穩(wěn)態(tài)電路的認(rèn)識與分析

蘭小玥

摘要：大學(xué)電路的學(xué)習(xí)，不再局限于直流電路、歐姆定律和串并聯(lián)法則，而是利用高數(shù)等數(shù)學(xué)工具去分析并延伸至對交流電源作用下電路穩(wěn)態(tài)的討論。

關(guān)鍵詞：一階電路;二階電路;頻率響應(yīng)

1 、 含有儲能元件的電路

電感電容為儲能元件。電容將電能儲存，在容量存滿之前都會影響所在支路的電能傳遞，在存滿之后，就不再對電路做出任何影響，然而將容量存滿的電容放入一個無源電路，電容將會轉(zhuǎn)化為一個電源，根據(jù)與電阻的連接方式，對此無源電路提供激勵。形象描述一下，就是帶著電能外界想經(jīng)過電容所在的支路，首先要把自己身上所帶的電量分給電容，電容滿足后，才會放行;但是電容對于“乞丐”外界十分友善，如果一個身無電能的外界經(jīng)過電容時，除非自己身無分文，電容會把自己的所有資產(chǎn)都分給“乞丐”外界，供其運作。

電感與電容在電路中的影響類似，只是因為元器件的特性不同，所以列出來的電路的響應(yīng)方程會略有不同。

1.1? 一階電路

一階電路只含一個或者一種儲能元件。用微分處理儲能元件的電路分析，電容是對被提供的電壓進(jìn)行微分，電感是對電路中的電流進(jìn)行微分。

電路狀態(tài)的改變是由于儲能元件對激勵源發(fā)生的應(yīng)激響應(yīng)。最初的分析也是從零輸入響應(yīng)（無源）和零狀態(tài)響應(yīng)（有源）這兩個方面入手，分析得到全響應(yīng)為二者的疊加。

全響應(yīng)還能描述一個由被施加的激勵的變化引起變化的分量（強(qiáng)制分量），和一個由電路參數(shù)決定的分量（自由分量）的疊加效應(yīng)。

在直流和正弦激勵作為一階電路的電源時，根據(jù)公式推理得到的特解與換路后達(dá)到的新的穩(wěn)定狀態(tài)的數(shù)值一致（穩(wěn)態(tài)分量），而自由分量因為帶有指數(shù)，所以隨著時間增加自由分量逐漸衰減甚至到零（瞬態(tài)分量）。

一階電路的基礎(chǔ)電路有RC和RL兩種電路，其他的電路基本上可以根據(jù)戴維寧定力和諾頓定理化簡到基本電路，由此進(jìn)行電路分析。

零輸入響應(yīng) ：對RC電路響應(yīng)有。對RL電路響應(yīng)有。

零狀態(tài)響應(yīng)：RC有，可以將式子通過變形，從而給式子新的物理意義。RL電路有。

從指數(shù)的衰減性可以看出電容的儲能逐漸減少并無限接近于0，在工程，在3～5后能量已經(jīng)相當(dāng)接近于0，之后的衰減過程就可以忽略不計（為時間常數(shù)）。

對于接入正弦電源的一階電路，當(dāng)儲能元件都是串聯(lián)接入電路，電感和電容的響應(yīng)結(jié)果互為對偶，對其的分析思路仍是一樣的，只是算得麻煩一些。

可以看出，不管是什么電路，總的分析思路就是分析電路中電流的流向，電壓的供電方向，理清電路中各元件的關(guān)系，列出對應(yīng)關(guān)系式。儲能元件區(qū)別于電阻，儲能元件可用微分可以理清工作狀態(tài)，電容是對應(yīng)電壓，電感對應(yīng)電流，不但能夠更加精確地描述電路的狀態(tài)，也使得電路中個狀態(tài)量的變化數(shù)字化，更加清晰地解釋了電路中各個現(xiàn)象產(chǎn)生的原因了。

1.2? 階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)

階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)的提出引用是為了更方便地處理一些激勵引起的變化的分析，可以對照著理解。

比如，用階躍響應(yīng)處理從一個穩(wěn)定狀態(tài)切換到另一個狀態(tài)的電路，在新狀態(tài)達(dá)到平衡之前，各個物理量是一直變化的，如果是按照KCL、KVL去分析電路，按部就班地列出電路方程，求特征方程的解，相對利用階躍響應(yīng)，計算會麻煩些。

階躍函數(shù)是函數(shù)值在某一時間點突然變值。放入電路中即表示階躍的出現(xiàn)一次，電路狀態(tài)就改變一次（）。而沖激響應(yīng)可以理解為描述階躍響應(yīng)的變化的趨勢，即物理量在時間間隔無限接近的瞬間是變化的，然而其他時間，保持不變。

沖激響應(yīng)的“篩分性質(zhì)”可理解為將某一時刻的物理值摘出來，是針對于無限趨近于0的處理。

1.3? 二階電路

電感電容出現(xiàn)在同一個電路中，分析電流與電壓的關(guān)系，可列出一個二階的關(guān)系式。

二階電路的零輸入響應(yīng)：在RLC串聯(lián)放電電路中，電路中沒有電源，由電容可得，進(jìn)而得到關(guān)系式。對電路方程處理后得到：放電過程的特點由和大小關(guān)系決定的。

當(dāng)<時，二階方程對應(yīng)的特征根為一對共軛復(fù)數(shù)。在電能被電阻消耗的同時，電感和電容之間能量互相轉(zhuǎn)換，為振蕩放電過程。當(dāng)>時，特征根是兩個不等的負(fù)實根，即表示電容兩端的電壓隨著時間逐漸衰減，沒有振蕩，為非振蕩放電過程。當(dāng)=時，特征根是兩個相等的負(fù)實根，該狀態(tài)為振蕩放電與非振蕩放電的分界點，也稱臨界情況，該狀態(tài)下，電路仍然是衰減的，但是不振蕩。

二階電路的分析與一階相同。全響應(yīng)也是零狀態(tài)響應(yīng)與零輸入響應(yīng)的疊加。

1.3? 正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析

對應(yīng)復(fù)頻域的引用，電路的相量圖通過幅頻相角描述物理量。在時域上的分析轉(zhuǎn)到復(fù)頻域上，減少了計算量，也從新的角度去研究分析電路工作的情況，使物理量變化的分析多面化。

正弦穩(wěn)態(tài)電路求解功率的計算在時域上計算麻煩。當(dāng)激勵源為正弦信號時，電路中瞬時功率就變成了兩個同頻的三角函數(shù)的乘積，此時的瞬時變量就是一個非正弦周期函數(shù)，轉(zhuǎn)到復(fù)頻域，就能緩解分析的壓力。

2 、 電路的頻率響應(yīng)

一個系統(tǒng)的輸入變量和輸出變量建立的一種函數(shù)關(guān)系稱為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。處理正弦信號作為激勵源的頻率響應(yīng)時，電路中由激勵源引發(fā)的響應(yīng)與激勵源之間的比值關(guān)系構(gòu)成了網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。

網(wǎng)絡(luò)函數(shù)以輸入量與輸出量做討論，但和輸入輸出量沒有關(guān)系，僅影響二者的幅值相角研究電路的特性。對于電路，影響網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的有電路的結(jié)構(gòu)布局、各元器件的參數(shù)值以及端口截取的位置等。

2.1? RLC串聯(lián)電路的頻率響應(yīng)及諧振

RLC串聯(lián)電路中，受激勵源影響的有電阻、電感和電容，

（1）電阻兩端的電壓與激勵源的比值，其中：

的圖像有一個峰值，類比于沖激響應(yīng)，可以篩選出頻率在峰值附近的正弦激勵進(jìn)行響應(yīng)。當(dāng)品質(zhì)因數(shù)越大時，峰值兩端的切線越陡，函數(shù)值取時對應(yīng)的帶寬BW（）越窄，此時電路的選擇范圍就更加精確（選擇能力）。相應(yīng)的，選擇范圍外的正弦激勵會受到不同程度的抑制，可以理解為只要不是產(chǎn)生諧振的頻率信號，電路對激勵的響應(yīng)就不是很積極，離帶寬的位置越遠(yuǎn)，積極性越差（抑非能力）。

（2）電容電感兩端的電壓與激勵源的比值

電感電容的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)相頻一般不做分析。關(guān)于幅頻曲線，電感和電容的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)總是相交于=1。上截止頻率由電容的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)（低頻函數(shù)）求得，下截止頻率由電感的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)（高頻函數(shù)）求得，并且品質(zhì)因數(shù)越大。

（3）串聯(lián)電路的諧振。正弦穩(wěn)態(tài)信號輸入電路，當(dāng)輸入信號的頻率為某一個值時，儲能元件之間發(fā)生諧振，即電路中的電感電容的頻率與正弦信號的頻率相同，此時的電感與電容之間的能量交換為零，只有電阻在電路中消耗電能。

一個電路對應(yīng)有一個諧振頻率，也是該電路的固有頻率，可以說諧振所對應(yīng)的頻率就是一類電路的標(biāo)識符。當(dāng)時的頻率固有頻率，由于該頻率是由電路的結(jié)構(gòu)和元器件參數(shù)決定的。

（4）并聯(lián)電路是串聯(lián)電路相互對應(yīng)，故并聯(lián)電路也有固有頻率，分析方法不變，諧振條件。

3 、 總結(jié)

利用微分對電容電感的穩(wěn)態(tài)進(jìn)行分析，即可得到描述其穩(wěn)定狀態(tài)的關(guān)系式。階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)是對積分微分的靈活運用，賦予的物理意義，大大提高了電路的分析效率。

復(fù)頻域是以頻率為變量，分析模長與幅角的，處理正弦穩(wěn)態(tài)電路最合適不過了。避開了在時域里復(fù)雜的推算，分析上提供新思路。

此外，分析電路不再局限于分析單一一個元器件對電路的狀態(tài)變化，而是將某一區(qū)塊的電路看做一個整體，分析電路的狀態(tài)變化。