破解平拋運(yùn)動(dòng)的五種方法

甘肅 張金龍 田生杰

平拋運(yùn)動(dòng)是高中物理非常常見的一種勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，也是高中物理教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一。該內(nèi)容與生活實(shí)際聯(lián)系緊密，命題取材豐富廣泛，命題角度新穎多變，常以生產(chǎn)、生活、科技為背景命題，解題方法靈活。本文通過實(shí)例分析破解平拋運(yùn)動(dòng)的五種方法，旨在幫助學(xué)生提高分析問題、解決問題的能力。

破解方法1 以分解速度為突破口求解平拋運(yùn)動(dòng)問題

【典例1】(2016年上海卷第23題)如圖1所示，圓弧形凹槽固定在水平地面上，其中ABC是位于豎直平面內(nèi)以O(shè)為圓心的一段圓弧，OA與豎直方向的夾角為α。一小球以速度v0從桌面邊緣P水平拋出，恰好從A點(diǎn)沿圓弧的切線方向進(jìn)入凹槽。小球從P到A的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為________，直線PA與豎直方向的夾角β為________。

圖1

【點(diǎn)評(píng)】分析題意可知小球做平拋運(yùn)動(dòng)，一定要注意恰好沿切線方向進(jìn)入凹槽，這是本題的突破口，從而得知速度的方向，進(jìn)而對(duì)速度進(jìn)行分解并利用平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解。

【拓展1】如圖2所示，足夠長的傾角為θ=30°的固定斜面與足夠長的傾斜墻壁平行放置，間距為d，從斜面頂端O點(diǎn)以初速度v0平拋一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，小球最后落在斜面上的C點(diǎn)，從小球運(yùn)動(dòng)軌跡上離斜面最遠(yuǎn)處的A點(diǎn)作斜面的垂線，與斜面的交點(diǎn)為B，OB=x1，BC=x2，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，則

( )

圖2

A.一定有x1=x2

B.一定有x1

圖3

破解方法2 以分解位移為突破口求解平拋運(yùn)動(dòng)問題

【典例2】如圖4所示，跳臺(tái)滑雪運(yùn)動(dòng)員經(jīng)過一段加速滑行后從O點(diǎn)水平飛出，經(jīng)過3.0 s落到斜坡上的A點(diǎn)。已知O點(diǎn)是斜坡的起點(diǎn)，斜坡與水平面的夾角θ=37°，運(yùn)動(dòng)員的質(zhì)量m=50 kg。不計(jì)空氣阻力。(取sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10 m/s2)求：

圖4

(1)A點(diǎn)與O點(diǎn)的距離L；

(2)運(yùn)動(dòng)員離開O點(diǎn)時(shí)速度的大小。

【點(diǎn)評(píng)】本題是一道非常典型的“斜面+平拋模型”問題，解答這種題型時(shí)除了要運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)的位移和速度規(guī)律，還要充分運(yùn)用斜面的傾角，找出斜面傾角同位移與水平方向之間的關(guān)系，從而使得問題順利解決。

【拓展2】一帶有乒乓球發(fā)射機(jī)的乒乓球臺(tái)如圖5所示，水平臺(tái)面的長和寬分別為L1和L2，中間球網(wǎng)高度為h。發(fā)射機(jī)安裝于臺(tái)面左側(cè)邊緣的中點(diǎn)，能以不同速率向右側(cè)不同方向水平發(fā)射乒乓球，發(fā)射點(diǎn)距臺(tái)面高度為3h。不計(jì)空氣的作用，重力加速度大小為g。若乒乓球的發(fā)射速率v在某范圍內(nèi)，通過選擇合適的方向，就能使乒乓球落到球網(wǎng)右側(cè)臺(tái)面上，則v的取值范圍是

( )

圖5

破解方法3 利用假設(shè)法求解平拋運(yùn)動(dòng)問題

對(duì)于平拋運(yùn)動(dòng)的物體，空中飛行時(shí)間由高度決定，水平方向位移由高度和初速度共同決定。所以，高度相同時(shí)，水平位移與初速度大小成正比，但有時(shí)高度不同，很難比較水平位移，這時(shí)可以采用假設(shè)法。例如，通過移動(dòng)水平地面使平拋物體下落相同高度，從而進(jìn)行求解。

【典例3】(2015年上海卷第16題)如圖6所示，戰(zhàn)機(jī)在斜坡上方進(jìn)行投彈演練。戰(zhàn)機(jī)水平勻速飛行，每隔相等時(shí)間釋放一顆炸彈，第一顆落在a點(diǎn)，第二顆落在b點(diǎn)。斜坡上c、d兩點(diǎn)與a、b共線，且ab=bc=cd，不計(jì)空氣阻力。第三顆炸彈將落在

( )

A.bc之間 B.c點(diǎn) C.cd之間 D.d點(diǎn)

圖6

圖7

【解析】如圖7所示，假設(shè)第二顆炸彈經(jīng)過Ab，第三顆經(jīng)過PQ(Q點(diǎn)是軌跡與斜面的交點(diǎn))；則a，A，B，P，C在同一水平線上，由題意可知，設(shè)aA=AP=x0，ab=bc=L，斜面傾角為θ，三顆炸彈到達(dá)a所在水平面的豎直速度為vy，水平速度為v0，設(shè)第二顆炸彈經(jīng)過水平面a后，水平方向位移

x1=Lcosθ-x0=v0t

設(shè)第三顆炸彈經(jīng)過水平面a后，水平方向位移

x2=2Lcosθ-2x0=v0t2

解得t2=2t1，y2>2y1所以Q點(diǎn)在c點(diǎn)的下方，即第三顆炸彈將落在bc之間，故選項(xiàng)A正確。

【點(diǎn)評(píng)】本題采用了假設(shè)法，即斜面不存在時(shí)落點(diǎn)Q在c點(diǎn)的下方，斜面存在時(shí)，落點(diǎn)一定在b、c之間，解決本題也要抓住幾何關(guān)系并充分利用平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。

【拓展3】如圖8所示，AB為斜面，BC為水平面，從A點(diǎn)以水平速度v0拋出一小球，此時(shí)落點(diǎn)到A的水平距離為s1，從A點(diǎn)以水平速度3v0拋出小球，這次落點(diǎn)到A點(diǎn)的水平距離為s2，不計(jì)空氣阻力，則s1∶s2可能等于

( )

A.1∶3 B.1∶6 C.1∶9 D.1∶12

圖8

圖9

【思路點(diǎn)撥】本題中從A點(diǎn)以不同速度拋出小球，豎直方向上下落的高度可能不同，很難比較水平位移，可以假設(shè)兩次小球的軌跡是固定的，如圖9所示，設(shè)想水平面BC高度可以調(diào)節(jié)，當(dāng)BC較高時(shí)比如在1位置上方，兩次小球均會(huì)落到水平面BC上，計(jì)算可得s1∶s2=1∶3。不妨設(shè)此時(shí)第一個(gè)小球剛好落到B點(diǎn)，而當(dāng)BC高度由此逐漸降低如圖中2位置，兩次將分別落到斜面和水平面上，在一定范圍內(nèi)，隨著BC往下調(diào)，s1不變，s2不斷增大，比值逐漸減??；當(dāng)BC降低到一定高度如圖中3位置下方時(shí)，兩次小球均會(huì)落到斜面AB上，計(jì)算可得s1∶s2=1∶9，且這一比值不再隨BC高度的降低而變化。所以位移比應(yīng)介于1∶3與1∶9之間，故選項(xiàng)ABC正確。

破解方法4 利用平拋運(yùn)動(dòng)重要推論求解平拋運(yùn)動(dòng)問題

求解物理問題，有時(shí)利用重要推論求解題目可以達(dá)到事半功倍的效果。平拋運(yùn)動(dòng)的重要推論如下：

推論1：做平拋運(yùn)動(dòng)的物體在任意相等時(shí)間內(nèi)速度的改變量Δv=gΔt相同，方向恒為豎直方向；

推論2：做平拋運(yùn)動(dòng)的物體在任意時(shí)刻的兩個(gè)分速度與合速度構(gòu)成一個(gè)矢量直角三角形，在任意時(shí)刻的兩個(gè)分位移與合位移也構(gòu)成一個(gè)矢量直角三角形；

推論3：做平拋運(yùn)動(dòng)的物體在任意時(shí)刻的瞬時(shí)速度的反向延長線一定通過此時(shí)水平位移的中點(diǎn)；

推論4：做平拋運(yùn)動(dòng)的物體在任意時(shí)刻，其速度方向與水平方向的夾角為θ，位移方向與水平方向的夾角為α，則tanθ=2tanα；

【典例4】如圖10所示，從傾角為α的斜面上的某一點(diǎn)先后將同一個(gè)小球以不同的初速度水平拋出，小球均落在斜面上。當(dāng)小球的初速度為v1時(shí)，小球到達(dá)斜面時(shí)速度與斜面的夾角為θ1，當(dāng)小球的初速度為v2時(shí)，小球到達(dá)斜面時(shí)速度與斜面的夾角為θ2，下列說法正確的是

( )

圖10

A.當(dāng)v1>v2時(shí)，θ1>θ2

B.當(dāng)v1>v2時(shí)，θ1<θ2

C.無論v1、v2大小關(guān)系如何，均有θ1=θ2

D.θ1、θ2的大小與斜面的傾角α無關(guān)

【解析】分析本題直接利用上文中的推論5可知，從斜面上平拋出的物體落到斜面時(shí)速度方向與斜面的夾角是一個(gè)定值與初速度大小無關(guān)，只與斜面傾角有關(guān)，快速得出選項(xiàng) C正確。

【點(diǎn)評(píng)】本題是一道非常典型的“斜面+平拋模型”問題，核心的解題思想是平拋運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律及相關(guān)的推論，熟練運(yùn)用物理中的二級(jí)結(jié)論有時(shí)可達(dá)到事半功倍的效果。

圖11

【拓展4】微信小程序中“跳一跳”游戲曾經(jīng)有一段時(shí)間非常受人歡迎，玩游戲時(shí)需要操作者控制棋子離開平臺(tái)時(shí)的速度，使其能跳到旁邊平臺(tái)上。如圖11所示的拋物線為棋子在某次跳躍過程中的運(yùn)動(dòng)軌跡，其最高點(diǎn)離平臺(tái)的高度為h，在運(yùn)動(dòng)過程中可視為質(zhì)點(diǎn)，只受重力作用，在下圖中能正確表示棋子速度矢量變化過程的是

( )

A

B

C

D

【思路點(diǎn)撥】本題是一個(gè)圖象問題，分析速度這一矢量變化的過程，棋子離開平臺(tái)后做斜上拋運(yùn)動(dòng)，水平方向?yàn)閯蛩僦本€運(yùn)動(dòng)，豎直方向先為豎直上拋運(yùn)動(dòng)后為自由落體運(yùn)動(dòng)，速度的變化量全部在豎直方向上，根據(jù)推論1可得出選項(xiàng) B正確。

破解方法5 利用等效法求解類平拋運(yùn)動(dòng)問題

當(dāng)物體受到與初速度方向垂直的恒定合外力作用時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡與平拋運(yùn)動(dòng)相類似，這類運(yùn)動(dòng)稱為類平拋運(yùn)動(dòng)。這類運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)是初速度v0≠0，物體所受合外力為恒力而且與初速度方向垂直，通過將運(yùn)動(dòng)分解為沿初速度方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和垂直于初速度方向(即合力方向)的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。

( )

圖12

【點(diǎn)評(píng)】這類問題首先要判斷是否屬于類平拋運(yùn)動(dòng)問題，接下來求出物體運(yùn)動(dòng)的加速度，將運(yùn)動(dòng)分解為沿初速度方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和垂直于初速度方向的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，兩分運(yùn)動(dòng)彼此獨(dú)立，互不影響，且與合運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性。

【拓展5】如圖13所示，已知甲空間中沒有電場(chǎng)磁場(chǎng)；乙空間中有豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)；丙空間中有豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)；丁空間中有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。四個(gè)圖中的斜面相同且絕緣，相同的帶負(fù)電小球從斜面上的同一點(diǎn)O以相同初速度v0同時(shí)沿水平方向拋出，分別落在甲、乙、丙、丁圖中斜面上A、B、C、D點(diǎn)(圖中未畫出)。小球受到的電場(chǎng)力、洛倫茲力都始終小于重力，不計(jì)空氣阻力。則

( )

甲

乙

丙

丁

A.O、C之間距離大于O、B之間距離

B.小球從拋出到落在斜面上用時(shí)相等

C.小球落到B點(diǎn)與C點(diǎn)速度大小相等

D.從O到A與從O到D，合力對(duì)小球做功相同