多并聯(lián)機(jī)構(gòu)布局優(yōu)化分析

王玉甲，王璐，唐寶富，徐文華

(1.哈爾濱工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001； 2.南京電子技術(shù)研究所，江蘇 南京 210039)

隨著陣面向大尺寸、輕薄化的方向發(fā)展，對(duì)其平面度的需求也不斷提高，傳統(tǒng)的支撐控制方式難以滿足其需求[1]?？紤]到并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有位置誤差不會(huì)積累、剛度大、支撐面積大以及承載能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)[2]，并且由于陣面尺寸相對(duì)較大，為盡量減小陣面的平面度，本文采用多組并聯(lián)機(jī)構(gòu)支撐陣面，而多并聯(lián)機(jī)構(gòu)的布局對(duì)陣面的變形有較大的影響，因此研究多并聯(lián)機(jī)構(gòu)的布局優(yōu)化方法具有重要的研究意義和實(shí)用價(jià)值。

目前國(guó)內(nèi)外對(duì)于布局優(yōu)化的研究主要集中在薄壁件的裝夾布局優(yōu)化領(lǐng)域，而對(duì)于多并聯(lián)機(jī)構(gòu)布局優(yōu)化的研究則很少涉及，本文闡述薄壁件裝夾布局優(yōu)化的研究現(xiàn)狀以供參考和借鑒。文獻(xiàn)[3]通過不斷改變薄壁件定位元件的位置，利用有限元方法得到其裝夾變形，最終得到最小裝夾變形對(duì)應(yīng)的位置。文獻(xiàn)[4]以裝夾變形最小為目標(biāo)函數(shù)建立最優(yōu)化模型，并基于遺傳算法進(jìn)行了最優(yōu)布局的解算。文獻(xiàn)[5]建立了薄壁件裝夾變形的有限元模型，并以此分析定位元件位置等因素與裝夾變形量之間的關(guān)系。文獻(xiàn)[6]將有限元法和遺傳算法結(jié)合，以減小薄壁件的變形量為目標(biāo)，對(duì)裝夾布局進(jìn)行優(yōu)化。文獻(xiàn)[7]以航空框類的銑削過程為研究對(duì)象，建立優(yōu)化模型，利用遺傳算法對(duì)裝夾元件的數(shù)量和布局進(jìn)行優(yōu)化分析，并使用有限元軟件計(jì)算加工變形量，得到最優(yōu)裝夾布局。

在以上的研究中，由于裝夾元件具有較小的結(jié)構(gòu)尺寸，因此，可將其視為點(diǎn)支撐以開展分析計(jì)算，而在進(jìn)行多并聯(lián)機(jī)構(gòu)的布局優(yōu)化時(shí)，由于其支撐面積較大，無法視為點(diǎn)支撐，并且并聯(lián)機(jī)構(gòu)與陣面之間通過螺栓固定連接，陣面屬于剛?cè)狁詈象w，其變形情況非常復(fù)雜，很難通過傳統(tǒng)的布局優(yōu)化方法進(jìn)行求解；此外在這些研究中當(dāng)采用最優(yōu)化理論進(jìn)行布局優(yōu)化分析時(shí)，最優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)通常為工件的最大變形量，而工件的最大變形量只能反映其局部變形情況，因此求解得到的最優(yōu)布局對(duì)應(yīng)的陣面的整體變形情況不一定很好。

本文在采用基于有限元的布局優(yōu)化方法進(jìn)行最優(yōu)布局的求解時(shí)發(fā)現(xiàn)該方法求解效率低下，當(dāng)陣面尺寸較大時(shí)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)不同支撐布局的數(shù)目將會(huì)大大增加，求解時(shí)間將會(huì)很長(zhǎng)。

因此，針對(duì)非點(diǎn)支撐結(jié)構(gòu)、目標(biāo)函數(shù)選擇及求解效率低下的問題，本文對(duì)支撐面積相對(duì)較大的多并聯(lián)機(jī)構(gòu)布局優(yōu)化問題開展研究，并以陣面平面度最小為優(yōu)化目標(biāo)，研究多元非線性回歸和遺傳算法相結(jié)合的布局優(yōu)化方法，以提高計(jì)算效率。

1 基于有限元方法的布局優(yōu)化

由于傳統(tǒng)的布局優(yōu)化方法很難求解并聯(lián)機(jī)構(gòu)支撐面積較大且陣面為剛?cè)狁詈象w的情況，而有限元方法非常適合用于這種變形情況復(fù)雜的場(chǎng)合，因此本文采用有限元方法解決多并聯(lián)機(jī)構(gòu)的布局優(yōu)化問題。

1.1 布局優(yōu)化模型的建立

本文以2 000 mm×2 000 mm×5 mm(長(zhǎng)×寬×高)的矩形陣面和支撐面長(zhǎng)寬均為450 mm的4 組(通過“N-2-1”準(zhǔn)則確定)并聯(lián)機(jī)構(gòu)為例，將并聯(lián)機(jī)構(gòu)與陣面邊線的距離設(shè)置為參數(shù)化變量，建立了陣面和多并聯(lián)機(jī)構(gòu)的參數(shù)化模型，如圖1所示。

圖1 陣面和多并聯(lián)機(jī)構(gòu)的參數(shù)化模型Fig.1 Parametric models of plane and multiple parallel mechanisms

基于最優(yōu)化理論，優(yōu)化模型的建立就是確定目標(biāo)函數(shù)、設(shè)計(jì)變量及其約束條件。傳統(tǒng)的布局優(yōu)化方法在建立最優(yōu)化模型時(shí)其目標(biāo)函數(shù)通常為工件的最大變形量，但最大變形量只能反映陣面的局部變形情況，不能很好地描述陣面的整體變形情況。而平面度是陣面具有的宏觀凹凸高度相對(duì)理想平面的偏差，可用來描述陣面整體的變形情況，因此，可以將被支撐平面的平面度最小作為多組并聯(lián)機(jī)構(gòu)支撐布局優(yōu)化的目標(biāo)，以平面度為目標(biāo)函數(shù)開展多組并聯(lián)機(jī)構(gòu)的布局優(yōu)化模型研究。

陣面的平面度誤差可以通過吻合精度，即陣面上多個(gè)采樣點(diǎn)撓度的均方根(root mean square，RMS)來表達(dá)，因此，以陣面的RMS值作為本文優(yōu)化布局模型的目標(biāo)函數(shù)[8]；約束條件為各并聯(lián)機(jī)構(gòu)的支撐位置不重疊并且并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)不能超出大型陣面的邊界；設(shè)計(jì)變量為并聯(lián)機(jī)構(gòu)與大型陣面邊線的距離。

本文建立的支撐大型陣面的多并聯(lián)機(jī)構(gòu)的布局優(yōu)化模型為：

(1)

式中：F(X)為目標(biāo)函數(shù)，即RMS；X為設(shè)計(jì)變量；Xd、Xu為X的下限值和上限值。

1.2 布局優(yōu)化的分析計(jì)算

本文利用ANSYS Workbench進(jìn)行多并聯(lián)機(jī)構(gòu)布局優(yōu)化分析，基于單目標(biāo)自適應(yīng)優(yōu)化方法(adaptive single objective,ASO)，通過迭代求解，得到對(duì)應(yīng)陣面平面度最小值的多組并聯(lián)機(jī)構(gòu)的最優(yōu)布局。

基于前述建立的參數(shù)化模型，首先進(jìn)行用于平面度采樣點(diǎn)的選擇，考慮到陣面結(jié)構(gòu)對(duì)稱性、尺度大小及其剛度影響，均勻選取陣面上的49個(gè)采樣點(diǎn)進(jìn)行分析(如圖1所示)。針對(duì)本文設(shè)計(jì)的4 組并聯(lián)機(jī)構(gòu)，可知共有8 個(gè)設(shè)計(jì)變量，考慮到支撐的對(duì)稱性及機(jī)構(gòu)不能干涉，選擇并聯(lián)機(jī)構(gòu)的支撐位置距陣面邊線的距離范圍為0～550 mm，布局優(yōu)化過程的初始值為200 mm。

在進(jìn)行布局優(yōu)化計(jì)算時(shí)，考慮速度和成本等因素，本文設(shè)置樣本數(shù)為45 組((n+1)(n+2)/2，n為設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù))，生成初始樣本后，分別計(jì)算其對(duì)應(yīng)的RMS，并面向平面度最小，完成迭代計(jì)算?？紤]仿真總時(shí)長(zhǎng)，本文指定迭代8次，每次45個(gè)樣本，共計(jì)計(jì)算360 次，輸入變量縮減域的數(shù)目為8[9]。

通過布局優(yōu)化迭代計(jì)算，得到陣面的平面度和并聯(lián)機(jī)構(gòu)支撐位置的變化趨勢(shì)如圖2所示?？梢?，陣面的平面度漸進(jìn)收斂至最小值，各并聯(lián)機(jī)構(gòu)的支撐位置也逐漸收斂。

最優(yōu)布局計(jì)算結(jié)果如圖3所示。

經(jīng)過ANSYS Workbench計(jì)算給出了3組多并聯(lián)支撐機(jī)構(gòu)的最優(yōu)布局候選點(diǎn)，平面度均小于1 mm，滿足使用要求。

最優(yōu)布局1的陣面RMS為2.058 8×10-5m(0.020 588 mm)，支撐位置為162.36 mm。通常，考慮到加工精度及安裝方便，一般要對(duì)計(jì)算值進(jìn)行圓整處理，得到最優(yōu)支撐位置。根據(jù)計(jì)算結(jié)果，本文將并聯(lián)機(jī)構(gòu)中心點(diǎn)到陣面邊線的距離設(shè)定為390 mm，即圓整后選支撐位置為165 mm。此時(shí)，對(duì)應(yīng)的陣面RMS仍為最小。

圖2 目標(biāo)函數(shù)與設(shè)計(jì)變量變化趨勢(shì)Fig.2 Trend chart of target function and design variables

圖3 最優(yōu)布局Fig.3 Optimal layout

1.3 最優(yōu)布局與均勻布局結(jié)果對(duì)比

為了驗(yàn)證本文優(yōu)化布局方法的有效性，在ANSYS Workbench中求解均勻布局下陣面的平面度值，并進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果如表1所示。

表1 最優(yōu)布局與均勻布局結(jié)果對(duì)比

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的2種布局形式結(jié)果不同，但差異不大。最優(yōu)布局情況下的RMS約為0.020 59 mm，而均勻布局情況下，即并聯(lián)機(jī)構(gòu)中心點(diǎn)距離陣面邊線500 mm時(shí)，陣面的RMS約為0.022 52 mm，二者相差0.001 93 mm，最優(yōu)布局相較于均勻布局，RMS值減小了8.57%，說明本文對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化布局的有效性。但由于本文研究的陣面尺度較小，支撐機(jī)構(gòu)數(shù)目較少且可變動(dòng)的范圍也較小，優(yōu)化布局方法對(duì)平面度RMS的改善并不顯著。

2 不同目標(biāo)函數(shù)求解結(jié)果對(duì)比

為了驗(yàn)證以陣面平面度最小為目標(biāo)的最優(yōu)布局方法的有效性，本文也對(duì)以陣面的最大變形量為目標(biāo)函數(shù)的布局優(yōu)化方法進(jìn)行研究，并對(duì)比分析2種目標(biāo)函數(shù)對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響。

由于平面度表示的是陣面與理想平面之間的偏差，能夠很好地描述陣面整體的變形情況，因此仍以陣面的RMS為評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)2種目標(biāo)函數(shù)表示方式進(jìn)行評(píng)價(jià)。2種方式所求結(jié)果如表2所示。

表2 不同目標(biāo)函數(shù)求解結(jié)果對(duì)比

由表2可知，當(dāng)以陣面的平面度值為目標(biāo)函數(shù)時(shí)，其最優(yōu)布局為并聯(lián)機(jī)構(gòu)中心點(diǎn)距離陣面邊線390 mm，對(duì)應(yīng)的陣面的RMS值約為0.020 59 mm；當(dāng)以陣面的最大變形量為目標(biāo)函數(shù)時(shí)，其最優(yōu)布局為并聯(lián)機(jī)構(gòu)中心點(diǎn)距離陣面邊線530 mm，陣面的RMS值約為0.048 02 mm。2種目標(biāo)函數(shù)表示方式的RMS差值為0.027 43 mm，以平面度為目標(biāo)函數(shù)的方式相比于以最大變形量為目標(biāo)函數(shù)的方式，其RMS值減小了57.12%，說明以平面度為目標(biāo)函數(shù)求得的最優(yōu)布局對(duì)應(yīng)的陣面整體變形情況要更好，從而驗(yàn)證了以平面度為目標(biāo)函數(shù)的多并聯(lián)支撐機(jī)構(gòu)布局優(yōu)化方法的有效性。

3 基于多元非線性回歸和遺傳算法的布局優(yōu)化

本文在研究基于ANSYS Workbench有限元分析的布局優(yōu)化方法時(shí)發(fā)現(xiàn)其計(jì)算時(shí)間非常長(zhǎng)。為了降低布局優(yōu)化計(jì)算時(shí)間，提高計(jì)算效率，本文將多元非線性回歸理論和遺傳算法相結(jié)合，研究更加高效的多并聯(lián)機(jī)構(gòu)布局優(yōu)化方法。

3.1 多元非線性回歸模型的建立與驗(yàn)證

本文首先基于有限元結(jié)果建立多并聯(lián)機(jī)構(gòu)支撐位置和陣面的平面度的多元非線性回歸模型，再對(duì)模型的相關(guān)性和顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)。

本文方法是根據(jù)有限元技術(shù)建立陣面平面度與并聯(lián)機(jī)構(gòu)支撐位置的預(yù)測(cè)模型，便于求解不同支撐布局下陣面的平面度值，避免了漫長(zhǎng)的有限元分析的過程，隨后采用遺傳算法求解最優(yōu)解，提高求解最優(yōu)布局的效率。

針對(duì)本文給出的陣面實(shí)例，考慮其對(duì)稱性，在計(jì)算中做一定程度的簡(jiǎn)化，設(shè)定并聯(lián)機(jī)構(gòu)按陣面的2條中心對(duì)稱布置，將求解4組并聯(lián)機(jī)構(gòu)布局問題簡(jiǎn)化為求解一個(gè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)支撐位置的問題。并聯(lián)機(jī)構(gòu)的布局如圖4所示。

圖4 并聯(lián)機(jī)構(gòu)布局示意Fig.4 Schematic diagram of parallel mechanism layout

本文以離散化的單個(gè)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的支撐位置(x，y)為自變量(范圍：225,230,…,775 mm)，以陣面的RMS為因變量，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案?；谟邢拊椒ㄓ?jì)算得到不同布局下陣面的RMS值，得到36組多元非線性回歸樣本數(shù)據(jù)如表3所示。

表3 多元非線性樣本數(shù)據(jù)Table 3 Multivariate nonlinear sample data mm

使用1stOpt軟件對(duì)表3中的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。通過基于麥夸特法(Levenberg-Marquardt)和通用全局優(yōu)化法的迭代計(jì)算，在31代后達(dá)到收斂標(biāo)準(zhǔn)，得到待定多項(xiàng)式系數(shù)的近似解，以及并聯(lián)機(jī)構(gòu)支撐位置x、y和陣面平面度f(x，y)之間的多元非線性回歸方程[10]：

f(x,y)=0.457 7-0.001 3x-0.001 1y+
1.537 1×10-6x2+4.782 8×10-7xy+
1.261 9×10-6y2

(2)

為了分析該方程的擬合效果，需要其進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，計(jì)算得到其自變量和因變量之間的相關(guān)系數(shù)|R|=0.945 8，結(jié)果接近于1，說明方程的擬合效果很好。

在顯著性檢查中，設(shè)定顯著水平α為0.05，并由前述方案可得，在樣本數(shù)n為36，自由度數(shù)(即自變量個(gè)數(shù))p為2時(shí)，F(xiàn)β(p,n-p-1)為3.32，回歸計(jì)算的F值為288.81。由于F≥Fβ，因此在給定的顯著性水平下，上述方程線性回歸顯著。

綜上，本文獲得的預(yù)測(cè)模型具有很好的擬合效果，可以用來表達(dá)并聯(lián)機(jī)構(gòu)支撐位置和陣面平面度之間的關(guān)系。

3.2 耦合優(yōu)化模型的建立

基于上述的多元非線性回歸方程，建立陣面平面度和多并聯(lián)機(jī)構(gòu)支撐位置的耦合優(yōu)化模型，并為應(yīng)用遺傳算法進(jìn)行布局優(yōu)化分析提供前提。

耦合優(yōu)化模型中，將并聯(lián)機(jī)構(gòu)的支撐位置X=[x1,x2，…,xm]作為設(shè)計(jì)變量，將陣面的平面度預(yù)測(cè)值f(X)作為目標(biāo)函數(shù)，將陣面上采樣點(diǎn)的撓度值ω作為狀態(tài)變量，ω既是X的函數(shù)，也是f(X)的重要參數(shù)；耦合優(yōu)化模型的約束條件與前述分析相同。模型表達(dá)式(3)為：

(3)

3.3 布局優(yōu)化計(jì)算

本文基于遺傳算法進(jìn)行多并聯(lián)機(jī)構(gòu)的布局優(yōu)化分析，求解得到最優(yōu)布局。各代種群中最優(yōu)解的分布位置的散點(diǎn)圖如圖5所示。

圖5 各代種群最優(yōu)解分布位置Fig.5 Distribution location map of optimal solutions for generation population

由圖5可見，在(380 mm，380 mm)附近，并聯(lián)機(jī)構(gòu)支撐位置最優(yōu)解分布較為集中，少數(shù)最優(yōu)解分布較分散，其原因是在初始迭代過程中，最優(yōu)解及其支撐位置還未收斂，離散性較大，隨著迭代次數(shù)增加，最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的支撐位置逐漸收斂于380 mm附近區(qū)域。

在每一代種群中，各個(gè)體對(duì)應(yīng)的支撐位置也各不相同，最后一代種群所有個(gè)體的分布位置散點(diǎn)圖如圖6所示?？梢?，同一代種群中，大多數(shù)個(gè)體對(duì)應(yīng)的支撐位置的分布也主要集中在某一區(qū)域，同時(shí)也存在一些個(gè)體對(duì)應(yīng)的支撐位置分布在較離散的區(qū)域，這也反映了種群中個(gè)體多樣性，有利于代間遺傳。

圖6 最后一代種群個(gè)體分布Fig.6 Individual distribution map of the last generation population

遺傳過程中，各代種群的目標(biāo)函數(shù)的最小值如圖7所示。從圖中可見，在遺傳20代左右，目標(biāo)函數(shù)即平面度收斂到最小值0.009 678 mm，獲得最優(yōu)解。

圖7 目標(biāo)函數(shù)最小值隨遺傳代數(shù)變化曲線Fig.7 Change diagram of population objective function and genetic algebra

遺傳過程中，每一代種群的個(gè)體目標(biāo)函數(shù)平均值如圖8所示。從圖中可見，在遺傳20代左右以后，目標(biāo)函數(shù)平均值在0.013 mm上下波動(dòng)，說明多數(shù)個(gè)體在種群內(nèi)的分布集中性較好，同時(shí)，波動(dòng)范圍趨于平穩(wěn)，也說明了種群內(nèi)個(gè)體任然具有一定的多樣性。

圖8 種群中個(gè)體目標(biāo)函數(shù)平均值曲線Fig.8 Diagram of average value of individual objective function in population

綜上，基于遺傳算法結(jié)果，經(jīng)過最優(yōu)解的圓整，可得并聯(lián)機(jī)構(gòu)的最優(yōu)支撐位置為(380 mm，380 mm)，陣面的平面度值約為0.009 678 mm。

3.4 2種布局優(yōu)化方法的對(duì)比分析及應(yīng)用

針對(duì)多并聯(lián)機(jī)構(gòu)的布局優(yōu)化問題，本文分別研究了采用有限元軟件的布局優(yōu)化方法和基于多元非線性回歸和遺傳算法相結(jié)合的布局優(yōu)化方法，并針對(duì)給定尺寸的陣面完成了布局優(yōu)化分析，現(xiàn)對(duì)以上2種方法進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表4所示。

表4 2種布局優(yōu)化方法的對(duì)比

由表4可知，基于有限元的布局優(yōu)化方法求解時(shí)間長(zhǎng)達(dá)10 h，其最優(yōu)布局為并聯(lián)機(jī)構(gòu)距離陣面邊線390 mm；而基于多元非線性回歸和遺傳算法的布局優(yōu)化方法求解時(shí)間僅為1 min，其最優(yōu)布局為并聯(lián)機(jī)構(gòu)距離陣面邊線380 mm。

基于前述計(jì)算結(jié)果可知，布局結(jié)果在最優(yōu)解附近相差10 mm，陣面平面度相差極小，可以滿足給定的技術(shù)要求，同時(shí)，在支撐范圍變化量為550 mm的前提下，該差值相對(duì)于變化范圍的百分比約為1.8%，可以認(rèn)為2種求解方法結(jié)果接近。進(jìn)一步驗(yàn)證了本文所研究的基于多元非線性回歸和遺傳算法的方法的快速性和準(zhǔn)確性。

基于以上分析，本文給出如下建議：

1)對(duì)于陣面尺度較大、形狀規(guī)則(如對(duì)稱結(jié)構(gòu))、支撐機(jī)構(gòu)數(shù)量確定的情況，可采用基于多元非線性回歸和遺傳算法的布局優(yōu)化方法。

2)對(duì)于陣面尺度較小、形狀不規(guī)則、并聯(lián)機(jī)構(gòu)數(shù)量不確定的情況，可采用基于有限元軟件的布局優(yōu)化方法。

4 結(jié)論

1)本文在ANSYS Workbench中使用基于迭代的單目標(biāo)優(yōu)化方法，通過改變各并聯(lián)機(jī)構(gòu)的支撐位置進(jìn)行優(yōu)化分析，求得的最優(yōu)布局為并聯(lián)機(jī)構(gòu)距離陣面邊線390 mm，對(duì)應(yīng)的陣面最小平面度值約為0.020 59 mm，滿足了技術(shù)指標(biāo)中1 mm的平面度要求。與均勻布局相比，陣面的平面度值減小了8.57%。

2)本文以陣面最大變形量為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行了布局優(yōu)化分析，求得的最優(yōu)布局為并聯(lián)機(jī)構(gòu)距離陣面邊線530 mm，其對(duì)應(yīng)的陣面平面度值約為0.048 02 mm，2種目標(biāo)函數(shù)表示方式的最優(yōu)布局對(duì)應(yīng)的陣面平面度值相差0.027 43 mm，以陣面平面度值為目標(biāo)函數(shù)的方式與該方式相比，其RMS值減小了57.12%。

3)針對(duì)有限元方法求解時(shí)間過長(zhǎng)的情況，本文研究了基于多元非線性回歸和遺傳算法的布局優(yōu)化求解方法，求得的并聯(lián)機(jī)構(gòu)的最優(yōu)支撐位置距離陣面邊線380 mm，與有限元方法的得到的距離相差10 mm，其相對(duì)于距離變化范圍的百分比約為1.8%，且2種方法所求平面度結(jié)果非常接近。而該方法求解時(shí)長(zhǎng)約1 min，遠(yuǎn)小于有限元方法的10 h，驗(yàn)證了該方法的有效性。