含有靜態(tài)遲滯Hammerstein系統(tǒng)的建模

李海芬，韓子軒，于 臻，李 攀

(1. 華北科技學(xué)院 電子信息工程學(xué)院，北京 東燕郊 065201；2. 中國(guó)石油化工股份有限公司石油工程技術(shù)研究院，北京 100101；3. 華北科技學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，北京 東燕郊 065201)

0 引言

隨著納米技術(shù)和微定位系統(tǒng)的迅速發(fā)展，微納米材料的研究得到了很多學(xué)者的關(guān)注。壓電陶瓷作為一種新型材料也具有一些優(yōu)點(diǎn)，如定位精度高，體積小、敏感性強(qiáng)等[1,2]，被廣泛應(yīng)用于精密加工機(jī)床、機(jī)械振動(dòng)手臂、3D打印技術(shù)以及生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域。壓電陶瓷的工作原理是在外加電場(chǎng)的作用下，其自身的材料會(huì)發(fā)生微小形變，以達(dá)到微小位移的精確控制，這種微小位移通過柔性鉸鏈裝置進(jìn)一步放大，得到需要的位移輸出，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。但壓電陶瓷也具有其缺點(diǎn)，如遲滯特性、蠕變特性，這些特性嚴(yán)重影響整個(gè)系統(tǒng)的控制精度和靈敏度，使得誤差變大，性能降低[3-5]。當(dāng)遲滯的后端還連有一個(gè)動(dòng)態(tài)的線性環(huán)節(jié)時(shí)，就構(gòu)成了含有遲滯的Hammerstein系統(tǒng)。壓電陶瓷超精密定位平臺(tái)是近些年發(fā)展起來的一種新型精密平臺(tái)，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)可以看成是由壓電執(zhí)行器和柔性鉸鏈組成，為了對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行準(zhǔn)確的控制，后端的柔性鉸鏈不能忽略。

圖1 壓電陶瓷執(zhí)行器工作示意圖

由于存在于壓電陶瓷中的遲滯特性具有非光滑非線性特性對(duì)于精密定位平臺(tái)的控制精度和靈敏度影響很大，在對(duì)這類復(fù)雜的系統(tǒng)進(jìn)行精確控制之前，首先要得到系統(tǒng)準(zhǔn)確的模型。目前，描述遲滯特性有如下幾種模型，Preisach模型[6,7]、Duhem模型[8-10]、Backlash-Like模型，文獻(xiàn)[11]用廣義的Preisach模型描述非光滑非線性的遲滯特性，文獻(xiàn)[12]用PI模型來描述系統(tǒng)中的遲滯特性，并用非光滑觀測(cè)器對(duì)含有遲滯的三明治系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)。

本文主要研究含有遲滯的Hammerstein系統(tǒng)的建模問題，遲滯部分采用PI模型來描述Hammerstein系統(tǒng)中的遲滯特性，并用遞推最小二乘法來辨識(shí)整個(gè)系統(tǒng)模型的參數(shù)，通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較參數(shù)模型的輸出和系統(tǒng)實(shí)際的輸出的誤差值，表明該辨識(shí)方法能較準(zhǔn)確的描述壓電陶瓷的遲滯特性模型，該方法比較簡(jiǎn)單且適用性廣泛，易于工業(yè)實(shí)現(xiàn)。

1 含有靜態(tài)遲滯的Hammerstein系統(tǒng)的模型

所謂靜態(tài)遲滯Hammerstein系統(tǒng)就是由一個(gè)非線性環(huán)節(jié)和線性環(huán)節(jié)組成，含有靜態(tài)遲滯的Hammerstein系統(tǒng)是前端的非線性環(huán)節(jié)具有遲滯特性且遲滯特性與輸入信號(hào)的速率無關(guān)，結(jié)構(gòu)圖如下圖所示。在圖2中，第一個(gè)框表示遲滯環(huán)節(jié)，第二個(gè)框L2(·)表示動(dòng)態(tài)線性環(huán)節(jié)，u(k)和y(k) 表示整個(gè)Hammerstein系統(tǒng)的輸入信號(hào)和輸出信號(hào)，v(k)表示中間遲滯環(huán)節(jié)的輸出，在整個(gè)系統(tǒng)中，只有u(k)和y(k)可以直接測(cè)量，中間變量v(k)不能直接測(cè)量。

圖2 帶靜態(tài)遲滯的Hammerstein系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

1.1 Hammerstein系統(tǒng)遲滯部分的模型

如圖3所示，遲滯環(huán)節(jié)可以描述為多個(gè)間隙環(huán)節(jié)疊加而成，間隙環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)越多，遲滯環(huán)就越光滑，圖4是只有一個(gè)間隙環(huán)節(jié)的示意圖，圖5是由15個(gè)間隙環(huán)節(jié)疊加而成的遲滯環(huán)。本文中遲滯特性用PI模型描述，由于PI模型結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，程序易于實(shí)現(xiàn)，在實(shí)際的工業(yè)中運(yùn)用的比較多。PI遲滯模型可以表示為

(1)

式中，zi(k)表示第i個(gè)間隙環(huán)節(jié)的輸出；w=[w1,w2…,wn]T為間隙環(huán)節(jié)的權(quán)重向量；Bi(·)為單個(gè)間隙(Backlash)遲滯算子；n為間隙(Backlash)算子個(gè)數(shù)。

圖3 遲滯的建模

圖4 一個(gè)間隙環(huán)節(jié)

圖5 十五個(gè)隙環(huán)節(jié)疊加

式中，zi(k)表示第i個(gè)間隙環(huán)節(jié)的輸出；w=[w1,w2…,wn]T為間隙環(huán)節(jié)的權(quán)重向量；Bi(·)為單個(gè)間隙(Backlash)遲滯算子；n為間隙(Backlash)算子個(gè)數(shù)。間隙(Backlash)算子定義如下：

zi(k)=Sd[x,zi](k)=max[u(k)-ci,

min[u(k)+ci,zi(k-1)]]

(2)

式中，u(k)是整個(gè)系統(tǒng)的輸入也是遲滯環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)；ci為第i個(gè)間隙的寬度，0

設(shè)算子的初始值為：

z0(k)=Sd[u,z0](k)=max[u(k0)-c,

min[u(k0)+c,z0]]

(3)

由此可得，遲滯模型的輸出可以表示為：

(4)

1.2 Hammerstein系統(tǒng)線性部分的模型

設(shè)線性子系統(tǒng)的差分方程為

(5)

式中，na和nb為線性系統(tǒng)L2的階次；ai和bj為線性系統(tǒng)的系數(shù)；q為純延時(shí)；v(k)是遲滯環(huán)節(jié)的輸出；y(k)是整個(gè)系統(tǒng)的輸出。

2 靜態(tài)遲滯Hammerstein系統(tǒng)參數(shù)的辨識(shí)

到目前為止，存在很多遞推算法，本節(jié)用遞推最小二乘法對(duì)含有遲滯的Hammerstein系統(tǒng)進(jìn)行辨識(shí)。將式(4)代入式(5)可得：

(6)

為了使系統(tǒng)有唯一的模型，根據(jù)文獻(xiàn)的方法單位化系數(shù)b1，于是式(6)可以寫成

(7)

式(7)就是帶遲滯Hammmerstein系統(tǒng)的一個(gè)具有參數(shù)線性化的結(jié)構(gòu)表達(dá)式。采用遞推最小二乘法估計(jì)模型的各個(gè)參數(shù)。相應(yīng)的帶靜態(tài)遲滯的Hammerstein系統(tǒng)模型可以寫為

y(k)=φTθ

(8)

其中：

θ=[a1,a2,…ana,w1,w2…wn,b2,b3…bnb]T

(9)

(10)

因此，通過最小辨識(shí)誤差e(k)，可以對(duì)參數(shù)向量進(jìn)行在線辨識(shí)，即：

(11)

(12)

(13)

P(k)=(1-K(k)φT(k))P(k-1)

(14)

(15)

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)平臺(tái)采用德國(guó)PI公司生產(chǎn)的PZT-753.21C壓電陶瓷執(zhí)行器來驗(yàn)證遞推最小二乘法對(duì)本平臺(tái)的建模效果。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)采用如圖6所搭建，通過分析末端的柔性鉸鏈(線性動(dòng)態(tài)環(huán)節(jié))采用二階系統(tǒng)來描述實(shí)驗(yàn)效果最好，在實(shí)際參數(shù)辨識(shí)的過程中，PI算子的個(gè)數(shù)選為300個(gè)，輸入信號(hào)為

u(k)=4(e-k/6000)(sin(2π×200(e-k/6000))+1)

(16)

采樣頻率為1 kHz， 遞推最小二乘法的初始值設(shè)為

P(0)=106×I(302)

(17)

θ(0)=0.05×J(1,302)

(18)

式中，I為單位方陣，J為單位行向量。圖7是整個(gè)系統(tǒng)輸入電壓信號(hào)(實(shí)線)，圖8是系統(tǒng)測(cè)量的輸出信號(hào)(虛線)。圖9是用遞推最小二乘法對(duì)系統(tǒng)建模的驗(yàn)證，實(shí)線(藍(lán)色)是系統(tǒng)的真實(shí)輸出，虛線(紅色)是辨識(shí)模型的輸出。圖10是用遞推最小二乘法辨識(shí)得到的模型輸出和系統(tǒng)真實(shí)輸出的誤差值，圖11藍(lán)色(實(shí)線)是整個(gè)系統(tǒng)的輸入輸出圖，紅線(虛線)是辨識(shí)后模型的輸入輸出圖，從圖可以看出得到的模型能較準(zhǔn)確的估計(jì)壓電陶瓷的運(yùn)動(dòng)特性，可以看出此方法對(duì)含有靜態(tài)遲滯的Hammerstein模型的參數(shù)辨識(shí)是有效的。

圖6 實(shí)驗(yàn)設(shè)備

圖7 系統(tǒng)輸入電壓信號(hào)

圖8 系統(tǒng)測(cè)量的輸出信號(hào)

圖9 靜態(tài)遲滯Hammerstein系統(tǒng)的模型驗(yàn)證

圖10 Hammerstein系統(tǒng)的模型輸出和系統(tǒng)真實(shí)輸出的誤差值

4 結(jié)論

(1) 本文用PI模型來描述壓電陶瓷中的靜態(tài)遲滯現(xiàn)象，PI模型簡(jiǎn)單易于實(shí)現(xiàn)。采用遞推最小二乘法來辨識(shí)PI模型權(quán)重的值以及模型的參數(shù)值，得到能描述壓電陶瓷精密定位平臺(tái)特性的方程。

(2) 將輸入信號(hào)帶入該模型的方程中得到輸出信號(hào)，將該信號(hào)與實(shí)際平臺(tái)輸出的信號(hào)進(jìn)行比較，結(jié)果表明用遞推最小二乘法辨識(shí)得到的模型能很好的描述壓電陶瓷精密平臺(tái)遲滯的特性，驗(yàn)證了遲滯模型的準(zhǔn)確性。

(3) 此模型描述Hammerstein系統(tǒng)的遲滯特性結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易于工程實(shí)現(xiàn)，具有實(shí)用性，為下一步研究依賴于速率的動(dòng)態(tài)遲滯和系統(tǒng)的精確控制奠定了基礎(chǔ)。

(4) 得到靜態(tài)遲滯的準(zhǔn)確模型，在壓電陶瓷工作的過程中，不可避免的會(huì)受到外界系統(tǒng)的干擾(這種干擾可以看作是白噪聲)，可以進(jìn)一步來研究系統(tǒng)含有噪聲時(shí)的濾波問題。