高中數(shù)學解題中“構造法”的應用探討

■李先健

構造法是比較常見的一種數(shù)學解題方法,將其應用到高中數(shù)學解題中,可以有效降低解題難度,提高解題的準確性。下面就構造法在高中數(shù)學解題中的具體應用策略展開探究。

1.構造函數(shù)解決數(shù)學問題

在解決一些數(shù)學問題時,可以結(jié)合題目中的已知條件,構建新的函數(shù)關系式,讓原來的問題轉(zhuǎn)變成函數(shù)問題,并利用函數(shù)性質(zhì)解決原來的問題。構造函數(shù)解題是一種創(chuàng)新過程,其本身具有很強的技巧性,同學們在應用的過程中,需要盯緊要證、要解的目標。

分析：在解答本題時,如果同學們單純地進行計算,很難從正面得出結(jié)論,但可以結(jié)合題目信息構造一個函數(shù),利用函數(shù)的性質(zhì)來解題。設函數(shù),可知函數(shù)f(x)在R 上屬于奇函數(shù),且呈現(xiàn)單調(diào)遞增。由于,則。由f(x)=-f(y),即f(x)=f(-y),且函數(shù)f(x)屬于增函數(shù),得x=-y,從而證明x+y=0。

2.構造方程解決數(shù)學問題

在高中數(shù)學中,方程是十分重要的內(nèi)容,與函數(shù)有著十分緊密的聯(lián)系。在數(shù)學解題中,同學們可以結(jié)合題目中的數(shù)量關系、結(jié)構特征,構造相應的方程,利用方程理論解決原來的問題。

分析：在解決該問題時,同學們可以結(jié)合題目信息,重新構造一個方程t3+pt-q=0,x,y,z是該方程的三個根,p,q待定。將x,y,z代入方程可以得出x3+px-q=0,y3+py-q=0,z3+pz-q=0,將三個方程相加可以得出(x3+y3+z3)+p(x+y+z)-3q=0,代入原方程得出-18-3q=0,q=-6。依據(jù)韋達定理,得出xyz=-6=-1×2×3。由于x+y+z=0,因此x,y,z三個數(shù)為兩正一負,并且負數(shù)的絕對值比較大,為-3,剩余兩個數(shù)為1,2。由x,y,z是對稱的,因此可以得出的整數(shù)解為：x=1,y=2,z=-3；x=1,y=-3,z=2；x=2,y=1,z=-3；x=2,y=-3,z=1；x=-3,y=1,z=2；x=-3,y=2,z=1。

3.構造向量解決數(shù)學問題

由于向量本身的性質(zhì),使得向量可以在數(shù)形之間靈活轉(zhuǎn)變,在高中數(shù)學解題中,不管是幾何問題,還是代數(shù)問題,或者是三角問題,都可以用向量這一工具來解決。因此,在實際解題中,同學們可以構造相應的向量來解決數(shù)學問題。

例如,有8 個非零實數(shù),x1,x2,x3,…,x8,試證明：在x1x3+x2x4,x1x5+x2x6,x1x7+x2x8,x3x5+x4x6,x3x7+x1x8,x5x7+x6x8這6個數(shù)中,最少有一個非負數(shù)。

分析：在本題中,單看題目給出的信息,相對比較少,難以完成解題,但是對其形式進行分析后,可以發(fā)現(xiàn)它們的形式與平面向量在坐標運算中的數(shù)量積相關,因此可以通過構造向量的方法來解題。在直角坐標系xOy中,構造出向量,其坐標分別是(x1,x2),(x3,x4),(x5,x6),(x7,x8)。在平面上,四個向量兩兩所成夾角最少有一個不大于,假設向量的夾角θ不大于,則,得出x1x3+x2x4≥0,從而命題得證。