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    指出一處錯(cuò)誤,提出兩點(diǎn)建議

    2020-11-16 06:08:01曹良春
    理論與創(chuàng)新 2020年17期
    關(guān)鍵詞:教材內(nèi)容教師

    曹良春

    引言

    自“國(guó)家基礎(chǔ)教育課程改革”進(jìn)行以來,作為一線教師,我首先感受到的突出變化有三點(diǎn)。(1)實(shí)驗(yàn)教材、試用教材或者是“定版”教材的版本,如雨后春筍般一下子出現(xiàn)了很多,形成了百花齊放的繁榮景象。(2)相對(duì)于我以前十幾年用的教材,幾乎所有版本都在不同程度上改變了章節(jié)內(nèi)容的結(jié)構(gòu),以及內(nèi)容的呈現(xiàn)方式。(3)特別突出的是,與學(xué)生生活實(shí)際聯(lián)系緊密的內(nèi)容,以及以學(xué)生為主體、自主探究發(fā)現(xiàn)的內(nèi)容有較大幅度地增加。

    新課改后,我所在的區(qū)域最先接觸到的初中數(shù)學(xué)“課改教材”是華東師大版的“實(shí)驗(yàn)教材”,其中的《用正多邊形拼地板》的內(nèi)容讓人耳目一新,也引起了學(xué)生的濃厚興趣。再后來,本區(qū)域又換了人民教育出版社的《義務(wù)教育教科書》,因?yàn)榻桃粋€(gè)輪回需要三年時(shí)間的原因,我是2018年才接觸到該版本(《教師教學(xué)用書.數(shù)學(xué).八年級(jí)上冊(cè)》,2013年6月第一版,2018年5月第6次印刷),同樣的內(nèi)容,只是以“教學(xué)活動(dòng)”的形式呈現(xiàn),也即是老師們常說的“平面鑲嵌”,因?yàn)樵?jīng)對(duì)這個(gè)內(nèi)容作過一定的研究,所以想看看較之于“華東師大版”又是怎樣解決“探究的適度性”問題的。

    在對(duì)《教師教學(xué)用書》進(jìn)行了認(rèn)真的閱讀和研究后,發(fā)現(xiàn)了一處錯(cuò)誤;然后,還想在結(jié)構(gòu)的編排和解析的方式上提出兩點(diǎn)建議。

    1.指出一個(gè)錯(cuò)誤

    《教師教學(xué)用書》第55頁(yè),正文倒數(shù)第六和第七行:“x=108(正五邊形),y=144(正十邊形)時(shí),p=2,q=1,即2個(gè)正五邊形和1個(gè)正十邊形可以鑲嵌平面。”

    其實(shí),在教科書(學(xué)生用書)第26頁(yè)已經(jīng)說得很明白,“平面鑲嵌”的三個(gè)條件是:①不留空隙;②不重疊;③把平面或平面的一部分完全覆蓋(其實(shí)質(zhì)就是能夠繼續(xù)鑲嵌下去)。

    《教師教學(xué)用書》的編者忽略了第3個(gè)條件,雖然在同一個(gè)頂點(diǎn)處幾個(gè)內(nèi)角的和剛好等于360°,確實(shí)不重疊也無縫隙(如下圖圖一),但卻不能繼續(xù)鋪下去(如下圖圖二、圖三、圖四中虛線橢圓所示)。

    所以,《教師教學(xué)用書》上的這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的。

    2.提出兩點(diǎn)建議

    2.1建議使結(jié)構(gòu)完整,使分類的情況完備

    《教師教學(xué)用書》第55頁(yè):

    建議改為以下結(jié)構(gòu):

    (2)用正多邊形鑲嵌平面:

    2.2建議在解析的思維方式上能用學(xué)生更容易理解和接受的方式

    我們搞數(shù)學(xué)教育教學(xué)的,遇到這類問題,通常會(huì)根據(jù)經(jīng)驗(yàn),首先想到常規(guī)的解決模式,那就是設(shè)未知數(shù)、列方程,可列出的是不定方程,特別是后面的情況,會(huì)出現(xiàn)八元二次不定方程,學(xué)生一下子就頭大了,不和您玩兒了,老師,您就慢慢解吧!我只需要您的結(jié)論……這在我當(dāng)初用上面提到的我的拙作中的方法講解的時(shí)候遇到過的尷尬……然后,有閑的時(shí)候,想要找到一種更簡(jiǎn)潔的方法的想法就一直在我的腦子里面翻騰,還好,這種簡(jiǎn)單的方法被找到了。

    首先,需要先確認(rèn)兩個(gè)結(jié)論:

    結(jié)論1:正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都小于180°;

    結(jié)論2:正多邊形中每個(gè)內(nèi)角最小的是60°,此時(shí)它是正三角形。

    好了,逆向思維開始了。

    在同一頂點(diǎn)處幾個(gè)內(nèi)角的和要等于360°,又因?yàn)槊總€(gè)內(nèi)角都小于180°,所以,不可能用兩個(gè)正多邊形來拼,至少要3個(gè)正多邊形,360°÷3=120°,每個(gè)內(nèi)角度數(shù)為120°的是正六邊形。

    又因?yàn)椋噙呅蔚拿總€(gè)內(nèi)角的度數(shù)越小,在同一頂點(diǎn)處需要的正多邊形的個(gè)數(shù)越多,而正三角形的每個(gè)內(nèi)角最小,是60°,360°÷60°=6(個(gè)),即:在同一頂點(diǎn)處進(jìn)行平面鑲嵌的正多邊形最多只能有6個(gè)。

    因此,用同一種正多邊形進(jìn)行平面鑲嵌,設(shè)在同一頂點(diǎn)處的正多邊形的個(gè)數(shù)為m,則3≤m≤6,既然,m=3和6已經(jīng)討論了,就還剩兩種可能,m=4和5,此時(shí),用360°÷4=90°,是正四邊形;360°÷5=72°,沒有內(nèi)角等于72°的正多邊形……

    歸納:用同一種正多邊形進(jìn)行能平面鑲嵌的只有:正3,正4和正6。

    對(duì)于c:“用三種以上的正多邊形鑲嵌平面”,同樣用這樣的思維方式。

    首先還是確認(rèn)兩個(gè)結(jié)論:

    (1)根據(jù)實(shí)際意義,三種以上,即至少用四種正多邊形;

    (2)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)隨邊數(shù)的增多而增大。

    不妨先用內(nèi)角度數(shù)最小的四種,即正3+正4+正5+正6,則在同一頂點(diǎn)處的四個(gè)內(nèi)角的和為:60°+90°+108°+120°=378°>360°,既然內(nèi)角最小的四種正多邊形的四個(gè)角的和都大于360°,則無論選取哪四種不同的正多邊形,其在同一頂點(diǎn)處的幾個(gè)內(nèi)角的和都必然大于360°。

    歸納:用三種以上的正多邊形不能鑲嵌平面。

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