基于突變理論的隧道自穩(wěn)能力量化研究

蘇永華， 肖 峰

(湖南大學(xué) 巖土工程研究所， 湖南 長(zhǎng)沙 410082)

0 引言

近年來(lái)，我國(guó)在深埋隧道建設(shè)方面取得了巨大的發(fā)展，其中泥巴山隧道的最大埋深達(dá)到了1650 m。由于深埋隧道位于高地溫、高地應(yīng)力等復(fù)雜地質(zhì)環(huán)境中，與淺埋隧道相比更容易發(fā)生各種工程地質(zhì)災(zāi)害。地質(zhì)災(zāi)害是引發(fā)深埋隧道發(fā)生破壞的重要原因。因此，如何評(píng)價(jià)隧道圍巖的穩(wěn)定性是隧道開(kāi)挖過(guò)程中的首要問(wèn)題，許多學(xué)者進(jìn)行了深入研究[1-3]。

目前比較常用的方法是通過(guò)記錄隧道內(nèi)部關(guān)鍵點(diǎn)的位移、應(yīng)力等參數(shù)的變化來(lái)預(yù)警隧道圍巖穩(wěn)定性，然而這些評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)不夠統(tǒng)一，無(wú)法直觀地反映隧道穩(wěn)定性。隨著鄭穎人[4-5]等把強(qiáng)度折減法引入國(guó)內(nèi)，該方法在處理邊坡穩(wěn)定性分析當(dāng)中已經(jīng)獲得了不少進(jìn)步，把強(qiáng)度折減法引入隧道穩(wěn)定性分析也是一種不錯(cuò)的思路[6-8]。采用強(qiáng)度折減法分析問(wèn)題的關(guān)鍵所在是精確地確定突變點(diǎn)，蘇永華[9]等通過(guò)分析將折減系數(shù)小于3.5的點(diǎn)和折減系數(shù)大于3.7的點(diǎn)分別擬合成2條直線，把這2條直線的交點(diǎn)作為位移突變點(diǎn)。R.Thom創(chuàng)立的突變理論[10]作為非線性理論的一個(gè)分支，在巖石力學(xué)與地下工程領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，例如圍巖失穩(wěn)問(wèn)題[11-12]、巖質(zhì)邊坡失穩(wěn)問(wèn)題等[13-14]。

公路隧道設(shè)計(jì)規(guī)范(JTG D70—2004)[15]對(duì)于隧道復(fù)合式襯砌的設(shè)計(jì)參數(shù)表明，在Ⅱ級(jí)圍巖及以上時(shí)，對(duì)于公路隧道只需要進(jìn)行防護(hù)性支護(hù)或構(gòu)造性支護(hù)，說(shuō)明在這種圍巖等級(jí)下，隧道圍巖是可以自穩(wěn)的?；诖耍疚膶?qiáng)度折減法和突變理論相結(jié)合，計(jì)算出這種情況下隧道的自穩(wěn)能力系數(shù)k0，作為衡量隧道是否能夠自穩(wěn)的定量指標(biāo)。同時(shí)求出在Ⅲ、Ⅳ圍巖等級(jí)下隧道的自穩(wěn)系數(shù)，與k0相比較，給出各級(jí)圍巖相應(yīng)支護(hù)的定量描述，為隧道的支護(hù)設(shè)計(jì)提供一種新的思路。

1 圍巖失穩(wěn)判據(jù)的選取

1.1 強(qiáng)度折減法基本原理

強(qiáng)度折減法是將巖體的抗剪強(qiáng)度指標(biāo)粘聚力c和內(nèi)摩擦角φ同時(shí)除以同一個(gè)折減系數(shù)k，得到新的一組抗剪強(qiáng)度指標(biāo)粘聚力c′和內(nèi)摩擦角φ′，并將此時(shí)c′和φ′代入數(shù)值軟件中計(jì)算，依次重復(fù)之前的步驟，一直到隧道圍巖發(fā)生破壞，此時(shí)的強(qiáng)度折減系數(shù)k即為該隧道能夠保持自穩(wěn)的自穩(wěn)系數(shù)，其計(jì)算公式為：

c′=c/k

(1)

φ′=arctan(tanφ/k)

(2)

1.2 突變理論的基本原理

突變理論是由法國(guó)數(shù)學(xué)家R.Thom在1972年創(chuàng)立，主要是研究非線性系統(tǒng)如何從連續(xù)漸變狀態(tài)走向系統(tǒng)性質(zhì)的突變。R.Thom共總結(jié)了7 種突變模型，應(yīng)用比較廣泛的是尖點(diǎn)突變模型。

尖點(diǎn)突變模型的標(biāo)準(zhǔn)勢(shì)函數(shù)為:

V(x)=x4+ux2+vx

(3)

式中:x是狀態(tài)變量；u和v為系統(tǒng)的控制參數(shù)。將上式(3)對(duì)x進(jìn)行求導(dǎo)，并且令導(dǎo)數(shù)為0，得到平衡曲面方程為：

(4)

對(duì)于突變點(diǎn)，不僅要滿足式(4)，還要滿足:

(5)

聯(lián)立求解方程(4)和方程(5)，將得到突變點(diǎn)應(yīng)服從的控制參數(shù)曲面為:

Δ=8u3+27v2=0

(6)

根據(jù)Δ變化來(lái)分析工程系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當(dāng)Δ<0時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生突變; 當(dāng)Δ=0時(shí)，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)；當(dāng)Δ>0時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。

1.3 深埋隧道開(kāi)挖圍巖失穩(wěn)判據(jù)

應(yīng)用比較廣泛的深埋隧道圍巖破壞判據(jù)主要可分為強(qiáng)度判據(jù)、位移判據(jù)和能量判據(jù)。在數(shù)值模擬和實(shí)際工程監(jiān)測(cè)中，用關(guān)鍵點(diǎn)的位移來(lái)判斷深埋隧道開(kāi)挖圍巖失穩(wěn)破壞是一種較為常用的方法?；诖?，本文采用有限元強(qiáng)度折減法計(jì)算圍巖穩(wěn)定性時(shí)，建立式(7)所示的隧道頂部位移δ和折減系數(shù)k的尖點(diǎn)突變模型來(lái)判斷圍巖是否發(fā)生失穩(wěn)破壞。

δ=f(k)

(7)

隨著強(qiáng)度折減可得出不同折減系數(shù)條件下隧道頂部的位移場(chǎng)， 可對(duì)不同折減系數(shù)下隧道頂部位移值與強(qiáng)度折減系數(shù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合， 即構(gòu)建式(7)。將式(7)用Taylor 級(jí)數(shù)展開(kāi)，則得：

(8)

取上式前6項(xiàng)，可以滿足計(jì)算的精度要求，得到：

(9)

(10)

式中：b0=5a5q4-4a4q3+3a3q2-2a2q+a1;b1=-20a5q2-6a3q+2a2;b2=30a5q2-12a5q+3a3;b4=5a5。

(11)

(12)

式(11)和式(12)分別為以x為狀態(tài)變量，以u(píng)、v為控制變量的正則尖點(diǎn)突變模型和對(duì)偶尖點(diǎn)突變模型的標(biāo)準(zhǔn)勢(shì)函數(shù)，其中正則點(diǎn)尖點(diǎn)突變模型平衡曲面與分叉集如圖1所示。

圖1 正則點(diǎn)尖點(diǎn)突變模型的分叉集和平衡曲面Figure 1 Balance curved surface and birfurcationset of cusp catastrophe model

對(duì)于正則尖點(diǎn)突變模型的勢(shì)函數(shù)，即式(11)進(jìn)行求導(dǎo)得：

x3+ux+v=0

(13)

由式(13)所決定的臨界點(diǎn)集就是平衡曲面，其在(x，u，v)空間中的圖形見(jiàn)圖1，在平衡曲面上有豎直切線的點(diǎn)就構(gòu)成狀態(tài)的突變點(diǎn)集(即奇點(diǎn)集)，其方程為：

3x2+u=0

(14)

奇點(diǎn)集在控制變量(u，v)平面上的投影構(gòu)成分叉集， 它是所有使得狀態(tài)變量產(chǎn)生突變的點(diǎn)的集合。由尖點(diǎn)突變理論可知，聯(lián)立式(13)和式(14)消去x得：

Δ=8u3+27v2

(15)

根據(jù)尖點(diǎn)突變理論，深埋隧道圍巖穩(wěn)定有如下判據(jù)：若Δ>0，位移沒(méi)有突變，說(shuō)明隧道圍巖是穩(wěn)定的，相反，若Δ<0，位移發(fā)生突變，說(shuō)明隧道圍巖發(fā)生破壞。

2 隧道圍巖自穩(wěn)系數(shù)確定方法

2.1 模型的建立及參數(shù)的選取

數(shù)值計(jì)算采用Phase2有限元軟件，隧道斷面采用直墻拱型，模型邊界取5倍洞徑，邊界條件為全固定模型，如圖2所示。

圖2 隧道模型Figure 2 Tunnel model

在有限元計(jì)算中，初始應(yīng)力場(chǎng)取自重應(yīng)力場(chǎng)，側(cè)壓力系數(shù)取為1，隧道埋深為300m，圍巖的重度γ=27kN/m3按平面應(yīng)變問(wèn)題處理，不考慮隧道開(kāi)挖的空間和時(shí)間效應(yīng)，采用彈塑性本構(gòu)模型和摩爾庫(kù)倫(Mohr—Coulomb)強(qiáng)度屈服準(zhǔn)則進(jìn)行計(jì)算。隧道圍巖的物理力學(xué)指標(biāo)按最不利標(biāo)準(zhǔn)取值，即?、蚣?jí)圍巖物理力學(xué)指標(biāo)的下限值，具體為：圍巖密度ρ=2.65g/cm3，彈性模量E=20GPa，泊松比μ=0.25，內(nèi)摩擦角φ=50°，黏聚力c=1.5MPa。

2.2 自穩(wěn)系數(shù)計(jì)算結(jié)果與分析

采用有限元強(qiáng)度折減法計(jì)算出不同折減下隧道圍巖的位移場(chǎng)，繪制如圖3所示。

圖3 隧道圍巖強(qiáng)度折減系數(shù)與洞頂位移關(guān)系曲線圖Figure 3 Relationship between the strength reduction coefficient of tunnel surrounding rock and the displacement of the top of the tunnel

現(xiàn)在以強(qiáng)度折減系數(shù)k=1.5為例，敘述計(jì)算的過(guò)程，并且說(shuō)明將強(qiáng)度折減法和尖點(diǎn)突變理論結(jié)合運(yùn)用的過(guò)程。

由式(9)對(duì)k=0.6～1.5共10次折減下的隧道洞頂?shù)奈灰浦郸暮蛷?qiáng)度折減系數(shù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，可以得到：

17.304x2+7.1026x+3.9699

(16)

經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)，代入式(11)中可以得到勢(shì)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式為：

(17)

由式(11)可以知道，該尖點(diǎn)突變模型中的u=44.7055，v=18.3169，由式(15)得到該條件下的Δ=4u3+27v2=3.66E+05>0，說(shuō)明在這種情況下，隧道圍巖是穩(wěn)定的。

重復(fù)上述步驟，可以得到基于突變理論的位移判據(jù)，各強(qiáng)度折減系數(shù)下的穩(wěn)定性判別值Δ，并列于表1所示。Δ>0，說(shuō)明隧道圍巖沒(méi)有發(fā)生失穩(wěn)，Δ<0，說(shuō)明隧道圍巖發(fā)生了失穩(wěn)。

表1 隧道洞頂位移隨強(qiáng)度折減系數(shù)的系統(tǒng)突變判別Table 1 System catastrophe discrimination of tunnel top displacement with strength reduction factor強(qiáng)度折減系數(shù)尖點(diǎn)突變模型參數(shù)uvΔ穩(wěn)定性1.10268.674 6182.696 57.85e7穩(wěn)定1.3012.365 3-12.808 81.20e4穩(wěn)定1.5044.705 518.316 93.66e5穩(wěn)定1.5229.251 711.836 41.04e5穩(wěn)定1.53-20.556 8-2.144 8-3.46e4失穩(wěn)1.55-43.757 2-13.486 2-3.30e5失穩(wěn)1.60-50.717 0-17.696-5.13e5失穩(wěn)1.80-7.326 11.291 3-1.53e3失穩(wěn)

當(dāng)強(qiáng)度折減系數(shù)從1.52變化到1.53的過(guò)程中，隧道圍巖的穩(wěn)定性判別參數(shù)Δ從大于0變化到小于0，發(fā)生了突變，說(shuō)明此時(shí)隧道圍巖的穩(wěn)定性狀態(tài)從穩(wěn)定變化到不穩(wěn)定，已經(jīng)發(fā)生了失穩(wěn)破壞，從而可以得到此時(shí)深埋隧道圍巖的安全系數(shù)是1.52，即隧道圍巖的自穩(wěn)能系數(shù)k0=1.52。

3 隧道自穩(wěn)能力影響因素分析

3.1 隧道埋深對(duì)圍巖自穩(wěn)能力的影響

當(dāng)隧道埋深取100、200、300m時(shí)，計(jì)算隧道圍巖頂部位移變化如圖4所示。

圖4 不同埋深情況下隧道強(qiáng)度折減系數(shù)與洞頂位移關(guān)系圖Figure 4 Relationship between tunnel strength reduction coefficient and roof displacement under different buried depths

按照2節(jié)提出的方法，求得當(dāng)隧道埋深取100、200和300 m時(shí)，圍巖的自穩(wěn)系數(shù)分別為2.35、1.64和1.52，如圖5所示。

圖5 隧道埋深與圍巖的自穩(wěn)系數(shù)關(guān)系圖Figure 5 Relationship between tunnel burial depth and self-stability coefficient of surrounding rock

從圖5可以看出，在其他變量保持不變的情況下，隨著隧道埋深的增加，圍巖的自穩(wěn)系數(shù)逐漸變小，也就是說(shuō)圍巖越來(lái)越不穩(wěn)定。鄭穎人[6]等研究表明，當(dāng)埋深為1～18 m時(shí)，安全系數(shù)越來(lái)越大;當(dāng)埋深為18～50 m時(shí)，安全系數(shù)越來(lái)越小，也從側(cè)面驗(yàn)證了該結(jié)論的正確性。

3.2 側(cè)壓力系數(shù)對(duì)圍巖自穩(wěn)能力的影響

當(dāng)側(cè)壓力系數(shù)分別取1、2和3時(shí)，繪制隧道頂部位移隨折減系數(shù)的變化關(guān)系如圖6所示。

圖6 不同側(cè)壓力系數(shù)情況下隧道強(qiáng)度折減系數(shù)與洞頂位移關(guān)系圖Figure 6 Relationship between tunnel strength reduction factor and roof displacement under different lateral pressure coefficients

按照2節(jié)提出的方法，求出當(dāng)側(cè)壓力系數(shù)為1、2和3時(shí)，圍巖的自穩(wěn)能力系數(shù)分別是1.52、0.89和0.75。繪制圍巖自穩(wěn)能力系數(shù)與側(cè)壓力系數(shù)的關(guān)系如圖7所示。

圖7 圍巖自穩(wěn)能力系數(shù)與側(cè)壓力系數(shù)關(guān)系圖Figure 7 Relationship between self-stability coefficient and lateral pressure coefficient of surrounding rock

從圖7中可以看出，在其他條件不變的情況下，隨著側(cè)壓力系數(shù)的增大，圍巖的自穩(wěn)系數(shù)越來(lái)越小，說(shuō)明此時(shí)圍巖越來(lái)越不穩(wěn)定，也就是越來(lái)越不安全。

4 深埋隧道支護(hù)優(yōu)化方法

一般來(lái)說(shuō)，隧道在進(jìn)行支護(hù)的時(shí)候，設(shè)計(jì)人員為了計(jì)算方便，通常采用結(jié)構(gòu)力學(xué)的設(shè)計(jì)原則或者經(jīng)驗(yàn)方法設(shè)計(jì)，采用結(jié)構(gòu)力學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)耗費(fèi)較多，與安全節(jié)約的原理相違背。經(jīng)驗(yàn)的設(shè)計(jì)方法一般是根據(jù)規(guī)范進(jìn)行設(shè)計(jì)，但是這樣無(wú)法定量表達(dá)出支護(hù)效果，無(wú)法進(jìn)行規(guī)范的優(yōu)化設(shè)計(jì)，達(dá)到節(jié)約材料的目的。因此，本文基于突變理論和強(qiáng)度折減法求出各級(jí)圍巖下隧道的安全系數(shù)，以Ⅱ級(jí)圍巖下的安全系數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，即圍巖的自穩(wěn)能力系數(shù)k0，Ⅲ、Ⅳ圍巖等級(jí)下的安全系數(shù)與k0的差值為p，定義為支護(hù)補(bǔ)給系數(shù)。3節(jié)中，已經(jīng)得到圍巖的自穩(wěn)能力系數(shù)k0=1.52，按照之前的方法，求得Ⅲ、Ⅳ級(jí)圍巖等級(jí)下的隧道的安全系數(shù)如表2所示。

表2 各級(jí)圍巖下隧道的安全系數(shù)Table 2 Safety coefficient of tunnels under surrounding rocks at All levels圍巖等級(jí)密度/g·cm-3 彈性模量/GPa泊松比粘聚力/MPa內(nèi)摩擦角/(°)地應(yīng)力/MPa安全系數(shù)Ⅲ2.456.00.300.7398.10.91Ⅳ2.251.30.350.2278.10.45

以Ⅲ級(jí)圍巖為例，由表2中可以知道，其安全系數(shù)為0.91，與隧道圍巖的自穩(wěn)系數(shù)k0的差值p=1.52-0.91=0.61，可以知道，在Ⅲ級(jí)圍巖下，該隧道的支護(hù)補(bǔ)給系數(shù)為0.61。說(shuō)明需要通過(guò)支護(hù)提高的安全系數(shù)為0.61，可以通過(guò)錨噴支護(hù)等支護(hù)方法將整體的安全系數(shù)提高到1.52，則該隧道可以保持自穩(wěn)。

5 結(jié)論

深埋隧道圍巖的穩(wěn)定性是隧道開(kāi)挖過(guò)程中的首要問(wèn)題。本文基于公路隧道設(shè)計(jì)規(guī)范(JTG D70—2004)，將強(qiáng)度折減法和突變理論相結(jié)合，提出一種量化隧道圍巖穩(wěn)定性的方法，得出如下結(jié)論：

a. 通過(guò)將強(qiáng)度折減法和突變理論相結(jié)合，提出基于隧道洞頂下沉位移突變作為判斷隧道圍巖破壞的失穩(wěn)判據(jù)。

b. 利用Phase2有限元軟件，提出隧道自穩(wěn)能力的量化方法，結(jié)合公路隧道設(shè)計(jì)規(guī)范，確定了深埋隧道在Ⅱ級(jí)圍巖條件下可以保持自穩(wěn)，并求出自穩(wěn)系數(shù)為1.52。

c. 分析了埋深和側(cè)壓力系數(shù)對(duì)隧道圍巖自穩(wěn)系數(shù)的影響，隨著埋深的增大，隧道圍巖的自穩(wěn)系數(shù)越來(lái)越小；隨著側(cè)壓力系數(shù)的增大，圍巖的自穩(wěn)系數(shù)同樣越來(lái)越小。

d. 針對(duì)深埋隧道的支護(hù)設(shè)計(jì)方法，提出支護(hù)補(bǔ)給系數(shù)這一概念，較傳統(tǒng)的支護(hù)設(shè)計(jì)，量化了支護(hù)效果，為隧道支護(hù)設(shè)計(jì)提供了一種新的思路。