、沿a3方向的力螺旋

鎖住機(jī)構(gòu)除分支1之外的所有驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)，機(jī)構(gòu)分支2和3中的傳遞力螺旋轉(zhuǎn)變成約束螺旋，機(jī)構(gòu)的約束螺旋系為U1=[$C1$C2$C3$T2$T3]，其維度為5，此時(shí)機(jī)構(gòu)為單自由度機(jī)構(gòu)，動(dòng)平臺(tái)的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)可通過(guò)輸出運(yùn)動(dòng)螺旋表示為

$O1°U1=0

(27)

式中 $O1——過(guò)點(diǎn)A3且沿A2A3方向的運(yùn)動(dòng)螺旋

由式(27)可得輸出運(yùn)動(dòng)螺旋的表達(dá)式為

$O1=
((q3-q2)/|q3-q2|;q2×(q3-q2)/|q3-q2|)

(28)

同理，其余兩種情況的輸出運(yùn)動(dòng)螺旋也可通過(guò)該方法得到，分別表示為過(guò)點(diǎn)A3且沿A1A3方向和過(guò)點(diǎn)A1且沿A1A2方向的運(yùn)動(dòng)螺旋。

3.2 全域傳遞指標(biāo)

由于LTI指標(biāo)僅能判斷機(jī)構(gòu)在單個(gè)位形下的運(yùn)動(dòng)/力傳遞性能，而機(jī)構(gòu)往往在一個(gè)特定的工作空間內(nèi)運(yùn)行，需要在一個(gè)工作空間內(nèi)去評(píng)價(jià)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)/力傳遞性能。為此，定義全局傳遞指標(biāo)(GTI)去評(píng)價(jià)機(jī)構(gòu)在全域的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能指標(biāo)，表達(dá)式為

(29)

在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中，采用離散點(diǎn)的數(shù)值方法計(jì)算GTI，表達(dá)式為

(30)

式中n——規(guī)則工作空間的離散點(diǎn)的數(shù)量

GTI指標(biāo)越高，意味著機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能越好。

4 多目標(biāo)優(yōu)化

多目標(biāo)優(yōu)化是指同時(shí)優(yōu)化彼此互相沖突的多個(gè)目標(biāo)函數(shù)，多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的解不唯一，而是一組均衡解，稱為非劣解集或Pareto最優(yōu)解集，且這組解無(wú)差別。它是由任一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值的提高都必須以犧牲其他目標(biāo)函數(shù)值為代價(jià)的解組成的。所謂非劣解是指由這樣一些解組成的集合(又稱非劣解集)：與集合之外的任何解相比它們至少有一個(gè)目標(biāo)函數(shù)比集合之外的解優(yōu)，而其他目標(biāo)函數(shù)又不比集合之外的解差。本文以第2節(jié)和第3節(jié)構(gòu)建的規(guī)則圓臺(tái)工作空間和GTI作為目標(biāo)函數(shù)，為了將目標(biāo)函數(shù)值控制在同一個(gè)量級(jí)，將工作空間的體積乘以系數(shù)10-3，多目標(biāo)優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型為

(31)

其中xdmin=(150， 150， 350)mm

xdmax=(250， 250， 450)mm

式中xd——設(shè)計(jì)參數(shù)矢量

為了求解式(31)的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，采用多目標(biāo)粒子群(MPSO)優(yōu)化算法，粒子群(PSO)算法的基本思想是模擬鳥群的覓食行為，群體中每一個(gè)體被看作一個(gè)在D維搜索空間中沒(méi)有體積和質(zhì)量的“粒子”，空間的維數(shù)D即為自變量的個(gè)數(shù)。每一個(gè)粒子通過(guò)跟蹤兩個(gè)極值來(lái)更新自身的空間位置和飛行速度，其中一個(gè)極值為單個(gè)粒子在自身迭代過(guò)程中的最優(yōu)解粒子，稱為個(gè)體極值；另一個(gè)極值為種群在迭代過(guò)程中的最優(yōu)解粒子，稱為全局極值。迭代的過(guò)程中粒子會(huì)根據(jù)自身經(jīng)驗(yàn)(個(gè)體極值)和種群交流(全局極值)來(lái)調(diào)整搜尋方向和速度，直至找到全局最優(yōu)解。粒子群算法根據(jù)自己的速度決定搜索，替代了遺傳算法復(fù)雜的交叉和變異操作，具有收斂速度快的優(yōu)點(diǎn)。

假設(shè)種群由N個(gè)粒子組成，在D維搜索空間進(jìn)行搜索，第i個(gè)粒子的個(gè)體最優(yōu)位置記為pi=(pi1,pi2,…,piD)(i=1，2，…，N)，全局最優(yōu)位置記為pg=(pg1,pg2,…,pgD)，粒子根據(jù)這兩個(gè)最優(yōu)值更新自己的速度和位置，即

vij(t+1)=ωvij(t)+c1r1(t)(pij(t)-xij(t))+
c2r2(t)(pgi(t)-xij(t))

(32)

xij(t+1)=xij(t)+vij(t+1)

(33)

式中ω——?jiǎng)討B(tài)慣性權(quán)重

c1、c2——學(xué)習(xí)因子，表示粒子跟蹤自己歷史最優(yōu)值和全局最優(yōu)值的權(quán)重

r1、r2——分布于[0,1]區(qū)間的隨機(jī)數(shù)

式(32)的第1部分表示粒子之前的速度，用于保證算法的全局收斂性，第2、3部分保證算法具有局部收斂的能力。采用的粒子群優(yōu)化算法參數(shù)設(shè)置如表1所示。

圖3給出了多目標(biāo)優(yōu)化的Pareto前沿，左下角區(qū)域的解屬于被支配解，右上角區(qū)域的解屬于不可達(dá)到的解。由圖可以看出，由于多目標(biāo)之間的競(jìng)爭(zhēng)和耦合關(guān)系Pareto前沿并不是光滑的曲線分布。圖中運(yùn)動(dòng)學(xué)/力傳遞性能GTI與Vr成反比，GTI越大，Vr越小。說(shuō)明GTI與Vr關(guān)于結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)存在競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系，無(wú)法在Pareto前沿上得到運(yùn)動(dòng)學(xué)性能與工作空間體積均取得最優(yōu)的情況，設(shè)計(jì)人員需要根據(jù)兩者的權(quán)重在Pareto前沿上得到兩者的均衡點(diǎn)，從而減少了設(shè)計(jì)時(shí)間。

表1 粒子群優(yōu)化算法的參數(shù)設(shè)置Tab.1 Parameter setting of particle swarm optimization algorithm

圖3 目標(biāo)函數(shù)Vr和GTI的Pareto前沿Fig.3 Pareto front of objective functions Vr and GTI

表2給出了Pareto前沿的18組最優(yōu)解集以及優(yōu)化前的機(jī)構(gòu)參數(shù)及目標(biāo)函數(shù)值。第1組對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)參數(shù)(151.92，150.50，402.17)mm對(duì)應(yīng)的工作空間的體積達(dá)到了極值582 rad2·mm，比優(yōu)化前提高了37.59%，GTI卻只有0.458；第2組設(shè)計(jì)參數(shù)(169.60，219.09，449.09)mm對(duì)應(yīng)的GTI達(dá)到了極大值0.687，比優(yōu)化前提高了57.57%，但縮小了工作空間的體積。也就是說(shuō)2-PUR-PSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能與工作空間之間存在著競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系，不能同時(shí)達(dá)到兩者的最優(yōu)，需要工程人員根據(jù)需要在兩者之間做出取舍。

不失一般性，圖4給出了優(yōu)化后的第2組設(shè)計(jì)參數(shù)在平面z=0.25 m中的LTI指標(biāo)分布圖，可以看出指標(biāo)關(guān)于ψ=0對(duì)稱，這與機(jī)構(gòu)的對(duì)稱性是吻合的。圖中還可以看出，LTI的最大值不是在初始位置(ψ,θ)=(0°,0°)處而是發(fā)生在(γ,β)=(0°,10°)附近的位置。

基于參數(shù)優(yōu)化結(jié)果，并考慮加工與裝配工藝性，選取其中1組結(jié)構(gòu)參數(shù)尺寸，給出該2-PUR-PSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)方案，繪制三維模型圖，加工制作樣機(jī)如圖5所示，該機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)器均設(shè)置在裝置的機(jī)架上，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)時(shí)電機(jī)不會(huì)跟隨機(jī)構(gòu)桿件一同運(yùn)動(dòng)，從而減輕了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)質(zhì)量，進(jìn)而減輕了裝置的負(fù)荷，提高了裝置的驅(qū)動(dòng)能力。因此，這種機(jī)構(gòu)具有較好的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性、實(shí)時(shí)控制性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。

表2 Pareto前沿的最優(yōu)解集以及優(yōu)化前的機(jī)構(gòu)參數(shù)及目標(biāo)函數(shù)值Tab.2 Optimal solutions and optimization of Pareto frontier and previous mechanism parameters and objective function values

圖4 2-PUR-PSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)LTI在平面z=0.25 m內(nèi)的LTI分布圖Fig.4 Distribution of LTI of 2-PUR-PSR parallel manipulator in plane z=0.25 m

圖5 2-PUR-PSR樣機(jī)Fig.5 Prototype of 2-PUR-PSR1.分支1(PUR) 2.驅(qū)動(dòng)電機(jī) 3.分支2(PUR) 4.動(dòng)平臺(tái) 5.分支3(PSR)

5 結(jié)論

(1)提出了基于極坐標(biāo)方法的規(guī)則圓臺(tái)工作空間體積的計(jì)算方法，以2-PUR-PSR為研究對(duì)象，以規(guī)則工作圓臺(tái)空間體積和GTI為目標(biāo)函數(shù)，以驅(qū)動(dòng)限制和關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角限制為約束條件，以機(jī)構(gòu)參數(shù)為設(shè)計(jì)變量，建立了2-PUR-PSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)尺度綜合多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。

(2)基于MPSO算法得到了2-PUR-PSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)尺度綜合多目標(biāo)優(yōu)化的Pareto前沿，給出了18組Pareto最優(yōu)解集，節(jié)約了設(shè)計(jì)時(shí)間。Pareto前沿的GTI最優(yōu)值比優(yōu)化前提高了57.57%，Vr最優(yōu)值比優(yōu)化前提高了37.59%，證明了優(yōu)化方法的有效性。

(3)建立的2-PUR-PSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的尺度綜合多目標(biāo)優(yōu)化模型也同樣適用于其他同類型的并聯(lián)機(jī)構(gòu)。以機(jī)構(gòu)在給定工作空間內(nèi)具有優(yōu)良的運(yùn)動(dòng)/力傳遞性能為目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)其尺度參數(shù)優(yōu)選，可為后續(xù)機(jī)構(gòu)剛度、運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差、動(dòng)力學(xué)等性能分析以及樣機(jī)制造奠定基礎(chǔ)。