適應(yīng)增材制造構(gòu)件傾角約束的拓?fù)鋬?yōu)化方法

杜義賢 ，徐 明 ，周 鵬 ，田啟華

（1.三峽大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院，湖北 宜昌 443002；2.水電機(jī)械設(shè)備設(shè)計(jì)與維護(hù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 宜昌 443002）

1 引言

與傳統(tǒng)的制造技術(shù)相比，增材制造技術(shù)（AdditiveManufacture，AM）通過材料層層累加的方式實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的制備，極大地拓寬了設(shè)計(jì)空間，與拓?fù)鋬?yōu)化的完美融合，使得幾何構(gòu)型的復(fù)雜程度不再是工程設(shè)計(jì)考慮的主要指標(biāo)[1]。然而，現(xiàn)階段普遍遇到的難題是結(jié)構(gòu)的傾角（與基面相對(duì)的邊界和基面所成的夾角）小于臨界值[2-4]時(shí)無法直接打印出來。目前解決的辦法主要是添加附加支撐[5-6]，但是附加支撐會(huì)增加打印的時(shí)間和材料，導(dǎo)致成本的增加。文獻(xiàn)[7]搜索最優(yōu)的打印方向，降低所使用支撐結(jié)構(gòu)的總體積；文獻(xiàn)[8-9]固定打印方向，優(yōu)化模型的形狀使邊界面向基底的面積減小，從而減少支撐結(jié)構(gòu)；文獻(xiàn)[10]將支撐結(jié)構(gòu)融合為初始模型的一部分形成自支撐，然后對(duì)附加支撐結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，達(dá)到減少支撐的目的。上述研究主要考慮的是減少支撐，不能消除附加支撐帶來的影響?；谖墨I(xiàn)[11]提出的AM 過濾方法，構(gòu)建一種新的單元密度更新迭代規(guī)則，與拓?fù)鋬?yōu)化程序[12]相結(jié)合，以MBB 梁和懸臂梁為例，定義不同的基底方向，拓?fù)涑隹芍苯哟蛴〉臉?gòu)型。為了更直觀驗(yàn)證所提出的單元密度更新迭代規(guī)則的可行性，將MBB 梁W方向和懸臂梁的S方向的構(gòu)型進(jìn)行模型重構(gòu)，并測(cè)量典型傾角的大小。

2 建立單元密度更新迭代規(guī)則

將矩形設(shè)計(jì)域均勻離散為ni×nj個(gè)正方形單元，i 方向?yàn)榇蛴》较?。每個(gè)單元的可打印密度 ξ（i，j）取決于初始密度 x（i，j），其中i 和j 分別表示單元的豎直位置和水平位置，第一層位于基底上，其層索引序號(hào)為i=1。根據(jù)增材制造技術(shù)層積堆疊制造原理，新增層只有被已打印層充分支撐才可打印，定義所有依靠基底層（i=1）支撐的單元都可打印。結(jié)構(gòu)的傾角在［45°，90°］可直接打印[2-4]，Martthijs 提出單元的可打印密度與該位置的初始密度及其下一層的可打印密度有關(guān)，得到的角度約束為45°，但是在實(shí)際打印過程中發(fā)現(xiàn)拓?fù)涑鰜淼慕Y(jié)構(gòu)會(huì)出現(xiàn)坍塌。若單元的可打印密度由該位置的初始密度及其下多層的可打印密度決定，得到的角度約束會(huì)隨著決定層數(shù)的增多而增大，打印的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性也會(huì)越好，但是角度約束越大拓?fù)錁?gòu)型的多樣性就越少。因此為了實(shí)現(xiàn)可直接打印且結(jié)構(gòu)盡可能的多樣，規(guī)定每個(gè)單元的可打印密度ξ（i，j）既與位置（i，j）處的初始密度 x（i，j）和其下一層即 i-1 的可打印密度相關(guān)，同時(shí)也與位置（i，j）下面第二層即i-2 層的可打印密度相關(guān)。

設(shè)（i，j）處初始密度為 x（i，j），（i，j）處可打印密度為 ξ（i，j），位于（i，j）處單元正下方i-1 層與i-2 層及左右相鄰的單元共6 個(gè)單元組成支撐區(qū)域 S（i，j），如圖 1 所示。S（i，j）中位于 i-1 層的三個(gè)單元最大可打印密度為 Ξ（i，j），S（i，j）中位于 i-2 層的三個(gè)單元最大可打印密度為 Ξ（i-1，j），顯然若 i=2 則 Ξ（i-1，j）=0。建立如下單元密度更新迭代規(guī)則：規(guī)定（i，j）處可打印密度 ξ（i，j）為相應(yīng)支撐區(qū)域內(nèi)i-1 層最大可打印密度和i-2 層最大可打印密度以及該處初始密度的最小值。

由此建立更新迭代模型公式化如下：

式中：ξ（i，j）—每次迭代后單元（i，j）處的可打印密度；x（i，j）—每次迭代前單元（i，j）處的初始密度—與單元（i，j）相應(yīng)的支撐區(qū)域內(nèi)i-1 層與i-2 層最大可打印密度的較小值；下一行臨近三個(gè)單元可打印密度最大值。

圖1 單元（i，j）及其支撐區(qū)域 S（i，j）Fig.1 Definition Supporting Region S（i，j） for Element（i，j）

迭代的過程示例，如圖2 所示。按照迭代規(guī)則對(duì)每一層的可打印密度進(jìn)行更新，最終得到密度分布圖，如圖2（l）所示。用一條線段將有材料區(qū)域和空白區(qū)域分隔開來，即可在宏觀上得到一條與基面夾角為arctan2（約為63°）的清晰結(jié)構(gòu)邊界，如圖2（l）所示。

圖2 逐層迭代過程Fig.2 Conceptual Layer-by-Layer Iterative Process

為了便于進(jìn)行敏度分析，將迭代模型用光滑近似的可微形式進(jìn)行表示，定義如下近似形式：

所以單元密度迭代的模型可以表示為：

由式（8）、式（9）和式（10）知第 i 層的可打印密度與第 1 層到第i-1 層的可打印密度均密切相關(guān)，為了在敏度分析中求解更高效，采用伴隨公式表達(dá)可打印密度與初始密度的關(guān)系：

式中：S′—smin 符號(hào)的簡寫形式，單一下標(biāo)為層數(shù)索引符號(hào)。

3 拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型及敏度分析

3.1 拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型

基于SIMP[15]的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)，在滿足約束條件下，以可打印結(jié)構(gòu)的柔度c 對(duì)最小為目標(biāo)。根據(jù)前文分析可知，目標(biāo)函數(shù)取決于可打印結(jié)構(gòu)密度矩陣ξ（x），而可打印結(jié)構(gòu)密度矩陣ξ（x）又取決于初始密度x，建立的優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型如下：

式中：c—結(jié)構(gòu)整體的柔度；KU=F—結(jié)構(gòu)力學(xué)控制方程；V（x）—優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的體積；V0—設(shè)計(jì)域體積；f—體積系數(shù)，ξi單元密度迭代規(guī)則即傾角約束。

3.2 目標(biāo)函數(shù)的敏度分析

在式（12）的拓?fù)鋬?yōu)化模型中，目標(biāo)函數(shù)c 關(guān)于設(shè)計(jì)變量x的敏度為：

在礦區(qū)內(nèi)針對(duì)性采集了石墨礦、斜長角閃片巖、大理巖、黑云斜長石英片巖、黑云斜長片麻巖、黑云花崗閃長巖、石英閃長巖等350件物性標(biāo)本，進(jìn)行了電性測(cè)定，統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表2。

式中：λi—乘子矢量，對(duì)于第一層和第二層有≡式（14）微分形式為：

式中：δij—克羅內(nèi)克函數(shù)，當(dāng) i=j 時(shí) δij=1，當(dāng) i≠j 時(shí) δij=0 且 1≤j≤ni。由于可打印密度只取決于其下層的初始密度，所以當(dāng)i＜j時(shí)所以可以去掉式（15）中 i＜j 的項(xiàng)。提取求和公式中 i=j 的項(xiàng)，利用整理式（15）得到：

由于每個(gè)乘子都取決于其上面兩層相關(guān)聯(lián)的乘子，因此評(píng)估的順序?qū)捻攲娱_始向下進(jìn)行，與瞬態(tài)問題伴隨靈敏度分析相似[14]，可得：

式中各微分形式均可根據(jù)式（4）～式（10）得到。

所以，目標(biāo)函數(shù)關(guān)于初始密度的敏度為：

3.3 模型求解

根據(jù)所建立的優(yōu)化模型，結(jié)合單元密度更新迭代規(guī)則，采用OC 算法（優(yōu)化準(zhǔn)則）對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化求解，優(yōu)化步驟如下：

（1）定義設(shè)計(jì)初始條件即設(shè)計(jì)域、載荷條件、約束條件等邊界條件及材料相關(guān)屬性，將材料均勻的離散到每個(gè)單元，得到初始密度分布；

（2）按式（11）進(jìn)行單元密度的更新迭代得到滿足傾角約束的可打印密度分布；

（3）進(jìn)行有限元分析求解獲取結(jié)構(gòu)整體位移場(chǎng)U；

（4）按式（12）和式（21）計(jì)算得到目標(biāo)函數(shù)的值和關(guān)于設(shè)計(jì)變量的敏度分析計(jì)算；

（5）采用OC 算法更新設(shè)計(jì)變量，得到新的密度分布；

（6）根據(jù)收斂條件判斷目標(biāo)函數(shù)是否收斂，若收斂，則輸出拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)，否則轉(zhuǎn)到（2）。

4 數(shù)值算例分析

以MBB 梁和懸臂梁（縱橫比均為3）為例，將單元密度的更新迭代規(guī)則與拓?fù)鋬?yōu)化程序相結(jié)合，迭代的初始值分別設(shè)定為P=40，ξ0=0.5、ε=10-4、nS=3，拓?fù)涑鱿鄳?yīng)的可打印構(gòu)型，以 MBB 梁的S 方向和懸臂梁的W 方向?yàn)槔?，?duì)優(yōu)化構(gòu)型進(jìn)行幾何重構(gòu)，并對(duì)結(jié)構(gòu)下邊界與地面所成的夾角進(jìn)行角度測(cè)量，證明所提出的單元密度更新迭代規(guī)則是可行的。

4.1 MBB 梁

將MBB 梁的設(shè)計(jì)域均勻離散為180×60 個(gè)單元，定義不同方向的基底，材料的彈性模量為1，泊松比為0.3，集中載荷F=1（所有量為相對(duì)值，無量綱，下文同），如圖3 所示。以柔度最小化為目標(biāo)，添加單元密度迭代規(guī)則，分別拓?fù)涑鲆圆煌椎目纱蛴∧Ｐ?，如圖4 所示。圖中的粗實(shí)線表示增材制造的基底（下同）。

圖3 MBB 梁基底方位Fig.3 Baseplate Orientation of MBB Beam

圖4 添加迭代規(guī)則的MBB 梁拓?fù)錁?gòu)型Fig.4 MBB Beam Topological Configuration with Iterative Rules

4.2 懸臂梁

類似的將懸臂梁的設(shè)計(jì)域均勻離散為180×60 個(gè)單元，定義不同基底的打印方向，材料的彈性模量為1，泊松比為0.3，集中載荷F=1，如圖5 所示。以柔度最小化為目標(biāo)，添加單元密度迭代規(guī)則，分別拓?fù)涑鲆圆煌椎目纱蛴∧Ｐ?，如圖6 所示。

圖5 懸臂梁基底方位Fig.5 Baseplate Orientation of Cantilever Beam

圖6 添加迭代規(guī)則的懸臂梁拓?fù)錁?gòu)型Fig.6 Cantilever Beam Topological Configuration with Iterative Rules

4.3 約束的角度驗(yàn)證

雖然以不同方向?yàn)榛椎耐負(fù)涑鰜淼慕Y(jié)構(gòu)不同，但是均能滿足傾角大于63°的要求，實(shí)現(xiàn)無附加支撐的打印，如圖4、圖6所示。為了更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)尿?yàn)證提出的單元密度更新迭代規(guī)則的是可行性，分別對(duì)MBB 梁的S 方向和懸臂梁的W 方向基底的拓?fù)錁?gòu)型進(jìn)行模型重構(gòu)，并對(duì)典型的傾角進(jìn)行測(cè)量，其測(cè)量結(jié)構(gòu)，如圖7、圖8 所示。從測(cè)量結(jié)果可知，無論是MBB 梁還是懸臂梁其傾角都大于或者等于63°，進(jìn)一步說明所提出的單元密度迭代規(guī)則是有效的。

圖7 MBB 梁以S 方向?yàn)榛椎慕嵌闰?yàn)證Fig.7 Overhang Angle Verification of MBB Beam Based on S Direction

圖8 懸臂梁以W 方向?yàn)榛椎慕嵌闰?yàn)證Fig.8 Overhang Angle Verification of Cantilever Beam Based on W Direction

5 結(jié)論

（1）提出了一種新的密度更新迭代規(guī)則，建立每個(gè)單元的可打印密度與相應(yīng)支撐區(qū)域內(nèi)單元的可打印密度之間的關(guān)系，該規(guī)則能夠過濾掉不符合增材制造傾角約束的結(jié)構(gòu)。

（2）以可打印結(jié)構(gòu)的剛度最大為目標(biāo)，以結(jié)構(gòu)的材料用量和力學(xué)控制方程為約束條件，同時(shí)將迭代規(guī)則添加到約束條件中，以MBB 梁和懸臂梁為例進(jìn)行結(jié)構(gòu)拓?fù)?，得到了以不同方向?yàn)榛椎耐負(fù)錁?gòu)型，其傾角均滿足增材制造的傾角約束，可實(shí)現(xiàn)無附加支撐的打印，節(jié)約打印的材料、打印的時(shí)間和后處理的成本。

（3）選取部分拓?fù)錁?gòu)型進(jìn)行模型重構(gòu)，并對(duì)典型傾角進(jìn)行測(cè)量，結(jié)果其傾角均不小于63°，進(jìn)一步驗(yàn)證了該方法在增材制造傾角約束問題中的可行性和有效性。