基于多分辨率復(fù)合陣列的未知信源數(shù)波達(dá)方向估計(jì)

（上海無(wú)線電設(shè)備研究所，上海 201109）

0 引言

多分辨率復(fù)合陣列（Multi-Resolution Composite Arrays，MRCA）是由數(shù)個(gè)陣元間距不同的均勻線性子陣列（Uniform Linear Sub-Arrays，ULSA）組成的非均勻線陣（Non-niform Linear Arrays，NLA）［1-5］。相比于陣元數(shù)相同的均勻線陣，多分辨率復(fù)合陣列具有更大的有效孔徑、更高的測(cè)向精度和角度分辨率，因而在波束形成與波達(dá)方向（Direction-of-Arrival，DOA）估計(jì)領(lǐng)域受到關(guān)注［3］。

互質(zhì)陣列可以看成僅有2 個(gè)子陣的多分辨率復(fù)合陣列［6-8］，即兩個(gè)子陣的陣元間距均大于半波長(zhǎng)。目前基于互質(zhì)陣的DOA 估計(jì)主要利用解模糊的方法進(jìn)行空間譜估計(jì)［9-10］。文獻(xiàn)［10］提出了一種聯(lián)合MUSIC 估計(jì)算法，該方法利用互質(zhì)特性去除子陣DOA 估計(jì)存在的角度模糊。由于僅有兩個(gè)子陣，該算法僅能估計(jì)一個(gè)不模糊目標(biāo)信號(hào)。在多目標(biāo)信號(hào)情況下，基于解模糊的DOA 估計(jì)方法需要通過(guò)多分辨率復(fù)合陣列實(shí)現(xiàn)。

基于解模糊的思想，本文將密集陣的DOA 估計(jì)算法拓展至多分辨率復(fù)合陣列中，如多重信號(hào)分類（Multiple Signal Characterization，MUSIC）算法。然而，這些算法都需要有信源數(shù)目作為算法的先驗(yàn)信息，信源數(shù)的準(zhǔn)確性影響DOA 估計(jì)性能。雖然現(xiàn)有文獻(xiàn)給出了信源數(shù)目估計(jì)方法［11-14］，但是這些方法無(wú)法解決信號(hào)相干的問(wèn)題。為了解決這一問(wèn)題，文獻(xiàn)［15］提出一種基于未知信源數(shù)的相干信號(hào)DOA 估計(jì)方法，但該方法直接運(yùn)用于多分辨率復(fù)合陣列中將導(dǎo)致計(jì)算量過(guò)大的問(wèn)題。

本文基于解模糊的思想和文獻(xiàn)［15］中的方法，提出了一種改進(jìn)的基于子陣空間譜聯(lián)合的DOA 估計(jì)算法，該算法將文獻(xiàn)［15］中的算法拓展至多分辨率復(fù)合陣列的DOA 估計(jì)中。通過(guò)對(duì)各子陣構(gòu)造一個(gè)無(wú)需信源數(shù)的代價(jià)函數(shù)，免去信源數(shù)先驗(yàn)性信息的需求。考慮到各子陣進(jìn)行全范圍搜索計(jì)算量較大，提出了從單個(gè)不模糊區(qū)搜索，反推全部模糊角度的改進(jìn)方案，并利用聯(lián)合代價(jià)函數(shù)匹配的方法，獲得真實(shí)的角度估計(jì)。該方法有效克服了傳統(tǒng)全空間搜索算法需信源數(shù)先驗(yàn)性信息的缺點(diǎn)，同時(shí)通過(guò)不模糊區(qū)搜索的方式減少計(jì)算量。

1 信號(hào)模型

考慮由Q個(gè)陣元數(shù)為2M+1 的均勻直線陣構(gòu)成的多分辨復(fù)合陣列，子陣的陣元m依次為-M，…，0，…M，其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1 所示。記第q個(gè)子陣的陣元間距為，其中，λ為載頻波長(zhǎng)，正整數(shù)Zq＞1，且兩兩互質(zhì)。

圖1 多分辨復(fù)合陣列模型Fig.1 Multi-resolution composite array model

假設(shè)存在K（K＜Q且K≤M+1）個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)，其中前Kc個(gè)信號(hào)為相干信號(hào)，第k個(gè)信號(hào)的波達(dá)方向記為θk（θk∈（-π/2，π/2），k=1，2，…，K）。對(duì)于相干信號(hào)，記第一個(gè)信號(hào)為s1(t)，則其余相干信號(hào)可表示為

第子陣q關(guān)于θk的導(dǎo)向矢量為

則第q個(gè)子陣接收到的信號(hào)可表示為

式中：Nq（t）為均值為0 方差為σ2的高斯白噪聲矩陣；Aq為子陣q所有導(dǎo)向矢量構(gòu)成矩陣；S（t）為所有信號(hào)構(gòu)成的信號(hào)矩陣。

2 基于子陣空間譜聯(lián)合的DOA 估計(jì)方法

基于子陣空間譜聯(lián)合的DOA 估計(jì)方法首先對(duì)各個(gè)子陣進(jìn)行DOA 估計(jì)得到所有的模糊角度，然后利用子陣互質(zhì)的特性，聯(lián)合子陣空間譜剔除虛假角度獲得真實(shí)的DOA 估計(jì)。

2.1 托普利茲變換

子陣q的協(xié)方差矩陣為

基于信號(hào)相關(guān)的假設(shè)，協(xié)方差矩陣Rq中的每一個(gè)元素可表示為

式中：

選取協(xié)方差矩陣Rq的第m行，構(gòu)造如下形式的托普利茲矩陣：

2.2 未知信源數(shù)的DOA 估計(jì)

當(dāng)子陣q不存在模糊時(shí)，即Zq=1，對(duì)于子陣q構(gòu)成的2M+1 個(gè)托普利茲矩陣，僅有M+1 個(gè)矩陣包含不同的統(tǒng)計(jì)信息。由于Sqm為滿秩矩陣，因此，可利用這M+1 個(gè)托普利茲矩陣進(jìn)行DOA 估計(jì)。在對(duì)于第k個(gè)信號(hào)，總存在矢量bk∈C(M+1)×1，使得bk與剩余K-1 個(gè)信號(hào)新導(dǎo)向矢量構(gòu)成的空間相互垂直，可得到

聯(lián)立式（9）和式（10）可得

根據(jù)式（11）可以假設(shè)在不考慮噪聲的條件下，若真實(shí)的波達(dá)方向?yàn)棣萲，則存在一個(gè)尺度因子gqm使得

再考慮噪聲影響，從而有以下優(yōu)化問(wèn)題：

由于gq和bk未知，無(wú)法通過(guò)直接搜索DOA 優(yōu)化式（13）。因此，需要對(duì)式（13）進(jìn)行簡(jiǎn)化，基于文獻(xiàn)［15］的結(jié)論，最終可簡(jiǎn)化為

通過(guò)譜峰搜索的方式即可獲得各個(gè)子陣的DOA 估計(jì)，然而在多分辨率復(fù)合陣列中Zq＞1，使之存在角度模糊問(wèn)題。

2.3 子陣空間譜聯(lián)合

當(dāng)子陣的陣元間距大于半波長(zhǎng)時(shí)，即Zq＞1 時(shí)，通過(guò)子陣得到的波達(dá)方向估計(jì)值有角度模糊。如果真實(shí)角度為θ，模糊角度為θa，則兩者之間存在如下關(guān)系：

聯(lián)立式（18）和式（19）可得

在多分辨率復(fù)合陣列中Zq兩兩互質(zhì)，因而不存在k1、k2使得等式（19），即僅有K個(gè)真實(shí)DOA 可同時(shí)為Q個(gè)子陣的估計(jì)值。如圖2 所示，給出了K=2、Q=3 時(shí)各子陣的空間譜，其中3 種不同顏色的曲線分別表示3 個(gè)子陣全空間搜索得到的空間譜，虛線表示真實(shí)波達(dá)方向?？煽闯鰞H在真實(shí)角度的區(qū)間內(nèi)才存在3 個(gè)子陣空間譜譜峰的重疊，且譜峰周期性出現(xiàn)，重復(fù)次數(shù)為Zq。

圖2 各子陣的空間譜Fig.2 Spectra of subarrays

而采用MUSIC 算法對(duì)3 個(gè)子陣全空間搜索時(shí)，若信源數(shù)估計(jì)錯(cuò)誤，各子陣的空間譜無(wú)法對(duì)所有波達(dá)方向進(jìn)行準(zhǔn)確估計(jì)。此處設(shè)置為1，MUSIC 算法各子陣的空間譜如圖3 所示。從圖3 中可看出，譜峰雖周期性出現(xiàn)，但其重復(fù)次數(shù)不為Zq，且真實(shí)角度的區(qū)間內(nèi)3 個(gè)子陣空間譜譜峰并未出現(xiàn)重疊，因此，無(wú)法準(zhǔn)確估計(jì)波達(dá)方向。

圖3 MUSIC 算法的各子陣空間譜Fig.3 Spectra of subarrays obtained by the MUSIC algorithm

對(duì)子陣q在()范圍內(nèi)進(jìn)行未知信源數(shù)的DOA 估計(jì)，可得其全部模糊角度，假設(shè)為Nq(Nq＜Zq?K)個(gè)?；谏鲜鼋Y(jié)論，其中僅有K個(gè)DOA 估計(jì)值帶入其余子陣代價(jià)函數(shù)和式中取小值，公式為

式中：θqn為子陣q的第n個(gè)DOA 估計(jì)值。

3 改進(jìn)的快速DOA 估計(jì)方法

在不模糊區(qū)間中進(jìn)行DOA 估計(jì)，僅有與信源數(shù)一致的K個(gè)波達(dá)方向估計(jì)值。利用式（16）可推出剩余模糊角度，減少角度搜索范圍，從而降低計(jì)算量。此外，不模糊區(qū)域的角度范圍相對(duì)于全范圍有所縮減，導(dǎo)致部分子陣中模糊角度間距更近。受信噪比和陣元數(shù)影響，算法分辨率較低無(wú)法將其區(qū)分，使得該子陣不模糊區(qū)域內(nèi)的譜峰數(shù)目小于信源數(shù)K。因而需要剔除譜峰數(shù)量較小子陣，避免影響后續(xù)匹配。改進(jìn)后的未知信源數(shù)的DOA 估計(jì)算法步驟大致如下：

步驟1利用估計(jì)子陣的協(xié)方差矩陣，L為快拍數(shù)。

步驟2選擇協(xié)方差矩陣的前M+1 行構(gòu)造如式（9）的托普利茲矩陣。

步驟3選擇不模糊區(qū)域，計(jì)算Fq、Gq(θ)，并利用式（15）求解該不模糊區(qū)域的空間譜Pq(θ)。

步驟4對(duì)Pq(θ)進(jìn)行譜峰搜索，得到對(duì)應(yīng)的模糊角度，利用式（17）可推出剩余模糊角度。

步驟5選擇不模糊區(qū)域內(nèi)譜峰數(shù)量最大且相等子陣的模糊角度，利用式（21）獲得真實(shí)的DOA。

步驟6對(duì)各子陣求得DOA 進(jìn)行排序和平均，得到最終的DOA。

未知信源數(shù)DOA 估計(jì)單個(gè)角度搜索的計(jì)算量為O[(2M+1)2N+(M+1)4+5(M+1)3]，若假設(shè)快拍數(shù)為L(zhǎng)，在()范圍內(nèi)角度步長(zhǎng)為Step 所對(duì)應(yīng)的搜索次數(shù)為Nstep，則該算法的計(jì)算量接近。由于，因此，改進(jìn)后算法計(jì)算量得到較大的降低。

4 仿真試驗(yàn)及結(jié)果分析

本節(jié)通過(guò)仿真試驗(yàn)驗(yàn)證本文所提算法的性能，同時(shí)與采用全空間搜索的多重信號(hào)分類算法（TSSMUSIC）和采用全空間搜索的Capon 算法（TSSCapon）進(jìn)行性能對(duì)比。在使用TSS-MUSIC 算法及TSS-Capon 算法時(shí)，假設(shè)信源數(shù)目已知。仿真實(shí)驗(yàn)采用多分辨率復(fù)合陣列結(jié)構(gòu)，如圖1 所示，子陣數(shù)Q為4，子陣陣元數(shù)2M+1 為9，各子陣的陣元間距依次為，即Z1=2，Z2=3，Z3=5，Z4=7。設(shè)置3 個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)，其中前2 個(gè)為相干信號(hào)，DOA 依次為θ1=-5°，θ2=3°，θ3=25°。設(shè)置搜索步長(zhǎng)為0.05°。

實(shí)驗(yàn)一固定快拍數(shù)L為300，基于1 000 次獨(dú)立的蒙特卡洛仿真，給出了DOA 估計(jì)值的均方根誤差（RMSE）隨信噪比（SNR）變化曲線，如圖4 所示。由圖可知，在SNR 較小時(shí)（＜0 dB），本文所提出的算法的RMSE 大于其他2 種算法。但當(dāng)SNR大于6 dB 時(shí)，該算法的RMSE 則明顯低于其他2 種算法。當(dāng)SNR 大于15 dB 時(shí)，該算法的RMSE 僅為TSS-MUSIC 算法和TSS-Capon 算法1/2。

圖4 DOA 估計(jì)的均方根誤差與SNR 關(guān)系Fig.4 Relation between the RMSE estimated by the DOA and the SNR

實(shí)驗(yàn)二固定快拍數(shù)L為300，基于1 000 次獨(dú)立的蒙特卡洛仿真，以搜索步長(zhǎng)的一半，即0.025°作為DOA 估計(jì)的分辨成功率，給出了DOA 估計(jì)的分辨成功率（Success Rate）隨信噪比（SNR）變化曲線，如圖5 所示。由圖5 可以看出，本文提出的算法在SNR 為-5 dB 到0 dB 時(shí)，分辨成功率均較低，當(dāng)SNR 大于0 dB 時(shí)，則分辨成功率均快速提高。在分辨成功率為98%時(shí)，相比于TSS-Capon 算法，本文提出的算法SNR 改善了5 dB 以上。雖然相對(duì)于TSS-MUSIC 算法SNR 無(wú)改善，但需注意的是，TSS-MUSIC 算法是在信源數(shù)目估計(jì)正確的情況下達(dá)到98%的分辨成功率，而本文提出的算法無(wú)需信源數(shù)目先驗(yàn)信息。

實(shí)驗(yàn)三固定SNR 為10 dB，快拍數(shù)L=［40，60，80，100，150，200，30，500，900］，基于1 000 次獨(dú)立的蒙特卡洛仿真，給出DOA 估計(jì)值的均方根誤差（RMSE）隨快拍數(shù)變化，如圖6 所示。由圖6 可看出，快拍數(shù)L＜60 時(shí)，本文所提出算法的RMSE 大于其他2 種算法，但隨著快拍數(shù)的增加該算法的RMSE 逐漸降低，而TSS-Capon 算法和TSS-MUSIC 算法則沒(méi)有明顯改善。當(dāng)L＞150 時(shí)，本文提出算法的RMSE 明顯低于其他2 種算法。

圖5 DOA 估計(jì)的分辨成功率與SNR 關(guān)系Fig.5 Relation between the success rate estimated by the DOA and the SNR

圖6 DOA 估計(jì)的均方根誤差與快拍數(shù)關(guān)系Fig.6 Relation between the RMSE estimated by the DOA and the number of snapshots

實(shí)驗(yàn)四固定SNR 為10 dB，快拍數(shù)L=［40，60，80，100，150，200，30，500，900］，基于1 000 次獨(dú)立的蒙特卡洛仿真，以搜索步長(zhǎng)的一半，即0.025°作為DOA 估計(jì)的分辨成功率，給出了DOA 估計(jì)的分辨成功率隨快拍數(shù)變化曲線，如圖7 所示。由圖7可以看出，TSS-Capon 算法的DOA 估計(jì)的分辨成功率均變化平緩，并逐漸趨于72.4%，而本文提出的算法和TSS-MUSIC 的DOA 估計(jì)的分辨成功率均則隨著快拍數(shù)的增加快速提高，當(dāng)快拍數(shù)L為300時(shí)，2 種算法的分辨成功率達(dá)到99.2%。

圖7 DOA 估計(jì)的分辨成功率與快拍數(shù)關(guān)系Fig.7 Success rate of DOA estimation versus snapshots

從仿真結(jié)果可以看出，在高信噪比、多快拍數(shù)的條件下，本文所提出的算法DOA 估計(jì)精度優(yōu)于TSS-MUSIC 算法和TSS-Capon 算法。而在信噪比較低、快拍數(shù)較少的條件下，本文所提出的算法DOA 估計(jì)略差于TSS-MUSIC 算法和TSS-Capon算法。這是由于未知信源數(shù)相干信號(hào)DOA 估計(jì)算法在信噪比較低、快拍數(shù)較少時(shí)分辨率較低，導(dǎo)致部分子陣列DOA 估計(jì)中無(wú)法區(qū)分兩相鄰信號(hào)，在步驟5 被剔除，信息未被使用，因而性能受到影響。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了基于多分辨率復(fù)合陣的未知信源數(shù)相干信號(hào)DOA 估計(jì)問(wèn)題。將未知信源數(shù)相干信號(hào)DOA 估計(jì)方法擴(kuò)展至多分辨率復(fù)合陣列中，針對(duì)多分辨率復(fù)合陣列的信號(hào)特點(diǎn)，通過(guò)各子陣的不模糊區(qū)間搜索，反推其余模糊角度的方式減少計(jì)算量，并利用利用匹配的方式實(shí)現(xiàn)未知信源數(shù)DOA估計(jì)。仿真結(jié)果表明，在高信噪比、多快拍數(shù)的條件下，本文所提出的算法DOA 估計(jì)精度優(yōu)于TSSMUSIC 算法和TSS-Capon 算法。后續(xù)可嘗試?yán)们蟾教娲臻g搜索，從而進(jìn)一步減少計(jì)算量。