基于不確定度分析的計算結(jié)果有效數(shù)字確定方法

張馨睿，吳颯，陳仁軍，周學(xué)亮

（1.北京航空航天大學(xué)，北京 100083； 2.陸軍裝備部航空軍事代表局，上海 200233；3.蘇州天航長鷹科技發(fā)展有限公司，蘇州 215155）

背景

在科學(xué)研究與工程實踐中，不可避免地要進(jìn)行大量的數(shù)據(jù)計算，也就是把一些數(shù)值作為已知量，通過規(guī)定的計算方法以數(shù)值的方式給出運算結(jié)果。無論是作為已知量還是作為運算結(jié)果的數(shù)值都是通過有效數(shù)字的方式給出，也就是說這些數(shù)值在本質(zhì)上具有一定的不確定性。數(shù)據(jù)計算不僅應(yīng)當(dāng)按照計算方法給出理論結(jié)果，也應(yīng)當(dāng)把來自于數(shù)據(jù)源和計算方法的不確定度信息正確地傳遞給計算結(jié)果的使用者，一般是以有效數(shù)字位的方式完成數(shù)據(jù)結(jié)果和不確定度信息的傳遞。因此，如何確定計算結(jié)果的有效位數(shù)是十分必要的，不正確的有效數(shù)字位會造成計算結(jié)果中所傳遞的不確定度被錯誤地使用。正是因為有效數(shù)字位與不確定度存在著本質(zhì)上的關(guān)聯(lián)，因而有必要通過不確定度分析的方法進(jìn)行有效數(shù)字位的確定。

1 概念

1.1 有效數(shù)字的含義

數(shù)據(jù)的來源一般有兩種途徑，一種是通過直接測量得到的測量量，另一種是通過計算的得到的計算結(jié)果。對于第一種情況，有效數(shù)字是反映被測量大小的全部數(shù)字，包含準(zhǔn)確數(shù)字以及一位帶有不確定度的估讀數(shù)字。有效數(shù)字的最末一位是估讀的，因此只有最末一位數(shù)字具有不確定度，有效數(shù)字的不確定度代表了估讀數(shù)字的不確定度，可以通過有效數(shù)字的不確定度大小來確定哪位數(shù)字是估讀數(shù)字。有效數(shù)字也在一定程度上表達(dá)了測量結(jié)果的不確定度[2]，其最末數(shù)字位數(shù)離小數(shù)點越近，被測值的不確定度越大。對于第二種情況，通過對計算結(jié)果的修約得到其有效數(shù)字。無論是直接測量值還是通過間接計算得到的數(shù)值，當(dāng)以有效數(shù)字表示時，都要遵循只有最末位是估計值，其他位都是準(zhǔn)確數(shù)字的要求。只有這樣才能保證正確反映出分析量的多少，才能使結(jié)果被正確使用。

1.2 不確定度的含義

不確定度的概念首先應(yīng)用在測量結(jié)果的表述中，用以合理表示被測值分散程度。無論是直接測量量還是通過計算得到的測量值，其結(jié)果的完整表示應(yīng)該是被測量量加上相應(yīng)的不確定度。不確定度反映了測量的質(zhì)量，不確定度小，表明測量結(jié)果距真值的偏離范圍就越小，質(zhì)量就越高，其使用價值就越高，相反，不確定度越大，則偏離范圍就越大，質(zhì)量就越低，其使用價值就越低。

2 測量不確定度評定

進(jìn)行測量不確定度評定時，比較常用的方法是應(yīng)用測量不確定度傳播率的方法（GUM法），具體過程包括建模、標(biāo)準(zhǔn)不確定度評定、計算合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度和計算擴(kuò)展不確定度。

2.1 建模

被測量的值的不確定度取決于參與計算的其他分量，確定這種取決關(guān)系即為建模。被測量Y的最佳值y由X1，X2，…，XN的最佳值x1，x2，…，xn得到，即y=f(x1，x2，…，xn)。y的標(biāo)準(zhǔn)不確定度 u(y)取決于 x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。

2.2 標(biāo)準(zhǔn)不確定度評定

A類評定方法是為了得到測量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差的最佳估計值，通過一系列測量數(shù)據(jù)使用統(tǒng)計方法進(jìn)行評定。通常使用方法有貝塞爾法、最大殘差法、極差法、最小二乘法。

B類評定方法是通過非統(tǒng)計方法進(jìn)行的，B類評定方法中最常見的是使用來自于技術(shù)資料、證書或手冊中提供的數(shù)據(jù)。這些數(shù)據(jù)往往提供了可能的取值范圍，但其概率分布要進(jìn)行假設(shè)，根據(jù)已知信息可假設(shè)為正態(tài)分布、均勻分布、反正弦分布、雙均勻分布、三角分布，如果信息缺乏，一般情況下可以假設(shè)為均勻分布。

2.3 合成不確定度計算

合成不確定度是在不確定度傳播公式下，自變量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度經(jīng)函數(shù)關(guān)系傳播到因變量所產(chǎn)生的不確定度。不確定度傳播公式為：

假設(shè)自變量之間互不相關(guān)，則r(xi，xj) =0合成不確定度公式為：

2.4 擴(kuò)展不確定度計算

擴(kuò)展不確定度表示測量值大部分合理地包含在此區(qū)間內(nèi)，擴(kuò)展不確定度由合成不確定度與包含因子相乘求得：

包含因子常用求取方法如下[3]：

1）當(dāng)參與運算分量的自由度已知時，根據(jù)下式（4）計算合成不確定度的有效自由度

vi—u(xi)的自由度。

由t分布求出包含因子P為置信水平，可取0.95，0.99，0.997，可根據(jù)t分布表，通過p與v查表得tp(v)，即k。

2）當(dāng)參與運算分量的自由度未知時，可通過賦值法求取k。

實際測量工作中，大多數(shù)測量量的分布可以近似為正態(tài)分布，對于正態(tài)分布的情況，包含因子取決于期望的置信概率。在工程上一般的置信概率取值為90 %、95 %、99 %，對應(yīng)的包含因子分別為2、2.56、3。其他分布情況，也有類似的幅值方法，具體可以參閱測量不確定度評定和數(shù)理統(tǒng)計相關(guān)書籍。

3 計算結(jié)果的不確定度

計算結(jié)果的不確定度評定與測量的不確定度評定非常類似。

3.1 建模

計算結(jié)果的來源公式即為模型。

3.2 標(biāo)準(zhǔn)不確定度評定

計算所面臨的情況不存在一系列測量數(shù)據(jù)，不使用統(tǒng)計方法進(jìn)行評定，因此不使用A類評定方法。

計算過程的不確定度應(yīng)使用B類評定方法進(jìn)行評定，數(shù)據(jù)可來源于資料或前期計算結(jié)果，因此在進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)不確定度評估時，參與計算的每個數(shù)值都是不確定度評定時的來源。如果數(shù)值給出了不確定度信息，則可以利用該信息計算其標(biāo)準(zhǔn)不確定度。如果該數(shù)值僅以有效數(shù)字給出，由于沒有給出其他信息，故假設(shè)其為均勻分布，根據(jù)修約規(guī)則，其量值變化半寬度為a，標(biāo)準(zhǔn)不確定度等于

3.3 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度計算

計算結(jié)果的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度計算與測量不確定度計算類似。

合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度是在不確定度傳播公式下，參與計算分量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度經(jīng)靈敏度系數(shù)傳播到計算結(jié)果所產(chǎn)生的不確定度。不確定度傳播公式為：

假設(shè)參與計算的分量之間互不相關(guān)，則r(xi，xj) =0，合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度公式為：

3.4 擴(kuò)展不確定度計算

計算結(jié)果的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度計算與測量不確定度計算類似，擴(kuò)展不確定度由合成不確定度與包含因子相乘求得：

k通過賦值法求得，取決于預(yù)期的置信概率，在工程上一般的置信概率取值為90 %、95 %、99 %，對應(yīng)的包含因子分別為2、2.56、3。

4 計算結(jié)果的有效數(shù)字確定

4.1 常規(guī)方法

數(shù)值計算是科研工作的核心，計算公式可以是常規(guī)的算術(shù)計算，也可以是非常復(fù)雜的計算方法。下面就幾種常見的計算方法，給出目前采用的有效數(shù)字確定原則[1]。

加減法：最終結(jié)果的有效數(shù)字的末位與參與運算變量中有效數(shù)字末位最高位者相同。

乘除法：最終結(jié)果的有效數(shù)字的位數(shù)與參與運算變量中有效數(shù)字位數(shù)最少者相同。

乘方運算：最終結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)與底數(shù)有效位數(shù)相同。

對數(shù)運算：最終結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)與真數(shù)的有效位數(shù)相同。

4.2 基于不確定度分析的方法

有效數(shù)字的不確定度與最末一位修約數(shù)字有直接聯(lián)系，無論是直接測量還是間接計算得到的結(jié)果，其不確定度都表現(xiàn)了計算結(jié)果在哪個數(shù)位上是不確定的，確定有效數(shù)字位數(shù)即確定修約數(shù)字在哪位，可以通過計算結(jié)果的大小與其不確定度來確定。進(jìn)行最終結(jié)果報告時，結(jié)果的末位應(yīng)與不確定度的末位保持一致（如GJB 3756）。在進(jìn)行計算時，根據(jù)修約規(guī)則，有效數(shù)字中只包含一位不確定數(shù)字就是最末一位修約數(shù)字，因而對于不確定度的關(guān)注只有一位數(shù)字即首位數(shù)字。根據(jù)預(yù)期的置信概率對應(yīng)的包含因子，得到擴(kuò)展不確定度，然后根據(jù)通用的修約規(guī)則，得到只有一個數(shù)字位的數(shù)值，如該位數(shù)值大于等于5，則有效數(shù)字位進(jìn)一位，否則有效數(shù)字位保持不變。例如0.04對應(yīng)的有效數(shù)字位是小數(shù)點后第二位，0.05對應(yīng)的有效數(shù)字位是小數(shù)點后1位[5]。

4.3 在常用計算方法中的應(yīng)用

1）加法：N=f(x1，x2，…xn)=x1±x2±…±xn

合成不確定度：

這是最簡單的計算過程，當(dāng)只有一個數(shù)值具有最少有效數(shù)字時，它將占主導(dǎo)地位，其他數(shù)值的影響可以忽略。通過公式就可以明顯看出。這種情況下與常規(guī)方法是一致的。

只有當(dāng)存在多個數(shù)值具有相同的最小有效數(shù)字時，才需要根據(jù)不確定度傳播公式計算其合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度。

2）乘法：N= f(x1，x2，…xn)=x1×x2×…×xn

合成不確定度：

3）除法：N= f(x1，x2，…xn)=x1÷x2÷…÷xn

合成不確定度：

4）乘方（以平方運算為例）：N=f(x)=x2

合成不確定度：

6）對數(shù):N=f(x)=logax

合成不確定度：

7）指數(shù):N=f(x)=ax

合成不確定度：

5 示例與分析

5.1 加減法運算

在加減法運算中，如若參與運算的分量中最小有效數(shù)值只有一個時，其產(chǎn)生的不確定度占主導(dǎo)地位，其他數(shù)值產(chǎn)生的不確定度可以忽略，因此這種情況下，常用的確定方法與本文提出的確定方法得出的結(jié)果相同。

例 1：N=x1+x2+x3+x4+x5+x6，x1=1.325，x2=1.364，x3=1.102，x4=1.32，x5=1.364，x6=1.182，計算結(jié)果N=7.657。

1）使用本文提出的確定方法：

x1、x2、x3、x4、x5、x6服從均勻分布，其標(biāo)準(zhǔn)不確定度為

由于只有一個數(shù)據(jù)占主導(dǎo)，且假設(shè)其為均勻分布，因而認(rèn)為計算結(jié)果也基本服從均勻分布，其擴(kuò)展不確定度為，0.002 961×2≈0.006故有效位進(jìn)一位即0.01，按照修約規(guī)則N的最終表示結(jié)果是N=7.66。

2）使用常用確定方法：

參與運算的有效數(shù)字中小數(shù)位數(shù)最少者為2，因此最終計算結(jié)果中保留的小數(shù)數(shù)位也是2位，最終計算結(jié)果為7.66。兩種方法給出了同樣的結(jié)果，原因是在加減法運算中，靈敏度系數(shù)是常數(shù)1，只有一個數(shù)據(jù)具有最小的有效位，在本文提出的方法中不確定度取決于最小有效位；常規(guī)方法中也取決于最小有效位。

例 2：N=x1+x2+x3+…+x100，x1=x2=x100=0.013 25，N=1.325

1）使用本文提出的方法：

x1、x2、…、x100服從均勻分布，其標(biāo)準(zhǔn)不確定度為

由于每個數(shù)據(jù)的不確定度都相同，且假設(shè)其為均勻分布，因而認(rèn)為計算結(jié)果也基本服從均勻分布，其擴(kuò)展不確定度為0.002 89×2≈0.005，故有效位即0.01，按照修約規(guī)則N的最終表示結(jié)果是N=1.33。

2）使用常用確定方法：

參與運算的最小有效數(shù)位為4，因此運算結(jié)果的有效數(shù)位也是4位，最終計算結(jié)果為1.325。

當(dāng)參與加減法運算的變量修約數(shù)字所在位數(shù)相同且變量個數(shù)增加到一定程度時，采用兩種方法得到的結(jié)果是不同的，原因是由于變量個數(shù)的增加使得擴(kuò)展不確定度擴(kuò)大了十倍，有效位也隨之發(fā)生改變，此時常用的方法仍根據(jù)變量中小數(shù)位最小者確定有效位是不合理的。

5.2 乘法運算

V=a×b×h，a=5.375，b=4.230，h=4.110， 結(jié) 果 為V=93.445 987 5。修約截尾產(chǎn)生的不確定度屬于均勻分布，標(biāo)準(zhǔn)不確定度

按正態(tài)分布95 %置信概率的包含因子為2，則擴(kuò)展不確定度為0.02，確定有效位是與不確定度首位，最終表示結(jié)果是V=93.45。而采用常規(guī)方法，最終表示結(jié)果的有效位是所有數(shù)據(jù)中最小有效位數(shù)，表示結(jié)果是V=93.446。

采用兩種方法得到的結(jié)果是不同的，原因在于采用常規(guī)方法時將不確定度傳播中的靈敏度系數(shù)全部看作常數(shù)1，采用本文提出的方法，在進(jìn)行不確定度傳播計算時，真實的考慮了靈敏度系數(shù)，參與運算變量的靈敏度系數(shù)大于常數(shù)1，因此得到的結(jié)果會偏大。

5.3 除法運算

5.4 平方運算

E=v2，v=6.23，計算結(jié)果 E=38.812 9。則。按正態(tài)分布95 %置信概率的包含因子為2，則擴(kuò)展不確定度為0.035 972×2≈0.1，確定有效位是與不確定度首位，最終表示結(jié)果是v=38.8。而采用常規(guī)方法，最終表示結(jié)果的有效位是底數(shù)有效位數(shù)，表示結(jié)果是v=38.8。

5.5 開方運算

5.6 對數(shù)運算

y=log10x，x=20.11計算結(jié)果y=1.303 412，標(biāo)準(zhǔn)不確定度，則0.000 062 3，按正態(tài)分布95 %置信概率的包含因子為2，則擴(kuò)展不確定度為0.000 062 3×2≈0.000 1，確定有效位是與不確定度首位，最終表示結(jié)果是y=1.303 4。而采用常規(guī)方法，最終表示結(jié)果的有效位數(shù)與真數(shù)的有效位數(shù)相同，表示結(jié)果是y=1.303。

6 結(jié)論

本文基于不確定度傳播原理對確定計算結(jié)果有效數(shù)字的方法，計算由自變量修約截尾產(chǎn)生的標(biāo)準(zhǔn)不確定度傳播到測量值的合成不確定度，計算結(jié)果有效數(shù)字的確定與擴(kuò)展不確定度相關(guān)，計算結(jié)果的有效位與擴(kuò)展不確定度的首位相同。采用常用方法與本文提出的方法得出的結(jié)果是有差異的，原因在于常規(guī)的方法由于沒有考慮計算中各數(shù)據(jù)對不確定度的貢獻(xiàn)是與計算方法中該變量的偏導(dǎo)數(shù)有關(guān)的，因而會造成一定的偏差，本文提出的方法考慮了在不確定度傳播過程中靈敏度系數(shù)的影響，根據(jù)不確定度更準(zhǔn)確地確定了有效位，文中舉例說明兩種確定法則的差異。使用本文提出的方法進(jìn)行有效位的確定仍然會造成不確定度的失真，因此在最終計算結(jié)果的表示形式上以有效位加不確定度共同表示較為合理。