利用pdepe函數(shù)和pdetool工具箱求解熱傳導(dǎo)問(wèn)題

楚智媛

摘? 要：熱傳導(dǎo)問(wèn)題是數(shù)學(xué)物理方向非常常見(jiàn)的問(wèn)題。實(shí)際生活中的熱傳導(dǎo)問(wèn)題通過(guò)數(shù)學(xué)建模都可以轉(zhuǎn)化為偏微分方程（組）問(wèn)題。由于偏微分方程中含有多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)以及復(fù)雜的邊界條件，所以求解起來(lái)非常困難。該文將詳細(xì)介紹MATLAB中pdepe函數(shù)的用法以及pdetool工具箱的GUI操作界面的使用，并用其求解一維和二維熱傳導(dǎo)問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：熱傳導(dǎo);MATLAB;pdepe函數(shù);pdetool工具箱

中圖分類(lèi)號(hào)：TK124? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

1 熱傳導(dǎo)問(wèn)題

熱傳導(dǎo)問(wèn)題簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是物體之間或者是系統(tǒng)內(nèi)存在著溫度差，這其中存在著熱量的傳遞。我們?cè)诮醾鲗?dǎo)方程時(shí)，一般使用傅里葉定律和能量守恒定律這2個(gè)定律。通過(guò)這2個(gè)定律我們可以推導(dǎo)出熱傳導(dǎo)方程（Heat Equation）。我們可以推導(dǎo)出3種維數(shù)中的熱傳導(dǎo)方程（u表示所求函數(shù)，t表示時(shí)間）。

一維熱傳導(dǎo)模型公式為：

二維熱傳導(dǎo)模型公式為：

三維熱傳導(dǎo)模型公式為：

式中：x，y，z 表示空間直角坐標(biāo)系下3個(gè)方向上的坐標(biāo)。

偏微分方程學(xué)科和廣義函數(shù)論發(fā)展至今，仍有很多偏微分方程（組）無(wú)法求解，雖然有些偏微分方程求解起來(lái)比較困難，但是該文提到的熱傳導(dǎo)問(wèn)題，我們可以使用MATLAB中的內(nèi)部函數(shù)和現(xiàn)成的工具箱來(lái)求解。

2 MATLAB中的pdepe函數(shù)

MATLAB是由美國(guó)MathWorks提出的一種高性能的數(shù)學(xué)軟件，MATLAB中有很多內(nèi)部函數(shù)，都是已經(jīng)編輯好的程序，我們可以直接拿來(lái)使用，而且我們還可以根據(jù)自己的需要編寫(xiě)一些我們自己的函數(shù)，以便化簡(jiǎn)編程。pdepe函數(shù)就是其中一個(gè)非常好用的內(nèi)部函數(shù)，使用它我們可以求解一維偏微分方程（組）問(wèn)題[1]。

MATLAB中的pdepe函數(shù)很好理解，使用起來(lái)也很方便，但是在使用它的時(shí)候要注意要把微分方程（組）、初始條件、邊界條件轉(zhuǎn)化為pdepe函數(shù)所規(guī)定的一般格式。它的一般格式如公式（1）所示。

式中：m代表參數(shù)，這個(gè)參數(shù)的取值只能是0，1，2。pdex表示問(wèn)題描述函數(shù)即偏微分方程，只是這個(gè)函數(shù)要寫(xiě)成MATLAB中規(guī)定的格式。我們通過(guò)改寫(xiě)偏微分方程，將其改為公式（2）的形式。

式中：u表示所求函數(shù)，x表示自變量，t表示時(shí)間，我們需要求出4個(gè)待定系數(shù)m，c，f，s。

pdeic表示偏微分方程的初始條件，pdebc表示偏微分方程的邊界條件，但是在MATLAB中我們也要按照要求，把邊界函數(shù)寫(xiě)成pdepe函數(shù)要求的形式，如公式（3）所示。

式中： 和表示pdepe函數(shù)邊界條件規(guī)定形式下的待定系數(shù)函數(shù)。在邊界條件中我們需要找到pl，pr，ql，qr這4個(gè)函數(shù)，其中pl和ql為pdepe函數(shù)中要求形式下的左邊界的函數(shù)，pr和qr為pdepe函數(shù)中要求形式下的右邊界的函數(shù)，這里面4個(gè)函數(shù)的確定是比較難理解的，我們需要弄清這些函數(shù)都與那些變量有關(guān)系，然后根據(jù)題目中給定的邊界條件套入公式，從而確定pl，pr，ql，qr。公式（3）中x和t代表函數(shù)變量。

我們?cè)诶胮depe函數(shù)求解時(shí)要注意，pdex，pdeic，pdebc要分別寫(xiě)在3個(gè)函數(shù)式文件當(dāng)中，在分別構(gòu)建好這3個(gè)函數(shù)式文件之后，我們?cè)诨氐組文件窗口編寫(xiě)主程序，在主程序中我們可以調(diào)用我們之前寫(xiě)好的這3個(gè)pdex，pdeic，pdebc函數(shù)[2]。

3 利用pdepe函數(shù)求解一維熱傳導(dǎo)問(wèn)題

要想讓熱傳導(dǎo)方程存在一個(gè)確定的解，我們就要給這個(gè)方程配上相應(yīng)的初值條件和邊界條件。該文以一維非齊次線(xiàn)性邊界條件的熱傳導(dǎo)方程為例，給出如下問(wèn)題：有一根細(xì)桿，在這個(gè)桿上存在著熱傳導(dǎo)問(wèn)題，桿的長(zhǎng)度為1 m，導(dǎo)熱系數(shù)為k=0.85 W/（m·k），它的初始分布為u（x，0）=sin（πx），細(xì)桿的兩端是絕熱的，于是它的邊界條件為Neumann邊界條件，綜上所述，該熱傳導(dǎo)問(wèn)題可以通過(guò)公式（4）求解。

式中： 為未知函數(shù)關(guān)于x方向上的偏導(dǎo)數(shù)。

根據(jù)列出的方程，我們?cè)贛ATLAB中要先建立3個(gè)函數(shù)式文件，分別把方程、初始條件、邊界條件按照pdepe函數(shù)所規(guī)定的樣子進(jìn)行改寫(xiě)，然后寫(xiě)出pdex，pdeic，pdebc函數(shù)，然后我們?cè)俳⒁粋€(gè)命令式文件進(jìn)行總體編程，然后畫(huà)出兩幅圖像。根據(jù)MATLAB程序，我們可以得到解的平面圖，如圖1所示。

由圖1我們可以看出，在這根細(xì)桿的兩端沒(méi)有熱交換，它是絕熱的，這個(gè)解最后慢慢趨于穩(wěn)定，最后桿的溫度在0.65 ℃左右。

4 MATLAB中pdetool工具箱的使用方法及局限性

MATLAB中的pdetool工具箱能夠?yàn)槠⒎值那蠼馓峁┖芏喾奖?，它通過(guò)GUI界面直接選擇偏微分方程的條件，然后直接可作出相應(yīng)解的圖像，下面我們?cè)敿?xì)介紹一下pdetool工具箱的使用方法[3]，其總共分為6步。1）在命令窗口中輸入pdetool，進(jìn)入到GUI界面。2）在pdetool工具箱的工具欄中，有橢圓、矩形等一些圖形，可以點(diǎn)擊圖形進(jìn)行區(qū)域的繪制。所畫(huà)的區(qū)域還可以選擇加密，使最后得到的結(jié)果更細(xì)化一些。3）在菜單欄中有boundary菜單，選擇specify boundary conditions，就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)設(shè)置邊界條件的對(duì)話(huà)框，這個(gè)里面有2種條件，一個(gè)是狄利克雷條件，一個(gè)是Neumann條件，選擇相應(yīng)的條件，將已知的邊界條件代入方程，求出h和r（其中h和r 表示邊界條件上的參數(shù)）。4）接著點(diǎn)擊PDE菜單，選擇PDE Specification，就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)設(shè)置偏微分方程類(lèi)型的對(duì)話(huà)框，里面可供選擇的類(lèi)型有4種，分別是拋物型、橢圓型、雙曲型和本征型，根據(jù)已知問(wèn)題的類(lèi)型，按照給出的規(guī)定的方程格式計(jì)算出參數(shù)c，a，f，d。5）選擇Solve菜單，然后選擇Solve PDE，我們就可以在GUI界面上看到該偏微分方程的解的圖形。6）選擇plot菜單，選擇parameters，然后會(huì)彈出來(lái)一個(gè)對(duì)話(huà)框，然后選擇我們想要的圖形，然后按plot就完成了全部的操作過(guò)程。

pdetool雖然可以幫我們求解偏微分方程，但是它也有一定的局限性，比如：它只能求解二維的熱傳導(dǎo)問(wèn)題，如果我們想求一維的熱傳導(dǎo)問(wèn)題，有限差分法和pdepe函數(shù)可能會(huì)是首選，如果是三維的，有限差分法可能更好理解一些。所以pdetool工具箱雖然操作簡(jiǎn)單、好上手，但是還是存在很明顯的局限性。

5 結(jié)語(yǔ)

熱傳導(dǎo)問(wèn)題分為一維、二維和三維。一維的熱傳導(dǎo)問(wèn)題我們可以使用的方法比較多，其中pdepe函數(shù)是計(jì)算比較快而且程序相對(duì)比較容易上手的一種方法，針對(duì)pdepe函數(shù)我們需要做的就是根據(jù)要求寫(xiě)出方程、初始條件和邊界條件的格式。針對(duì)二維的熱傳導(dǎo)問(wèn)題，我們也可以使用有線(xiàn)差分法來(lái)求解，但是要復(fù)雜的多，使用pdetool工具箱，一方面是比較簡(jiǎn)單、好操作，另一方面也可以直接進(jìn)行解的可視化。

參考文獻(xiàn)

[1]王志強(qiáng)，朱家明.基于Pdepe算法的高溫作業(yè)防護(hù)服裝厚度設(shè)計(jì)[J].淮陰師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2019，18（3）：200-205.

[2]賈海峰，劉蕤.線(xiàn)性邊界條件熱傳導(dǎo)方程求解[J].科教文匯（下旬刊），2014（3）：47-50.

[3]李萍，張磊，王垚廷.基于Matlab的偏微分方程數(shù)值計(jì)算[J].齊魯工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2017，31（4）：39-43.