基于DWT 和FRFT 的數(shù)字圖像水印算法

龔成清

（廣東女子職業(yè)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用設(shè)計(jì)系，廣州 511450）

0 引言

數(shù)字圖像版權(quán)保護(hù)的問題是信息化時(shí)代研究的一個(gè)熱點(diǎn)問題。數(shù)字水印是有效保護(hù)數(shù)字圖像版權(quán)的方法。根據(jù)水印嵌入的區(qū)域不同，數(shù)字水印算法可以分為空間域算法和變換域算法[1]。變換域法因其魯棒性好而得到廣泛應(yīng)用。常用的變換域法有離散小波變換（DWT）[2]、離散余弦變換（DCT）[3]、奇異值分解（SVD）[4]、分?jǐn)?shù)階傅里葉變換（FRFT）[5]等。

離散小波變換（DWT）是變換域法的典型代表，具有良好的特性。文獻(xiàn)[6]將原圖像進(jìn)行多層小波分解，提出了一種基于DWT 變換域的數(shù)字水印方案，具有良好的魯棒性，但水印的嵌入容量受到限制。文獻(xiàn)[7]結(jié)合DWT 和SVD 的特點(diǎn)，利用DWT 變換構(gòu)造水印后對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行SVD 變換，提出了一種基于DWT 和SVD 的數(shù)字水印算法。該算法具有良好的不可感知性和魯棒性，但只適用于處理平穩(wěn)的信號(hào)。分?jǐn)?shù)階傅里葉變換（FRFT）則可以用來(lái)處理非平穩(wěn)的信號(hào)。相對(duì)傳統(tǒng)的傅里葉變換，F(xiàn)RFT 具備運(yùn)算速度快，高聚焦性等特性，可以有效提升水印算法的效率。文獻(xiàn)[8]對(duì)整幅圖像進(jìn)行離散分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，通過(guò)系數(shù)的修改提出了基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的隨隨機(jī)序列水印算法，實(shí)現(xiàn)了水印的嵌入和提取，但圖像容易失真。

本文利用DWT 和FRFT 的特性來(lái)提升水印的視覺性和魯棒性。水印嵌入時(shí)，對(duì)載體圖像進(jìn)行DWT 變換，選擇低頻子帶進(jìn)行FRFT 變換后嵌入水印信息，同時(shí)生成兩個(gè)偽隨機(jī)序列（PN 系列）。利用FRFT 多角度變換的特性，在x 方向和y 方向均嵌入水印信息增強(qiáng)水印的魯棒性。水印提取時(shí)，計(jì)算兩個(gè)PN 系列與FRFT 的系數(shù)的相關(guān)性，并與閾值對(duì)比，確定水印的信息是0 還是1，從而提取出水印。

1 相關(guān)技術(shù)

1.1 DWT

離散小波變換是對(duì)基本小波的尺度和平移進(jìn)行離散化。經(jīng)過(guò)離散小波變換后圖像會(huì)生成低頻子帶和高頻子帶。在圖像處理中，常采用二進(jìn)小波作為小波變換函數(shù)，第α層離散小波變換的函數(shù)如（1）、（2）所示。

x[n]表示離散的輸出信號(hào)，長(zhǎng)度為N。g[n]是低通濾波器，可以將輸入信號(hào)的高頻部份濾掉而輸出低頻部份。h[n]是高通濾波器，與低通濾波器相反，濾掉低頻部份而輸出高頻部分。

1.2 FRFT

FRFT 不但具有時(shí)域和頻域雙重特征，還具有旋轉(zhuǎn)特性和角度連續(xù)性，是一種非常有效的信號(hào)分析工具，被廣泛應(yīng)用于數(shù)字水印領(lǐng)域[9]。運(yùn)用分?jǐn)?shù)階傅立葉變換能選取信息最集中的角度去分析，在不同的分?jǐn)?shù)階得到的結(jié)果中選取幅值最大的那個(gè)結(jié)果，從而得到最優(yōu)解。二維離散分?jǐn)?shù)階傅里葉變換形式如下：

2 DWT-FRFT的水印算法

2.1 水印嵌入

水印的嵌入要兼顧視覺性和魯棒性。利用DWT快速變換的特點(diǎn)，對(duì)載體圖像進(jìn)行2 級(jí)分解，選取低頻子帶進(jìn)行水印嵌入，提升了水印嵌入的容量。對(duì)低頻子帶系數(shù)進(jìn)行FRFT 變換，在x 和y 的角度方向都嵌入水印的信息，增強(qiáng)了水印的魯棒性。具體算法如下：

（1）對(duì)載體圖像進(jìn)行DWT 變換；

（2）選取DWT 變換后的低頻子帶系數(shù)，進(jìn)行二維FRFT 變換；

（3）定義起點(diǎn)F1 和系數(shù)的長(zhǎng)度F2；

（4）讀取水印圖像，把水印圖像的信息轉(zhuǎn)化為向量；

（5）判段水印信息是否為1，如果是1，則起點(diǎn)和系數(shù)不作改變，F(xiàn)1=F1，F(xiàn)2=F2，跳轉(zhuǎn)到第8 步。否則，跳轉(zhuǎn)第6 步；

（6）使用密鑰 key，生成兩個(gè)隨機(jī)序列 PN_h 和PN-v；

（7）更 新 F1 和 F2，F(xiàn)1= F1+K*PN_h，F(xiàn)2=F2+K*PN-v；

（8）判斷是否所有水印信息已經(jīng)完成變換，如果全部完成則進(jìn)入下一步，否則跳轉(zhuǎn)回到第5 步；

（9）把水印信息F1 和F2 嵌入到載體圖像對(duì)應(yīng)的位置，進(jìn)行逆FRFT 變換，完成水印嵌入。

2.2 水印提取

水印提取是水印嵌入的逆過(guò)程。DWT-FRFT 的水印算法只需要使用水印嵌入時(shí)生成隨機(jī)序列的密鑰就可以實(shí)現(xiàn)水印的盲提取。提取過(guò)程中，使用公式（5）來(lái)計(jì)算提取信息的相關(guān)性，并與閾值進(jìn)行比較，沒有嵌入水印的閾值的期望為零，而嵌入水印的閾值的期望大于零。

具體算法如下：

（1）對(duì)含水印的圖像進(jìn)行DWT 變換；

（2）選取DWT 變換后的低頻子帶系數(shù)，進(jìn)行二維FRFT 變換；

（3）定義起點(diǎn)F1 和系數(shù)的長(zhǎng)度F2；

（4）使用密鑰 key，生成兩個(gè)隨機(jī)序列 PN_h 和PN-v；

（5）對(duì)每個(gè)水印信息計(jì)算F1 和F2 與相應(yīng)PN 序列的相關(guān)性；相關(guān)性大于閾值則水印信息是1，否則，水印信息是0；

（6）重復(fù)步驟4，直到所有的水印信息提取完成。

3 實(shí)驗(yàn)仿真

我們使用MATLAB 2018 對(duì)算法進(jìn)行了實(shí)現(xiàn)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)算法的性能進(jìn)行了驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)使用的操作系統(tǒng)是Windows 7，計(jì)算機(jī)配置為Intel Core i7 3.0G 的CPU，4G 的內(nèi)存。為了評(píng)價(jià)水印圖案提取的質(zhì)量，使用歸一化的相關(guān)系數(shù)NC 值來(lái)對(duì)提取出來(lái)的水印圖案進(jìn)行評(píng)價(jià)，NC 值計(jì)算公式如下：

3.1 視覺性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證嵌入水印后的視覺性效果，采用峰值信噪比PSNR 和來(lái)評(píng)價(jià)圖像的視覺效果，PSNR 的計(jì)算公式表示如下：

圖1 水印的嵌入和提取

實(shí)驗(yàn)使用了512×512 的Lena 的彩色圖像為載體圖像，水印圖像是32×32 的二值圖像，使用DWT-FRFT算法對(duì)水印進(jìn)行了嵌入和提取，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1 所示。

嵌入水印后的圖片具有良好的視覺性，與原始載體圖片視覺效果一致，肉眼無(wú)法分辨差別。在沒有受到攻擊的情況下，實(shí)驗(yàn)對(duì)水印圖像實(shí)現(xiàn)了盲提取，提取的水印圖片與原始的水印圖片相似度NC=1，能很好地還原出原始的水印圖像。

3.2 水印容量驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)分別使用DWT-FRFT 的水印算法與文獻(xiàn)[8]的算法把 64×64、128×128、256×256 的圖 1（b）的水印圖像嵌入到圖 1（a）大小為 512×512 的 Lena 彩色圖像中，兩種算法的PSNR 計(jì)算結(jié)果如表1 所示。

表1

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，對(duì)于尺寸為128×128 以下的水印圖案，兩種算法均有較好的視覺效果。當(dāng)水印的圖像為256×256 大小時(shí)，兩種算法進(jìn)行水印嵌入后，PSNR有明顯的下降，含水印的圖像均出現(xiàn)了肉眼可見的雜點(diǎn)。DWT-FRFT 的水印算法由于選擇的是能量集中的低頻子帶嵌入，視覺性影響較小，相對(duì)于文獻(xiàn)[8]選擇中頻子帶嵌入的算法，DWT-FRFT 的水印算法的視覺性更好，水印嵌入的容量更大。

3.3 魯棒性驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)中，使用了DWT-FRFT 水印算法、文獻(xiàn)[7]水印算法和文獻(xiàn)[8]水印算法分別把圖1（b）的水印圖像嵌入到圖1（a）的載體圖像中并進(jìn)行提取。為了驗(yàn)證不同算法的魯棒性，實(shí)驗(yàn)過(guò)程對(duì)含水印的圖像分別添加噪聲、幾何變換和壓縮等操作進(jìn)行了抗攻擊的實(shí)驗(yàn)。水印提取后的NC 值如表2-表4 所示。

表2 不同算法抵抗噪聲攻擊的NC 值對(duì)比

表3 不同算法抵抗幾何攻擊的NC 值對(duì)比

表4 不同算法抵抗JPEG 壓縮攻擊的NC 值對(duì)比

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，DWT-FRFT 算法由于在x 方向和y 方向均嵌入了水印信息，具有充足的信息冗余，在抵抗攻擊方面相對(duì)于文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[8]算法，具有更好的魯棒性，尤其是在抵抗剪切和JPEG 壓縮攻擊方面，魯棒性要遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于對(duì)比的算法。

4 結(jié)語(yǔ)

為了更好地解決數(shù)字圖像的版權(quán)保護(hù)問題，本文利用了DWT 變換速度快的特點(diǎn)，在不同尺度上對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解，選取能量集中的低頻子帶進(jìn)行分?jǐn)?shù)階傅里葉變換后進(jìn)行水印的嵌入和提取，解決了非平穩(wěn)信號(hào)的處理問題。實(shí)驗(yàn)證明，本文提出的DWT-FRFT 算法水印算法不僅具有良好的視覺性和嵌入容量，對(duì)噪聲、幾何變換和壓縮等常見的攻擊等都具有很好的魯棒性。