培養(yǎng)反思能力，提高數(shù)學學習效率

張家貴 張志勇

摘 要：數(shù)學學習困難生的形成，不積極、不善于進行反思是其重要原因之一，在數(shù)學教學中應通過適當?shù)姆椒ㄅc途徑，強化反思意識與反思訓練，使學生學會反思的主要方法，并養(yǎng)成良好的反思習慣。

關鍵詞：數(shù)學教學;反思;思維;學習困難生

有數(shù)學家說過，“反思是數(shù)學思維活動的核心和動力”。對此，筆者在數(shù)學教學中研究學習困難生的成因時有深刻的感受。學生學習數(shù)學時，如果不積極反思，就錯失了解析問題的一個重要環(huán)節(jié)和有效訓練數(shù)學思維的機會，對問題的理解就缺乏深度與廣度，就不能優(yōu)化思維活動過程而難以抓住問題本質(zhì);如果不善于反思，就不能很好地溝通知識間的相互關聯(lián)，就難以發(fā)現(xiàn)有效問題、產(chǎn)生創(chuàng)新見解以實現(xiàn)知識的內(nèi)化及遷移。因此，引領學生積極有效地反思，對提高學習數(shù)學的效率是十分重要的。

一、強化反思意識

《普通高中數(shù)學課程標準》指出：“在學習數(shù)學和運用數(shù)學解決問題時，不斷地經(jīng)歷直觀感知……反思與建構等思維過程，這些過程是數(shù)學思維能力的具體體現(xiàn)，有助于學生對客觀事物中蘊涵的數(shù)學模式進行思考和做出判斷?！闭n標還要求教學評價要關注學生“能否不斷反思自己的數(shù)學學習過程，并改進學習方法?！?/p>

反思對數(shù)學認知過程起指導、支配和反饋作用，它能充分發(fā)揮主體作用，使學生有效地控制自己的思維和學習過程，進而學會學習并培養(yǎng)數(shù)學綜合素養(yǎng)。但是，大部分數(shù)學學習困難生，反思意識與反思能力不強，遇到看似陌生的復雜數(shù)學問題時，很難對自己先前的思維過程進行總結或診斷。因此，要讓學生明了“通過反思對自身數(shù)學學習過程中的認知進行評價或診斷，能有效地提高學習效果”，從而使他們增強反思意識并積極開展反思活動。

二、教學生學會反思的主要方法

1.診斷錯誤，激發(fā)反思

引導學生發(fā)現(xiàn)各個環(huán)節(jié)中存在的障礙與偏差，從中獲得反思的對象信息，然后回顧找到思維活動中出現(xiàn)的“問題”，進行診斷性反思。

錯因診斷：向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，若兩個實數(shù)相等，則它們的絕對值也相等。由①至②的推導成立;但學生運用實數(shù)絕對值的性質(zhì)來移項、分解因式，做出③這一推導，把實數(shù)的性質(zhì)用在 ?向量的運算中能成立嗎？

要幫助學生嚴謹?shù)鼗仡欁约旱乃季S活動，看思路是否清晰、嚴密。如果出現(xiàn)了偏差，檢討出現(xiàn)偏差的原因，找到避免出現(xiàn)偏差的方法，通過舉證來印證并溝通新舊知識間的聯(lián)結，拓寬思維的視野，再通過變式訓練加以鞏固。通過對答題的疏失進行診斷性反思，使學生更好地把握數(shù)學概念的內(nèi)涵與外延而理清思路，能增強對正確分析問題的思維活動的體驗，對學生思維能力的訓練才能達到應有的深度和廣度，才能更好地培養(yǎng)學生數(shù)學思維的準確性、敏捷性與概括性。

2.從不同角度切入，從殊途同歸的思維程序中選優(yōu)

所謂反思，就是對問題及解題的思維活動，從新的視角，進行多層次、多方位地考察和分析。要重視一題多解、多題同解的訓練和變式訓練，通過創(chuàng)設適合學生認知心理特點的、層次分明的、多變的問題情境，激發(fā)學生的求知欲，由淺入深地啟發(fā)反思、引導探究，使學生養(yǎng)成從不同角度分析問題并優(yōu)化解決問題的習慣。

思路1是容易想到的方法，先對思路1進行反思：“雖然能解決問題，但運算繁瑣費時。有運算簡易的方法嗎？”試著換一個角度切入，尋找根式是否與什么數(shù)學公式相似，發(fā)現(xiàn)兩個根式的幾何意義為動點與定點間的距離，進一步分析把需要化簡的方程式與橢圓聯(lián)系起來，就找到了快捷解題的巧妙方法與途徑，形成思路2。再對思路2進行反思，先回顧思維活動過程理清思路總結方法，再設想改動原式中的某個常數(shù)，或把x、y互相替換，會有何變化？又怎樣化簡？

3.反思問題本質(zhì)，提高思維抽象程度

學生解析例1出錯，是因為忽視了向量的數(shù)量積與物理中求合力運算法則相同的本質(zhì);初看例2是根式方程，經(jīng)過仔細觀察并與兩點間距離公式比對后，再進行數(shù)據(jù)處理、分析和空間想象，又發(fā)現(xiàn)這一根式方程的特殊本質(zhì)——橢圓方程的一種形式。自然就生成出思路2，把化簡的目標指向構建橢圓的標準方程。

數(shù)學既要講邏輯推理又要講道理，在解決一個或幾個問題后，啟發(fā)學生聯(lián)想，尋找它們之間的關聯(lián)，分析問題的實質(zhì)和蘊含的規(guī)律，將問題深化，可以使學生思維的抽象程度提高，較容易發(fā)現(xiàn)和把握問題的本質(zhì)。

三、強化反思訓練，使學生形成良好的反思習慣

要從支持反思的對象的“基礎”及“趨于達到的進一步結論”上著手，通過不同途徑啟發(fā)和訓練學生多思考，積極地對解析數(shù)學問題的認知活動和結果進行自我認識、自我評價與自我調(diào)控，使學生形成良好的反思習慣并培養(yǎng)數(shù)學反思能力。

1.反思非智力因素對學習的影響

反思是認知過程中實施自我調(diào)控的重要方式。要從情感態(tài)度價值觀角度，引導學生反思學習的目的、態(tài)度、習慣與意志等非智力因素對學習的影響，使學生認識到自身存在的相關問題，并幫助他們加以改進，從而提高學習的主動性。

2.在學習“新知”時進行反思

通過預習后的反思，發(fā)現(xiàn)自主學習沒有理解或解決的問題，以便帶著問題聽課，集中注意力關注個性化的關鍵問題。

一邊聽老師講解知識、思路與方法，一邊反思萌生疑問或見解。如聽老師講解直線與平面垂直的判定時，反思“為什么一條直線與平面內(nèi)兩條交叉直線垂直，這條直線就與這個平面垂直？”通過設想一條直線與平面內(nèi)的一條直線或兩條平行直線垂直的多種圖像印證老師的講解，這樣的聽課反思使學習刺激的強度提高了，數(shù)學定理不再是背誦的條文，而是轉化為抹不去的形象。

3.對解題過程進行反思

日常性的反思訓練，主要是對解析典型數(shù)學題的具體解題過程進行反思。通過反思，學會運用數(shù)學知識、原理及思維方法發(fā)現(xiàn)解題策略與技巧，同時獲得深刻的思維體驗。有了深刻的體驗，在解別的題時，會受先前獲得的體驗的啟發(fā)，思維就容易被激活，就能快捷找準解決問題的策略與途徑。

（1）對習題立意進行反思

命題者要求學生掌握什么數(shù)學知識、方法、技巧？所要解析的問題，對解決哪些相關聯(lián)的問題有參照價值？這種反思，既有利于學生將習題情境與解決問題的概念、原理、技法鏈接起來訓練破題能力，又有助于學生把握具體的學習目標與學習重點。

（2）對解題過程中的思維活動進行反思

解題過程中，是否很好地理解了題意而快速、準確地捕捉到破題的思維目標指向？分析題干與設問之間的內(nèi)在聯(lián)系的過程中，因為什么疏失而走了什么樣的彎路？這些疏失應該怎樣避免？

（3）對解題方法與技能進行總結性反思

解決當前問題還有哪些可行的方法？難題按普通途徑求解，環(huán)節(jié)多而費時費力，有沒有“巧”？發(fā)現(xiàn)“巧”有什么數(shù)學原理或規(guī)律可循？

如果改變題設的部分條件或求解目標，解析思路如何轉換？求解過程或結論將會出現(xiàn)怎樣的變化？使用的技法可以用來解決哪些問題？可否將當前命題推廣開來？如果認為可以推廣，進一步考慮并檢驗結果、結論的準確性與充分性等。

4.二次反思鞏固學習成果

教學生做好學習筆記，把好題目與好方法，把容易解錯的典題與失敗的教訓，有所側重地記錄下來，過一段時間后看看，回顧先前的學習過程與反思活動，進行二次反思、探討。這不僅是復習鞏固，還可能有新的發(fā)現(xiàn)，獲得更深刻的認知，是學生養(yǎng)成以反思為核心的良好學習習慣并提高學習效率的有效途徑。

反思是發(fā)現(xiàn)問題與解決問題的手段，反思的程度以恰到好處地解決問題為標準，應選擇的具有一定價值的問題讓學生反思;數(shù)學反思能力的培養(yǎng)，要與數(shù)學思維、空間想象、原理應用、知識或情境遷移等解決數(shù)學問題的各種能力的培養(yǎng)結合起來;還要樹立整體教學觀，不僅從小處入手，還要從大處著眼。只有這樣，才能使學生（尤其是學習困難生）形成反思的習慣與能力，不斷提高數(shù)學素養(yǎng)。

參考文獻：

徐永忠.運用元認知理論，培養(yǎng)學生數(shù)學反思能力[J].中學數(shù)學研究，2004（10）.

注：本文系湖南省“十二五”一般資助規(guī)劃課題“普通高中學習困難生學校教育援助機制研究（XJL012BZXX002）”成果。

作者簡介：張家貴，中小學高級教師，郴州市教育突出貢獻獎獲得者。