運用GeoGebra 著力提升高等數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量

周 洪

（四川幼兒師范高等?？茖W(xué)校 科技處，四川 江油 621700）

一、高等數(shù)學(xué)需要易學(xué)易用、快捷高效的學(xué)科教學(xué)軟件

數(shù)學(xué)學(xué)科邏輯性強、知識高度抽象，需要借助可視化的方法和技術(shù)手段來展現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)容，貼近學(xué)生的現(xiàn)實生活，為數(shù)學(xué)知識的理解和數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建提供支撐。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本思想，運用可視化的教學(xué)手段，可建立起“數(shù)”與“形”的有機聯(lián)系，降低了數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解難度，能有效的揭露數(shù)學(xué)本質(zhì)，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)結(jié)論。在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，圓規(guī)、直尺、三角板，實物模型，掛圖等是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教具，老師借助教具繪制示意圖，借助實物模型比劃、指點，這些方法和教學(xué)手段，簡單有效，很多數(shù)學(xué)老師至今仍在使用。不過，在教育信息化普及推廣的今天，原始的教學(xué)方法和教學(xué)手段所遺存的缺陷就顯現(xiàn)出來，如用粉筆黑板繪制的圖形粗糙、不準(zhǔn)確，精致的教學(xué)掛圖很少，實物模型數(shù)量不足及動態(tài)演示效果差等等，都說明高等數(shù)學(xué)課堂需要用現(xiàn)代教育技術(shù)手段來進行必要的改造和提升。

（一）普適性的教學(xué)軟件輔助高數(shù)教學(xué)效果有限

用Office 辦公軟件制作的Word 課件、PPT 課件，或用Authorware 軟件、Flash 軟件制作的 CAI課件等都有數(shù)形結(jié)合的可視化功能，也可以用來輔助數(shù)學(xué)教學(xué)，不過從本質(zhì)上講，這些課件是教師將教案、教學(xué)設(shè)計、示意圖等內(nèi)容用投影、動畫的方式展現(xiàn)給學(xué)生，它無法及時更新內(nèi)容，也無法與學(xué)生交流互動，教學(xué)演示效果很有限[1]。

（二）幾何畫板輔助高等數(shù)學(xué)教學(xué)有很多局限和不足

幾何畫板、超級幾何畫板的出現(xiàn)，讓數(shù)學(xué)教師有了專門的學(xué)科教學(xué)軟件。借助幾何畫板、超級幾何畫板，數(shù)學(xué)教師可以繪制平面圖形和立體圖形，數(shù)形結(jié)合的效果有了較大的提升，但是這兩款軟件也存在一些不足，比如“數(shù)”與“形”不能同步顯現(xiàn)，軟件的高級功能還要收費，資源不夠豐富等。對高等數(shù)學(xué)而言，幾何畫板的應(yīng)用范圍有限（主要應(yīng)用于平幾、立體幾何），對輔助代數(shù)、微積分、級數(shù)、空間曲線、曲面、概率統(tǒng)計等教學(xué)內(nèi)容無能為力。

（三）Mathematica 等專業(yè)軟件對教師的要求太高，且耗時多、效率低

運用Mathematica、Matlab、AutoCAD 等數(shù)學(xué)軟件、繪圖軟件的功能強大，應(yīng)用范圍廣，用它們繪制出的圖形很逼真，展示效果也不錯，但用它們來制作教學(xué)課件，對老師的要求卻很高，需要熟練掌握相應(yīng)的計算機程序語言和一些英文命令[2-5]。此外，使用這些軟件制作課件，步驟較為復(fù)雜，要耗費大量的時間和精力去設(shè)計、編寫計算機操作程序，數(shù)學(xué)教師必須在課前制作課件，調(diào)試好課件，才能保證在教學(xué)過程中正常使用課件。不少數(shù)學(xué)老師覺得，用這樣的軟件去制作課件，耗時多、效率低，還不如用粉筆畫示意圖那樣簡單易行。所以，高等數(shù)學(xué)課堂期盼那種易學(xué)易用、快捷高效的學(xué)科教學(xué)軟件。

二、GeoGebra 6.0 軟件的課堂教學(xué)的適應(yīng)性

（一）GeoGebra 可視化效果明顯，使用范圍覆蓋了高等數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容

GeoGebra 是奧地利數(shù)學(xué)家Markus Hohenwarter 于2002 年設(shè)計開發(fā)的一款動態(tài)幾何軟件，它將幾何、代數(shù)、微積分、統(tǒng)計、表格集于一體，其功能強大、操作簡單。運用GeoGebra，你可以畫點、向量、線段、直線、多邊形、圓錐曲線、二次曲面，以及函數(shù)圖象等，事后你還可以改變它們的屬性，也可以在GeoGebra 中直接輸入方程和點坐標(biāo)，馬上就能得到相應(yīng)的圖形和位置，數(shù)形結(jié)合的同步性尤為突出。

GeoGebra 還有處理變數(shù)的能力(這些變數(shù)可以是一個數(shù)字、角度、向量或點坐標(biāo))，它也可以對函數(shù)作微分、積分運算，能找出方程的根或計算函數(shù)的極大值、極小值等等。

GeoGebra 功能強大，繪制的動態(tài)圖形生動、精美、逼真，可視化效果顯著，其應(yīng)用范圍覆蓋了高等數(shù)學(xué)的主要教學(xué)內(nèi)容，這些都彰顯出它在高等數(shù)學(xué)課堂上大有可為的潛力。

（二）GeoGebra 6.0 版本的便利性，使之很容易融入課堂教學(xué)

GeoGebra 是一款免費的數(shù)學(xué)教學(xué)軟件，它易學(xué)易用，便于學(xué)習(xí)和推廣。在便利性方面，最新版本的GeoGebra 6.0 考慮中國用戶的需求，界面和功能菜單全部用中文標(biāo)示，軟件中常用的指令都已經(jīng)漢化，并集成到虛擬鍵盤中，用戶可在使用中隨時調(diào)用，操作十分簡便。

在軟件學(xué)習(xí)方面，GeoGebra 6.0 軟件自備學(xué)習(xí)資料，新手容易入門。數(shù)學(xué)教師或?qū)W生通過短時間的培訓(xùn)，都可以掌握GeoGebra 6.0 軟件的基本功能和基本操作，學(xué)會利用這些基本功能制作數(shù)學(xué)教學(xué)課件。一般情況下，數(shù)學(xué)老師不需要進行數(shù)值計算，也不需要記憶英文指令，只需要點擊鼠標(biāo)，像操作簡單的計算器一樣快捷方便的制作教學(xué)課件。在GeoGebra 6.0 的支撐下，數(shù)學(xué)教師可將學(xué)科教學(xué)的理念生動的展現(xiàn)出來，以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，構(gòu)建學(xué)科知識，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力。

（三）GeoGebra 6.0 版本的兼容性，使師生之間的交流互動更為順暢

GeoGebra 各種版本之間可以互相兼容，并且GeoGebra 可以安裝在臺式電腦、筆記本電腦上，也可以安裝在平板電腦iPad 和智能手機上，而且用手機可以打開和操作由電腦制作的小型課件，用電腦也可以打開和操作用手機制作的課件。

三、GeoGebra 6.0 在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

（一）讓數(shù)學(xué)教師實現(xiàn)無課件的信息化教學(xué)

GeoGebra 6.0 以點、線、面、向量、函數(shù)為基本元素，具有可視化、多重表征、數(shù)形結(jié)合的特點，輸入方程即可得到對應(yīng)的圖形，繪出點、線的同時自動顯示對應(yīng)的坐標(biāo)或方程。GeoGebra 6.0針對不同的數(shù)學(xué)物件，提供不同的視區(qū)，如代數(shù)區(qū)、繪圖區(qū)、運算區(qū)、3D 繪圖區(qū)、試算區(qū)和概率計算等，在不同視區(qū)提供各自適用的工具列，其中包含了特定工具、指令、內(nèi)建函數(shù)和運算子，讓使用者可以運用不同表征的數(shù)學(xué)物件來創(chuàng)建動態(tài)結(jié)構(gòu)。

一般情況下，教師使用GeoGebra 6.0，只需3-5 個步驟就可以馬上繪制動態(tài)圖象、空間形體或圖表，及時有效的輔助教學(xué)，不需要課前花大量的時間精力去制作和準(zhǔn)備課件。此外，與GeoGebra 6.0 無縫鏈接的GeoGebra 官網(wǎng)擁有大量免費的、不斷更新的教學(xué)資料，教師上網(wǎng)注冊后，可在課堂上隨時調(diào)用GeoGebra 官網(wǎng)上的資料，極大豐富了教師教學(xué)資源。

應(yīng)用GeoGebra 6.0，老師可以在課堂上快速地制作演示圖以闡釋數(shù)學(xué)概念，也可以現(xiàn)場繪制動態(tài)圖形以引導(dǎo)學(xué)生思考問題，還可以通過改變問題的條件去探索新的結(jié)論，或者利用GeoGebra 6.0 設(shè)計一些數(shù)學(xué)實驗（或及時調(diào)用GeoGebra 官網(wǎng)上的數(shù)學(xué)實驗資源），讓學(xué)生去感受和體驗“做數(shù)學(xué)”的苦與樂，保持課堂教學(xué)的連續(xù)性和流暢性。

例1，在課堂上現(xiàn)場制作、演示基本極限Ι 的生成過程。

第1 步，設(shè)置滑動條x；

第3 步，操作滑動條，讓x →0，觀察極限生成過程。

例2.演示定積分教學(xué)中“上和不增，下和不減”的動態(tài)變化過程。

第1 步，設(shè)置滑動條n。

第2 步，在代數(shù)欄中輸入函數(shù)表達式 f( )

x =x2- 2x+ 2，按Enter 鍵。

第3 步，在代數(shù)欄中輸入指令：

上和（x2- 2x+ 2,0,4,n），按Enter 鍵；再輸入指令：下和（x2- 2x+ 2,0,4,n），按Enter 鍵。

第4 步，操作滑動條，讓n 變化，觀察上和、下和的動態(tài)變化情況即可（圖1）。

圖1

因此，應(yīng)用GeoGebra 6.0 繪制動態(tài)的教學(xué)輔助圖形（圖表），演示數(shù)學(xué)對象及其變化過程，體現(xiàn)了“現(xiàn)做現(xiàn)用，快捷高效”的特點，讓數(shù)學(xué)教師真正實現(xiàn)無課件的信息化教學(xué)。

正如北師大曹一鳴教授所說，GeoGebra 是一款具有功能全、跨平臺、易操作特點的動態(tài)數(shù)學(xué)軟件，是數(shù)學(xué)教學(xué)的新幫手[6]。

（二）讓學(xué)生獲得和掌握強有力的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)工具

GeoGebra6.0 的手機APP 有兩種版本，一種是“圖形計算器”，另一種是“3D 繪圖計算器”，它們的功能、界面和GeoGebra6.0 類似，都是中文版的，操作方法完全相同。這就提供了一種可能，即學(xué)生完全可以按照老師現(xiàn)場制作演示圖的方法，在手機上自己制作相應(yīng)的圖形，體驗數(shù)學(xué)知識的生成過程，這既是學(xué)知識也是學(xué)方法。因此，數(shù)學(xué)課堂不再排斥手機，學(xué)生也不再是課堂上的觀眾，而是課堂教學(xué)活動的全程參與者。

例3，在空間解析幾何中，學(xué)生對老師用電腦演示“馬鞍面”感興趣，老師就讓學(xué)生在手機上自己試著做一做。學(xué)生在“3D 繪圖計算器”軟件中直接輸入x2-y2=z，按Enter 鍵，一個生動、直觀的馬鞍面就立刻出現(xiàn)在手機屏幕上。學(xué)生可以用手指去旋轉(zhuǎn)、平移、放大、縮小這個曲面，從不同的方位去觀察它。

接著，教師讓學(xué)生在曲面中插入幾個平面：x =l，y =m，z =n（其中l(wèi)，m，n由滑動條控制），觀察這些平面與馬鞍面相交時交線的形狀，理解馬鞍面為什么又叫“雙曲拋物面”的名稱由來。這種新奇的體驗讓學(xué)生若有所思，興趣盎然。美國教育心理學(xué)家戴維·帕金斯在《為未來而教，為未來而學(xué)》一書中指出，學(xué)習(xí)即理解，理解即思考；學(xué)習(xí)即運用，把你的理解和思考用起來；學(xué)習(xí)即感興趣，全局性理解源于發(fā)自內(nèi)心的渴望[7]。

事實上，智能手機+GeoGebra 軟件，讓學(xué)生獲得了一種強有力的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)工具，促進了學(xué)生的學(xué)習(xí)和思考，激發(fā)了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的興趣。具體的作用有三：其一，學(xué)生可以借助自己繪制的直觀模型，用經(jīng)驗去驗證數(shù)學(xué)結(jié)論，用動態(tài)直觀的數(shù)學(xué)實驗去解釋疑惑，加深對數(shù)學(xué)知識的認識和理解；其二，圍繞課堂教學(xué)內(nèi)容，積極參與數(shù)學(xué)問題的討論，用自己觀察到的情形為例子，去解釋、說明數(shù)學(xué)原理或數(shù)學(xué)性質(zhì)；其三，學(xué)生可以隨時在GeoGebra 官網(wǎng)上登陸，免費獲得國內(nèi)外大量的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資源，拓寬眼界。所以，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容和方法上，學(xué)生不必被老師牽著走，可以解放思想，自主學(xué)習(xí)、自主解決感興趣的數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的數(shù)學(xué)實踐能力。

對于學(xué)生而言，應(yīng)用手機版的GeoGebra 軟件，繪制動態(tài)示意圖，探索和解釋數(shù)學(xué)問題，可在思考、驗證與實驗中提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的品質(zhì)，實現(xiàn)“學(xué)以致用，培養(yǎng)能力”的教學(xué)目標(biāo)。

（三）讓數(shù)學(xué)課堂構(gòu)建起“互聯(lián)網(wǎng)+”特點的教學(xué)信息平臺

張景中院士指出，教育技術(shù)對學(xué)科教學(xué)和學(xué)習(xí)的支持，有效的方法就是向師生提供易學(xué)易用、功能全面的學(xué)科教學(xué)平臺[8]。利用微信群、QQ群，我們可以建立一個服務(wù)課堂教學(xué)的信息平臺（圖2）。在這個信息平臺中，教師和學(xué)生既是信息的輸入端，也是信息的接受端，其中傳遞交流的信息流就是GeoGebra 所承載的生動、直觀、動態(tài)展示的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容。這個平臺根植于普通的課堂，能實現(xiàn)課堂教學(xué)信息雙向、及時、無障礙的互聯(lián)互通，它不需要耗費其他的教育資源，也不需要專門的電教技術(shù)，所使用的只是教師的電腦、學(xué)生的手機，以及QQ（微信）群的交互功能、GeoGebra 軟件、與GeoGebra 軟件無縫連接的GeoGebra 官網(wǎng)資源。它是“互聯(lián)網(wǎng)+”時代，用極簡的方式構(gòu)建起來的實用型教學(xué)信息平臺。

圖2 教學(xué)信息平臺

平臺的作用之一，共同研討數(shù)學(xué)問題。“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個和諧優(yōu)美的幾何體。它由形狀完全相同的四個曲面構(gòu)成，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，四個曲面扣合(牟合)在一起形成了一個方形傘(方蓋)?？旖?、準(zhǔn)確地畫出牟合方蓋的空間圖形，可以幫助學(xué)生觀察它的形狀，探索它的幾何特性。

例4，繪制牟合方蓋及其輪廓線。

1）畫出兩個圓柱面：x2+ y2=1，x2+ z2=1。

打開GeoGebra 6.0，激活3D 繪圖區(qū)。在代數(shù)區(qū)的輸入欄中，輸入“x2+ y2=1”后按Enter 鍵，得到一個圓柱面，再輸入“x2+ z2=1”，按Enter鍵，得到另一個圓柱面，二者相交所圍成的部分就是“牟合方蓋”（圖3）。與此同時，老師可讓學(xué)生用手機上的“3D 繪圖計算器”，按照屏幕顯示的步驟、指令，一起繪制圖形。

圖3

2）為了清楚地觀察牟合方蓋，繪制它的輪廓線。

輸入指令“曲線（cost, sint, sint, t, 0, 2π）”，按Enter 鍵；再輸入指令“曲線（cost, sint, -sint, t, 0,2π）”后按Enter 鍵，即可得牟合方蓋的輪廓線（圖3）。

3）繪制由兩個圓柱面x2+ y2=1，x2+ z2=1相交構(gòu)成的牟合方蓋。

兩個圓柱面x2+ y2=1，x2+ z2=1 的參數(shù)方程，可設(shè)為：cosα，sinα，sinα·tanβ；cosα，sinα·tanβ，sinα。根據(jù)這兩個參數(shù)方程來繪制牟合方蓋。

在輸入欄中，輸入指令“曲面（cosα，sinα，sinα·tanβ，α，0，2π，β，-）”，按Enter 鍵，得到左右兩個曲面；再輸入指令“曲面（cosα，sinα·tanβ，sinα，α，0，2π，β，-）”，按Enter 鍵，得到上下兩個曲面。由此，得到牟合方蓋曲面（圖4）。

圖4

在上面的繪圖過程中，老師只用了3 個步驟，輸入了6 條指令，就快速呈現(xiàn)出牟合方蓋的生成過程，令學(xué)生稱奇。老師將繪圖文件發(fā)送到QQ群，借此直觀圖形，與全班同學(xué)一起討論問題。學(xué)生通過調(diào)整觀察視角和圖形的大小，不斷豐富對牟合方蓋的感性認識。接著，師生們饒有興趣的對牟合方蓋的幾何特征進行了探索。

平臺的作用之二：探索與驗證數(shù)學(xué)結(jié)論。利用這個教學(xué)信息平臺，學(xué)生在課堂上有什么問題，需要驗證什么數(shù)學(xué)結(jié)論，有什么新的發(fā)現(xiàn)或新的見解，都可以通過QQ 群發(fā)送給老師，老師就可以及時了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，也可以發(fā)動全班同學(xué)共同討論相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題。

圖5 sinx 的泰勒展式

隨后，老師把這個圖象的ggb 文件發(fā)送到QQ群，學(xué)生用手機上的“圖形計算器”打開該文件，操作圖中的滑動條，就可以觀察當(dāng)n 增大時sinx 與該級數(shù)貼合的詳細過程。通過直觀和經(jīng)驗的驗證，同學(xué)們對泰勒展式的真實性深信不疑。

在這個教學(xué)信息平臺上，GeoGebra 軟件同時作為教學(xué)工具和學(xué)習(xí)工具，這就使得課堂中師生間的“共同語言”多了，教與學(xué)的交流、溝通也就順暢了。借這個教學(xué)信息平臺師生可以加強交流互動，圍繞教學(xué)主題或彼此感興趣的數(shù)學(xué)問題，進行廣泛深入的研究性學(xué)習(xí)，共同提升課堂教學(xué)的效率和品質(zhì)。其中，GeoGebra 帶給我們的，不僅是方便快捷的數(shù)學(xué)內(nèi)容展示，更是理想的深度學(xué)習(xí)平臺和深度教學(xué)工具[9]。它為我們提供了“多元聯(lián)系表征”的、開放的教學(xué)環(huán)境，促進了學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。

四、結(jié)語

借助深入數(shù)學(xué)學(xué)科的軟件GeoGebra 6.0，教師在課堂上，可以現(xiàn)做現(xiàn)用，快捷方便的制作教學(xué)輔助圖形（圖表），及時呈現(xiàn)數(shù)學(xué)對象的可視化形象，直觀、動態(tài)地表現(xiàn)出數(shù)學(xué)性質(zhì)的生成、演變過程，促進學(xué)生深入思考，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，真正實現(xiàn)無課件的信息化教學(xué)，提升課堂教學(xué)質(zhì)量。借助“手機+GeoGebra 6.0”，學(xué)生可以做數(shù)學(xué)圖象或數(shù)學(xué)模型去驗證數(shù)學(xué)結(jié)論，也可以做數(shù)學(xué)實驗，探索生活中感興趣的數(shù)學(xué)問題，積累“做數(shù)學(xué)”的體會和經(jīng)驗，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力，提升自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。借助課堂教學(xué)信息平臺，數(shù)學(xué)課堂的視域更為廣闊，老師的教學(xué)資源豐富了，學(xué)生的學(xué)習(xí)方式改變了，課堂成為了師生們交流、探討數(shù)學(xué)問題的場所，研究、解決數(shù)學(xué)問題的工作室?？傊?，合理、高效地應(yīng)用GeoGebra 6.0，改變了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的面貌，為數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)增添了新的活力。