構(gòu)建天體運(yùn)動(dòng)模型 突破能量問(wèn)題瓶頸

福建 郭 威

2019年高考物理《考試大綱》總綱中有一些重要變化，特別是題型示例部分例12，由原來(lái)的2013年新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ第20題換成了2018年全國(guó)卷Ⅰ的第20題，換后的題用引力波這一最新的科研成果設(shè)計(jì)問(wèn)題情境，主要考查考生的理解能力和推理能力，以引導(dǎo)考生關(guān)注宇宙、關(guān)注科學(xué)，提高學(xué)習(xí)科學(xué)的興趣，培養(yǎng)科學(xué)精神，由此可見(jiàn)萬(wàn)有引力與航天在今后高考命題中仍是高考熱點(diǎn)，而天體運(yùn)動(dòng)中能量問(wèn)題卻是該問(wèn)題的一大難點(diǎn)。本文從高中常見(jiàn)的圓軌道與橢圓軌道構(gòu)建天體運(yùn)動(dòng)能量模型入手，對(duì)航天器(飛船或衛(wèi)星等)的發(fā)射、動(dòng)能、引力勢(shì)能及總能量的分析與計(jì)算進(jìn)行模型構(gòu)建，有效地突破能量分析與計(jì)算的瓶頸。

一、穩(wěn)定圓軌道——穩(wěn)定圓軌道模型(如圖1中軌道1與軌道3)

圖1

從圓軌道1到圓軌道3需要分別在近地點(diǎn)A和遠(yuǎn)地點(diǎn)B點(diǎn)火加速，對(duì)航天器做正功，外力所做的功等于兩軌道的能量差，即W=E3-E1；反之從軌道3到軌道1，需要分別在遠(yuǎn)地點(diǎn)B和近地點(diǎn)A點(diǎn)火減速，對(duì)航天器做負(fù)功，所以外力做的功等于兩軌道的能量差，即W=E1-E3。

【調(diào)研試題1】某衛(wèi)星在半徑為r的軌道1上做圓周運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能為E1，變軌到軌道2上后，動(dòng)能比在軌道1上減小了ΔE，在軌道2上也做圓周運(yùn)動(dòng)，則軌道2的半徑為

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二、橢圓軌道——橢圓軌道模型(如圖2中軌道2)

圖2

在橢圓軌道上運(yùn)行，從橢圓軌道2的A處運(yùn)動(dòng)到橢圓軌道2的B處過(guò)程中動(dòng)能減小，引力勢(shì)能增大，不考慮其他星體對(duì)它的作用，整個(gè)過(guò)程機(jī)械能守恒，有E2A=E2B或Ek2A+Ep2A=Ek2B+Ep2B；橢圓軌道2的A點(diǎn)和軌道2的B點(diǎn)之間是同一橢圓軌道，引力做的功或克服引力做的功等于兩點(diǎn)間動(dòng)能的變化量。

圖3

【解題思路】返回艙與人在火星表面附近有

設(shè)軌道艙的質(zhì)量為m0，速度大小為v，則

宇航員乘坐的返回艙獲得能量后沿橢圓軌道與軌道艙對(duì)接，機(jī)械能守恒

因?yàn)榉祷嘏摲祷剡^(guò)程克服引力做功

由②③④⑤得返回艙返回時(shí)至少需要能量

圖4

(1)“嫦娥三號(hào)”在環(huán)月圓軌道上運(yùn)行時(shí)的速率v；

(2)“嫦娥三號(hào)”在繞月橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)通過(guò)遠(yuǎn)月點(diǎn)時(shí)的速率v1。

(2)“嫦娥三號(hào)”在橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)只受月球引力作用，滿足機(jī)械能守恒，由題意知“嫦娥三號(hào)”在近月點(diǎn)的速度為v0。根據(jù)機(jī)械能守恒有

三、穩(wěn)定圓軌道——橢圓軌道模型(如圖5中軌道1與軌道2或軌道2與軌道3)

抓培訓(xùn)，干部隊(duì)伍素質(zhì)進(jìn)一步提升。林芝市局領(lǐng)導(dǎo)班子高度重視干部培訓(xùn)工作，積極組織干部赴成都、北京、拉薩、廣東、福建等地參加“四品一械”相關(guān)培訓(xùn)，自主舉辦食品安全、食品藥品抽樣、食品藥品安全協(xié)管員培訓(xùn)班等各類培訓(xùn)16期，參訓(xùn)人數(shù)共計(jì)2000余人次。

圖5

【調(diào)研試題5】2018年1月12日，我國(guó)成功發(fā)射“北斗三號(hào)”組網(wǎng)衛(wèi)星。如圖為衛(wèi)星發(fā)射示意圖，先將衛(wèi)星發(fā)射到半徑為r的圓軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)，到A點(diǎn)時(shí)使衛(wèi)星加速進(jìn)入橢圓軌道，到橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)B點(diǎn)時(shí)，再次改變衛(wèi)星的速度，使衛(wèi)星進(jìn)入半徑為2r的圓軌道。已知衛(wèi)星在橢圓軌道時(shí)距地球的距離與速度的乘積為定值，衛(wèi)星在橢圓軌道上A點(diǎn)時(shí)的速度為v，衛(wèi)星質(zhì)量為m，地球的質(zhì)量為M，引力常量為G，則發(fā)動(dòng)機(jī)在A點(diǎn)對(duì)衛(wèi)星做的功與在B點(diǎn)對(duì)衛(wèi)星做的功之差為

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圖6

圖7

四、星球表面——近地穩(wěn)定圓軌道模型(如圖8中星球表面與近地軌道1)

圖8

忽略星球自轉(zhuǎn)的情況下，近地圓軌道引力勢(shì)能近似等于星球表面的引力勢(shì)能，從星球表面對(duì)航天器做的功W1=Ek，獲得初動(dòng)能后到近地圓軌道1，Ek=Ek1。如果要離開(kāi)星球，能離開(kāi)星球引力范圍至少要運(yùn)動(dòng)到星球的零引力勢(shì)能處，可分兩個(gè)過(guò)程：一是從星球表面到星球表面圓軌道，外力對(duì)航天器做的功W2=Ek2，獲得初動(dòng)能Ek2(即第二宇宙速度時(shí)對(duì)應(yīng)的動(dòng)能)，二是星球表面圓軌道經(jīng)橢圓軌道到無(wú)窮遠(yuǎn)處機(jī)械能守恒，即Ek2+Ep=0+0(Ep為近地引力勢(shì)能)。

【解題思路】以無(wú)窮遠(yuǎn)處為零勢(shì)能點(diǎn)，引力做的功等于引力勢(shì)能的負(fù)值，即

即由①②式可知圓軌道的總能量

將飛船從地面送入距地面高度為h的圓軌道運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，可分為兩個(gè)過(guò)程：

一是將飛船從地面送入地球表面圓軌道，火箭要對(duì)飛船所做的功為W1

二是地球表面圓軌道到離地高度為h的圓軌道，火箭要對(duì)飛船所做的功即距地面高度為h的圓軌道與地球表面圓軌道的能量差，由③式得

所以火箭要對(duì)飛船所做的功W=Ek1+ΔE⑥

當(dāng)衛(wèi)星脫離地球吸引時(shí)，在無(wú)窮遠(yuǎn)處衛(wèi)星勢(shì)能為零，最低動(dòng)能為零

由衛(wèi)星發(fā)射后機(jī)械能守恒得