非齊次非對稱Keyfitz-Kranzer 氣體方程組的Riemann 問題

李舒琪

（新疆大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，新疆烏魯木齊830046）

非齊次Chaplygin 氣體非對稱Keyfitz -Kranzer方程組為［1］

其中ρ、u、p 分別表示氣體密度、速度和壓強.狀態(tài)方程是方程組（1）的 Riemann 初值為

其中 ρ±和 u±是給定的常數(shù).

非線性雙曲型守恒律方程組在現(xiàn)代數(shù)學中是一個非常重要的研究方向，并且在空氣動力學、等離子動力學、氣象學、經(jīng)典相對論流體力學等學科都有著極其廣泛的應用［2］.尤其是起源于非線性雙曲型守恒律方程組的激波解、疏散波解和接觸間斷解的研究都有著理論意義和實際參考價值，同時也可以用來研究 Aw - Rascle 交通流［3］.非對稱 Keyfitz -Kranzer方程組屬于非線性雙曲型守恒律方程組的類型，因此受到許多學者的關注［4-7］.

當 β ＝0 時，方程組（1）為齊次非對稱 Keyfitz-Kranzer方程組，具有線性退化的特性，這個問題引起了許多學者的研究興趣.2013 年，Lu［4］研究了非對稱Keyfitz - Kranzer 方程組全局熵解的存在性，Cheng［5］研究了非對稱 Keyfitz -Kranzer 方程組線性衰減守恒律的Riemann 問題和基本波的相互作用. 2014 年，Guo 等［6］研究了多方氣體和廣義Chaplygin氣體非對稱Keyfitz-Kranzer方程組壓力消失極限問題. 2018 年，李舒琪［7］研究了非對稱Keyfitz-Kranzer方程組波的相互作用.

非齊次Chaplygin氣體非對稱Keyfitz -Kranzer方程組（1）可以簡單描述Chaplygin 氣體和黑物質(zhì)的相互作用［2］的Riemann問題，因此其Riemann問題的研究一直是一個熱門課題.但是由于其自身非齊次性的解析難度，使得目前對于非齊次Chaplygin氣體非對稱Keyfitz - Kranzer 方程組的研究很少.2012 年，Gu 等［8］研究了非齊次非對稱 Keyfitz -Kranzer方程組的全局弱解的有界性. 2017 年，Li等［9］利用分離的 δ 函數(shù)法研究了非齊次非對稱Keyfitz-Kranzer方程組中δ 激波的交互性，同年研究了非齊次非對稱Keyfitz -Kranzer 方程組在不同δ 初值下的 Riemann 問題［10］.

本文在前人的基礎上繼續(xù)研究非齊次非對稱Keyfitz-Kranzer方程組的Riemann 問題.首先引入一個新的變量把非齊次非對稱Keyfitz -Kranzer 方程組轉(zhuǎn)化為守恒形式，并得到Riemann 解的整體結(jié)構，與齊次非對稱Keyfitz - Kranzer 方程組的Riemann解不同的是非齊次非對稱Keyfitz-Kranzer方程組的Riemann解是非自相似的.由特征分析法和相平面分析法，可以得到δ激波會在某些特定情況下出現(xiàn)在Riemann 解中，再通過廣義的Rankine -Hugoniot條件得到了 δ 激波的位置、傳播速度和強度.

1 修正守恒方程的Riemann問題

這部分主要研究 Keyfitz -Kranzer 方程組（1）守恒形式的Riemann問題，引入新的變量v（x，t）＝u（x，t）- βt，則方程組（1）可以寫成如下守恒形式：

其Riemann初值為

方程組（3）可寫為

由上式，方程組（3）有2 個特征根

對應的右特征向量分別為

通過計算可知▽λi·ri＝0（i ＝1，2），這里▽表示（ρ，v）的梯度，因此特征域 λ1和 λ2是線性退化的，會產(chǎn)生接觸間斷，用J表示.

x ＝ x（t）處的有界間斷用 σ（t）＝ x′（t）表示，則方程組（3）的Rankine-Hugoniot條件：

［ρ］表示ρ的跳躍，很明顯間斷的傳播速度依賴于參數(shù)t，這與齊次方程組有所不同.

若 σ（t）≠0，由（8）式得到

因此2 個非空狀態(tài)（ρ-，v-）和（ρ+，v+）可通過 1-接觸間斷J1連接當且僅當

也可通過2 -接觸間斷J2連接當且僅當

在（ρ，v）平面，若給定左狀態(tài)（ρ-，u-），從（11）式可知1 -接觸間斷 J1（ρ-，u-）滿足 v ＝u-，從（12）式可知 2 - 接觸間斷 J2（ρ-，u-）滿足和 ρ ＝0 為漸近線.此外，過點可以畫曲線 S 滿足（12）式，即事實上，在（ρ，v）平面，曲線 S 是由曲線J2（ρ-，u-）向左平移個單位得到，簡而言之，（ρ，v）平面被分成 2 個區(qū)域Ⅰ（u-，ρ-），Ⅱ（u-，ρ-）（見圖1）.

圖 1 守恒律方程組（3）的（v，ρ）相平面Fig. 1 Phase plane （v，ρ）of conservation system （3）

若（ρ+，u+）∈Ⅰ，即滿足則方程組（3）的 Riemann 解由 J1、J2及兩者之間的非真空常狀態(tài)（ρ*，v*）組成，中間狀態(tài)（ρ*，v*）滿足

J1、J2的傳播速度分別為

當（ρ+，v+）∈Ⅱ，即則 Riemann 問題（3）和（4）的特征曲線在區(qū)域 Ω 重疊，使得在區(qū)域Ω內(nèi)出現(xiàn)了奇異點.簡單起見，只計算從原點（0，0）出發(fā)的特征曲線，它可以由下式?jīng)Q定：

這種情形的解可以通過圖2 來說明.

線性退化特征值的疊加造成Riemann問題（3）和（4）解的奇異性.因此，在某些特定情況下，Cauchy問題不存在弱的L∞解時，非經(jīng)典解就會出現(xiàn).為了求解非經(jīng)典解的 Riemann 問題（3）和（4），引入了δ激波測度定義.

定義 1.1定義一個在光滑曲線 S ＝ ｛（x（s），t（s））：a ＜ s ＜ b｝上的二維的加權 δ 激波測度 p（s）δS為

為了方便，選取參數(shù)s ＝t且用

來表示δ激波的權.

設 Γ｛γi｜i∈I｝是一個上半平面｛（x，t）｜x∈R，t∈（0，+∞）｝包含光滑曲線 γi的集合，其中，i∈I，I是指標集.I0＝ ｛γj｜j∈I｝，γj是初始點在 x 軸上的曲線表示 γj的初始點集.那么定義方程組（3）在 δ 激波測度初值的 Cauchy 問題的解.

定義1.2令（ρ，v）是一個分布函數(shù)對，ρ可表示為

δ激波的初值為

成立，則分布函數(shù)對（ρ，v）為方程組（3）在初值（21）式的 δ激波解，其中是函數(shù) ψ 在圖 γi上的方向?qū)?shù)表示沿著弧γi進行線積分.

當（ρ+，v+）∈Ⅱ，即考慮 Riemann問題（3）和（4）的一個分片光滑解，其形式為

其中，x ＝ x（t）表示 δ 激波曲線，w（t）和 σ（t）＝x′（t）表示 δ激波的強度和傳播速度，vδ是 v 在 δ 激波曲線上的分布在這條δ激波曲線上是0.

Riemann 問題（3）和（4）的 δ 激波解（24）需要滿足如下廣義的Rankine-Hugoniot條件

假定 δ激波曲線 Γ：｛（x，t）｜x ＝ x（t）｝是（x，t）平面上一條過間斷點（ρ，v）的光滑曲線.令 P 是 Γ 上的任意一點，Ω 是以點P 為中心的一個小球.假設Ω和 Γ 的交點是 P1＝ （x（t1），t1）和 P2＝ （x（t2），t2），t1＜ t2，并且 Ω-和 Ω+分別表示 Ω 被 Γ 截斷的左半部分和右半部分.對于任意的檢驗函數(shù)來說有

利用散度定理得

其中 ?Ω±是 Ω±的邊界.因此對于任意 ψ（x，t）∈當 I ＝0 時，（25）式的第 2 個等式成立.同1理可得

為了確保解的唯一性，還應成立如下δ 激波的廣義熵條件

廣義的 Rankine-Hugoniot條件（25）反映了 δ 激波的位置、強度和傳播速度的關系. δ 激波的熵條件（26）反映了間斷兩邊的特征線是進入的.

由（25）式得

當 ρ-＝ ρ+，可得

2 方程組（1）的Riemann問題

本節(jié)研究方程組（1）和（2）的 Riemann 問題.當（ρ+，u+）∈Ⅰ，即那么（1）和（2）式的Riemann解如下（見圖3）.

其中（ρ*，v*）由（14）式給出，接觸間斷 J1和 J2由下式?jīng)Q定

同理，當（ρ+，u+）∈Ⅱ時，即定義Riemann問題（1）和（2）分布意義下的弱解.

定義2.1方程組（1）的δ激波型初值為

都成立，則分布函數(shù)對（ρ，u）為方程組（1）在初值（38）的 δ激波解.

為了確保（1）和（2）式的 Riemann 問題解的唯一性，當時，得到δ激波的廣義熵條件

與前面的推導相同，由（42）和（45）式得到x（t）、σ（t）和 w（t）.一般來說，當 Riemann 初值（2）滿足且 ρ ≠ρ 時，（1）和（2）式的-+Riemann解可以用如下定理來說明.

定理2.1當 Riemann 初值滿足u-且 ρ-≠ρ+，那么 Riemann 問題（1）和（2）的 δ激波解為

這里 η 和 vδ分別由（31）和（32）式給出.

證明當時，Riemann 問題（1）和（2）的解是 δ激波.由（43）式得（42）式的第 2 個方程可以寫為

由于 uδ（t）-βt是常數(shù)，（42）式的第三個等式可以重寫為

化簡（49）式得

將（48）式代入（49）式得

然而，以上得到的δ激波解（46）和（47）在分布意義下需要滿足方程（1），也就是說，需要驗證對于任意檢驗函數(shù)（46）和（47）式應該滿足

（52）式是方程組（1）的一個弱解.

由（47）式得到δ激波的曲線形式

設 vδ＞0 且 β ＞0，對于任意的時間 t，x ＝ x（t）＞ 0，由（47）式得到

關于（52）式的第1 個方程的證明參見文獻［2］.現(xiàn)在，對（52）式的第2 個方程進行分析得到

對于上式有

將（57）和（58）式代入 I2得到

利用變量替換并變換積分順序，I2可以改寫成

下一步就是計算 B（t），重寫（61）式得到

將（32）式代入（62）式得

通過將（31）式的 η2代入（63）式得到

合并（60）和（64）式，可知（52）式的第 2 個方程在分布意義下成立.證明完畢.

注2.1特別的，如果Riemann初值滿足u++且 ρ ＝ ρ ，那么 Riemann 問題（1）和（2）-+的δ激波可以表示成（46）式，并且

證明過程與前面類似，在這里不再贅述.