一道測試題的答題情況引發(fā)的思考

【摘要】通過一道測試題在兩次測試的答題情況分析及題目解題思路的探求，反思我們平時(shí)教學(xué)，并由此提出若干高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考建議。

【關(guān)鍵詞】測試? ?思考? ?具體解法? ?教學(xué)建議? ?問題支架

【中圖分類號】G633.6

【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】1992-7711（2020）31-219-02

一、測試情況分析

測試題目：已知點(diǎn)P（x，y）為橢圓? ? ? +? ? ?=1上的任意一點(diǎn)，求x+y的最大值。

測試對象：筆者所在學(xué)校高三（8）全體學(xué)生，共49人。

測試結(jié)果分析：第一次測試時(shí)，此題作為選修4—4的選做題的大題第一問進(jìn)行考查，結(jié)果全班49人中完全答對的有43人。而第二次測試時(shí)，此題作為選擇題進(jìn)行考查，結(jié)果全班49人中答對的僅有11人，這當(dāng)中還包括蒙對的。同一道題在不同的考試情境下進(jìn)行測試，答題情況卻千差萬別，這值得我們深思。而當(dāng)筆者在第二次測試后跟學(xué)生交流時(shí)，提及參數(shù)方法后，學(xué)生表現(xiàn)出很吃驚，普遍表示不在做選做題時(shí)想不到可以用參數(shù)去解題，究其原因在于學(xué)生解題的思維定勢。當(dāng)該題放到選做題的位置，學(xué)生自然會(huì)想到用參數(shù)的方法去解決，問題迎刃而解。但當(dāng)該題放到選擇題進(jìn)行測試時(shí)，絕大部分學(xué)生就無所適從，他們不會(huì)想到用參數(shù)去解決。因此從這兩次答題的情況來看，不得不讓我們反思教學(xué)，尋找出現(xiàn)這樣的局面的真實(shí)原因和解決辦法。我們先來分析一下這道題的思維走向。

二、解題思路探求

（1）從所求式子的結(jié)構(gòu)去思考

x+y是一個(gè)二元一次的線性結(jié)構(gòu)，所以求x+y的最值可以聯(lián)想到線性規(guī)劃中在可行域下求線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題，而這里的可行域即為橢圓? ? ? +? ? ?=1上所有的點(diǎn)，所以當(dāng)直線z=x+y與橢圓相切時(shí)，x+y取得最值。

具體解法：

x+y=z

聯(lián)立方程? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，將y=z-x代入消元并化簡得

+? ? ?=1

13x2-18zx+9z2-36=0.

令Δ=（18z）2-4×13×（9z2-36）=0，解得z=± 13.

所以x+y的最大值為 13 .

這種解法的本質(zhì)就是線性規(guī)劃中在可行域下求線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題，第二次測試中做對的學(xué)生都是采用了這種方法。而沒有做對的學(xué)生中大多數(shù)認(rèn)為線性規(guī)劃的可行域應(yīng)該是不等式組，即有直線圍城的平面區(qū)域，所以看到橢圓根本不會(huì)往這種思路去思考問題。

（2）從函數(shù)的角度去思考

x+y中有兩個(gè)變量想x，y，而這兩個(gè)變量間存在著關(guān)系，所以可以將y轉(zhuǎn)換成x，這樣就相當(dāng)于構(gòu)造成有關(guān)自變量x的函數(shù)，再用函數(shù)求最值的方法求解。

具體解法：

由? ? ? +? ? ?=1，得y=±2? ? 1-? ? x2 ，所以x+y=x±2? 1-? ? x2，由于此題求x+y的最大值.

所以，令f（x）=x+y=x+2? 1-? ? x2 （0

f'（x）=1-

當(dāng)00，即f（x）在區(qū)間（0，? ? ?）單調(diào)遞增.

當(dāng)? ? ? ?

因此，當(dāng)x=? ? ? ?時(shí)，f（x）取得最大值? 13? .

函數(shù)是高中學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容也是難點(diǎn)內(nèi)容，通過建立函數(shù)模型來求最值是高中學(xué)習(xí)的一種常見的思維方式，很可惜并沒有學(xué)生想到這種方法。

（3）從橢圓的參數(shù)方程去思考

此題如果從參數(shù)方程去思考，就將求x+y的最大值轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最大值問題。

具體解法：

由橢圓的參數(shù)方程，可設(shè)x=3cosθ，y=2sinθ，

則x+y=3cosθ+2sinθ=? 13 sin（θ+ρ）

（其中sinρ=? ? ? ? ，cosρ=? ? ? ?）

因此，當(dāng) sin（θ+ρ）=1時(shí)，x+y的最大值為? 13? .

顯然這種解法更為簡單直接，這就是為什么此題放到選做題時(shí)答對率高的原故。

（4）利用極坐標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化去思考

如果利用極坐標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，題目的運(yùn)算要求極高，這種做法的難度大。

具體解法：

將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入橢圓方程，

得ρ2=

所以，（x+y）2=x2+2xy+y2

=ρ2（cos2θ+2sinθcosθ+sin2θ）

=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =

設(shè)k=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，

化簡得（9k-36）tan2θ-72tanθ+（4k-36）=0

令Δ=722-4（9k-36）（4k-36）≥0，解得0≤k≤13，即x+y的最大值為? 13 .

這種方法不管從思維方面還是運(yùn)算方面要求都比較高，所以說學(xué)生沒有想到用這個(gè)方法求解屬于正常情況。

（5）從不等式方向去思考

基本不等式以及柯西不等式都是用來求最值的常用方法，此題也可以利用柯西不等式進(jìn)行求解。

具體解法：

因?yàn)? ? ?+? ? ?=1，

所以（? ? ?+? ? ?）（9+4）=13≥（? ? ?×3+? ? ×y），

得-? 13? ≤x+y≤? 13? ，即x+y的最大值為? 13? 。

這種思維方式可以說是五種思考方法中最簡單的，但由于筆者所在的學(xué)校并沒有對柯西不等式內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)，所以這種方法等于不在學(xué)生所學(xué)知識范圍內(nèi)。

由于利用極坐標(biāo)求解繁瑣，柯西不等式選講筆者所在學(xué)校并沒有學(xué)習(xí)此選修模塊，所以學(xué)生想不到這兩種方法在情理之中。

回顧一下（1）～（3）三種解法，實(shí)際上都是源于數(shù)學(xué)中應(yīng)予滲透的最基本的化歸思想，更體現(xiàn)了對同一事物的不同視角。

三、復(fù)習(xí)備考建議

至此，我們應(yīng)該冷靜地思考一下我們平時(shí)的教學(xué)，在平時(shí)的教學(xué)中，我們老師是否做到以學(xué)生為主體，是否有從整體上進(jìn)行高三復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)，將知識點(diǎn)進(jìn)行整合，抑或只是逐章獨(dú)立地復(fù)習(xí)，使得學(xué)生在復(fù)習(xí)過程中思維形成定勢，不能多角度思考問題。為此，筆者提出以下幾點(diǎn)高三復(fù)習(xí)備考建議：

1.注重知識整合，提高數(shù)學(xué)解題能力

高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)繁多，且高一高二的學(xué)習(xí)相對零散，學(xué)生掌握起來比較困難，所以高三的復(fù)習(xí)需要我們老師以主干知識為主線對高中知識點(diǎn)進(jìn)行整合，與學(xué)生共建知識網(wǎng)絡(luò)，梳清知識脈絡(luò)，掌握通性通法，扎實(shí)高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本方法和基本思想。在解題訓(xùn)練中，注意將整合后的知識點(diǎn)作為考點(diǎn)，提升學(xué)生綜合解題能力，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋磉_(dá)習(xí)慣，并注重“一題多解”、“多題一解”的解題思維培養(yǎng)，久而久之，學(xué)生在面對高考試題時(shí)就能梳清知識脈絡(luò)，從容應(yīng)對。

2.構(gòu)建問題支架，突出學(xué)生的主體地位

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》基本理念提出要以學(xué)生發(fā)展為本，立德樹人，提升素養(yǎng)?！傲⒌聵淙恕钡慕逃枷肼鋵?shí)的關(guān)鍵是人，所以必須以學(xué)生作為課堂的主體。如何讓學(xué)生成為課堂的主人，就需要老師在課堂上設(shè)計(jì)合理的問題搭建好學(xué)生學(xué)習(xí)的支架，讓學(xué)生在一個(gè)個(gè)問題的解決過程中體會(huì)到學(xué)習(xí)的樂趣和對知識深刻的理解和掌握。但事實(shí)上，由于高三的教學(xué)任務(wù)重，時(shí)間緊，加上階段測試的考試成績壓力，因此為了趕進(jìn)度和取得短時(shí)的成績效應(yīng)，不少老師仍然習(xí)慣于“滿堂灌”的教學(xué)方式，課堂成為老師的“一堂言”，并沒有以學(xué)生為主體，學(xué)生的學(xué)仍然是被動(dòng)的接受，學(xué)生沒有從教學(xué)中體會(huì)到數(shù)學(xué)的本質(zhì)。由于學(xué)生被動(dòng)地接受老師所給予的解題方法，導(dǎo)致學(xué)生的解題思路狹隘，形成思維定勢，也就造成了題目考試的情境不同，學(xué)生的想法也就被局限在對應(yīng)的解題框架里，無法換個(gè)角度去分析思考數(shù)學(xué)問題。如果筆者能夠在講授參數(shù)方程時(shí)，以這題作為學(xué)生的學(xué)習(xí)支架，讓學(xué)生多角度思考這道題的做法，相信就不會(huì)出現(xiàn)第二次考試的不理想狀況。

3.以“提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”為根本目標(biāo)

由于面對學(xué)業(yè)的壓力，高三的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)往往忽視了學(xué)生綜合素質(zhì)的提升。新高考對學(xué)生的考查目標(biāo)已經(jīng)從過去的知識、能力轉(zhuǎn)向?qū)W科核心素養(yǎng)。所以，要實(shí)現(xiàn)高效復(fù)習(xí)，需制定基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的復(fù)習(xí)策略。但目前許多老師仍然以應(yīng)試為宗旨，學(xué)生深深陷入題海戰(zhàn)術(shù)，依靠機(jī)械模仿和記憶處理數(shù)學(xué)問題，數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)沒有得到真正地提升。2019年的高考試題已經(jīng)給予我們很好的指引，只有提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)才能水到渠成地收獲優(yōu)異的高考成績。因此，老師應(yīng)把提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)作為高三復(fù)習(xí)的根本目標(biāo)。

四、結(jié)束語

我國在新一輪推進(jìn)高考命題改革中，不僅關(guān)注學(xué)生理解、掌握數(shù)學(xué)知識的準(zhǔn)確性和完整性，更關(guān)注學(xué)生所提出問題的問題中包含的數(shù)學(xué)思維量，其目的是提升學(xué)生作為現(xiàn)代社會(huì)公民所具備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生自主的、全面的、可持續(xù)的發(fā)展。所以我們應(yīng)該改變傳統(tǒng)的備考模式，要從“以記憶為核心”的備考策略轉(zhuǎn)變?yōu)椤耙运季S為核心”的備考策略，跳出題海戰(zhàn)術(shù)，以提升學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)為目標(biāo)進(jìn)行復(fù)習(xí)備考。

課題：廣東省廣州市增城區(qū)教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2019年度課題“以問題為支架”的高三復(fù)習(xí)課有效性研究（課題編號：zc2019029，課題主持人：胡能其）

【參考文獻(xiàn)】

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[3]康響.核心素養(yǎng)下《圓錐曲線》高考復(fù)習(xí)策略[J].中學(xué)理科園地，2018（03）：51-52.