基于雙過濾白噪聲激勵的層間隔震結構隨機響應的解析解法

趙立菊 葛新廣 王善庫

（1.信陽職業(yè)技術學院建筑工程學院，信陽46400；2.廣西科技大學土木建筑學院，柳州545006）

0 引 言

人類的地震歷史由來已久，地震造成的損失巨大，為此，人們不斷提出各種減震技術［1-6］。隔震結構最早由日本學者提出［5］，也是目前已成功應用于工程的減震措施之一。隔震結構的基本原理是在建筑中設置柔性隔震層，地震發(fā)生時產(chǎn)生的地震能量會大部分被隔震層吸收，僅有少量能量傳遞到上部結構，從而達到減小上部結構動力響應的效果和提高其安全性的目的［4］。因此，隔震結構分為基礎隔震和層間隔震形式，基礎隔震發(fā)展悠久。而層間隔震是一種新型隔震形式，其原理是在結構層的柱頂或者墻頂設置隔震層，以達到抑制結構地震動響應的作用［7］。層間隔震工程應用較少，但已有的研究表明，減震效果顯著，是工程減震技術的研究熱點［7-9］。祁皚等［7］通過振動臺試驗研究了隔震層剛度的參數(shù)優(yōu)化對減震效率的影響，試驗表明，層間隔震技術可有效地降低結構的地震反應，但減震效果則會隨著隔震層位置的升高而逐漸降低。周福霖等［8，10］通過對隔震層位置進行優(yōu)化分析，得出了隔震層的減震機理：隨著隔震層的下移，將由TMD 減震機理轉變?yōu)榛A隔震機理，并指出隔震層的阻尼對抑制隔震層下部子結構的反應有效。韓淼等［9，11］對近斷層地震動對層間隔震結構的動力響應進行研究，研究表明，近斷層的地震動不同于常規(guī)地震，工程設計時需要考慮近斷層地震動參數(shù)對結構動力的不利影響。

大量的地震觀測表明，地震的發(fā)生在時間、地點和強度上均具有明顯的不確定性，為此，工程上把地震看作建筑設計分析的隨機激勵［12-15］?？蒲腥藛T為了準確表述隨機地震動的特征，提出了各種力學模型［12-15］，其中Clough-Penzien 隨機地震動模型［16］是在Kanai-Tajimi 模型［17-18］的基礎上進行了改進，用2 個濾波方程將復雜的隨機地震動用白噪聲激勵表示，因此又稱之為雙過濾白噪聲。該模型是工程界比較公認的平穩(wěn)隨機地震動模型，基于該模型的各類結構的地震動研究文獻眾多，但所獲得結構動力響應均存在表達式復雜的問題。

研究結構隨機地震動響應的方法有頻域法和時域法［12，14］。頻域法中，結構的動力響應的功率譜可由地震動的功率譜與結構的頻響函數(shù)模值的乘積表示，即結構響應的功率譜與地震動激勵的功率譜存在簡明的代數(shù)關系，因此受到研究人員的青睞，其中虛擬激勵法就是其典型代表，有著廣泛的工程應用［19-21，22］。虛擬激勵法目前僅能獲得結構動力響應的功率譜的解析解，而響應的方差和譜矩分析則只有數(shù)值解。時域法是從求解結構動力微分方程的角度出發(fā)，分析結構的動力響應的方法，主要有實模態(tài)和復模態(tài)兩種，其中復模態(tài)方法適用于各種線性結構的動力響應分析。時域法應用的前提是隨機激勵模型必須具有協(xié)方差函數(shù)［16-17］，而雙過濾白噪聲隨機激勵模型無協(xié)方差，因此時域法在結構基于雙過濾白噪聲隨機激勵的動力應用研究較少，且已有研究結果均比較復雜［19-21］。

本文利用雙過濾白噪聲隨機激勵的濾波方程與層間隔震體系的地震動方程聯(lián)合求解，將復雜的地震動隨機激勵模型轉化為白噪聲激勵模型，利用復模態(tài)法獲得層間隔震體系的設計參數(shù)（結構層相對于地面的位移、結構層層間位移、結構層剪力及其變化率）的統(tǒng)一杜哈梅積分表達式，利用隨機振動激勵獲得了設計參數(shù)的協(xié)方差和功率譜的簡明表達式。最后利用譜矩的定義，獲得層間隔震結構設計參數(shù)的0-2解譜矩的解析解。

1 層間隔震結構的地震動方程

設置層間隔震層的n層剪切型結構，如圖1所示，結構層質(zhì)量、剛度、阻尼分別為mi、ci、ki，隔震層的質(zhì)量、剛度、阻尼分別為mb、cb、kb。

圖1 計算簡圖Fig.1 Calculating diagram of structure

在地震作用下，層間隔震結構的地震動方程：

雙過濾白噪聲激勵模型，又叫Clough-Penzien譜隨機地震動模型，可用2 個基于白噪聲激勵的濾波方程表示［16］，其功率譜密度函數(shù)［13-14，16］：

式中：ωf，ξf分別為第一濾波的卓越頻率和阻尼比；ug，ωf，ξf分別為第二濾波振動位移、卓越頻率和阻尼比；S0為地震動強度常數(shù)。

由于式（2）表達式復雜，求解結構響應的譜矩和方差時只能數(shù)值積分，故存在計算效率和精度的問題。為此本文提出利用其濾波方程與結構地震動方程聯(lián)合求解的方法。雙過濾白噪聲激勵模型的濾波方程為［16］

式中，δ(τ)為Dirac 函數(shù)。

聯(lián)立式（1）、式（3）、式（4），將層間隔震體系基于雙過濾白噪聲隨機激勵的地震動轉化為基于白噪聲激勵的地震動：

結構層相對于地面位移、結構層間位移及結構層間剪力是工程結構設計的關鍵參數(shù)，相對于地面位移變化率、結構層間位移變化率及結構層間剪力變化率是結構動力可靠度分析的基礎。為此，本文就上述參數(shù)進行研究。

2 層間結構設計參數(shù)及其變化率的統(tǒng)一解

引入狀態(tài)變量：

由復模態(tài)法［12，21］可知，方程（9）存在特征值矩陣P 和左、右特性向量U、V，使式（9）復模態(tài)解耦。為此，特征向量與特征值矩陣滿足關系式：

式中，P 的對角陣，且元素的實部為正數(shù)，可由利用式（9）的特征值方程的行列式求解：

式中，｜·｜表示行列式。

左、右特性向量U、V，由式（9）的特征值方程獲得：

式中，zi，ηi，pi分別為z，η，P的分量。

由式（7）、式（8）及式（18），層間隔震結構的位移xj和速度x?j表示為

式中，ui為右特征向量矩陣的第i 行向量；結構響應的強度系數(shù)λj，i：

結構的層間位移Δxj及層間位移變化率Δx?j，可表示為

結構的層間剪力可表示為層間位移與結構抗側剛度的乘積，因此，層間剪力及其變化率表示為

至此，結構各層位移、層間變形、層間剪力及其變化率的杜哈梅積分表達式可統(tǒng)一表示為

式中，Xl(t)表示設計變量l；κl，i表示設計變量對應的模態(tài)強度系數(shù)，不同的設計變量分別見式（20）、式（22）及式（24）；Xl，i(t)為分量形式：

3 設計參數(shù)及其變化率的方差及功率譜的解析表達式

由隨機振動理論及式（25），結構響應Xl的協(xié)方差為

由式（27）及式（31），層間隔震結構基于雙過濾白噪聲激勵的動力響應為

式中，

由式（32）可知，結構基于雙過濾白噪聲激勵的設計參數(shù)的協(xié)方差可用結構振動復特征值指數(shù)的線性組合表示，物理意義明確，表達式簡潔明了。當τ -0 時，結構設計參數(shù)的協(xié)方差即為其方差：

根據(jù)公式（19）-（24），（33）及（34）可獲得層間隔震結構設計參數(shù)及其變化率的方差。

由隨機振動理論［12］，結構設計參數(shù)的單邊功率譜可由Wiener-Khinchin關系獲得：

式中，SXl(ω)為結構響應Xl的單邊功率譜。

把式（32）帶入式（35）并積分：

從式（36）可知，結構設計參數(shù)的功率譜表示成振動復特征值與頻域變量平方和的倒數(shù)的線性組合，將結構設計參數(shù)的功率譜進行解耦，為簡化地震動響應分析及提高計算效率奠定了基礎。

4 設計參數(shù)及其變化率的譜矩

由隨機振動理論，結構響應的0 階譜矩等于結構響應的方差，比較式（34）及式（38），可驗證本文方法的正確性。同時，由隨機振動理論可知，結構響應的2 階譜矩等于結構響應變化率的0 階譜矩。因此，層間隔震結構設計參數(shù)的2階譜矩為

由文獻［25］，2 階譜矩存在，則1 階譜矩必定存在，故存在如下關系：

根據(jù)式（19）-式（24）及式（38）、式（39）及式（44）可知，層間隔震結構層間設計參數(shù)的0-2 階譜矩均有解析解，且表達式比較簡潔。

5 算 例

一5 層鋼筋混凝土框架結構，結構層質(zhì)量：1—2 層為450 t，3—5 層為400 t；結構層剛度：1—2層為355×103kN/m，3—5 層為305×103kN/m；結構阻尼比為0.05。地震烈度為8 度，一類場，地震設計分組為第1 組；雙過濾白噪聲激勵的場地參數(shù)：ωg=15.71rad/s、ξg=0.72 rad/s、ωf=0.15ωg、ξf=ξg、功率譜強度系數(shù)S0=1.33366×10-3m-2/s3。隔震層的質(zhì)量300 t，抗側剛度為65×103kN/m，阻尼比0.15，研究隔震層設置位置對設計參數(shù)的影響。

5.1 本文方法功率譜計算驗證

為驗證本文方法的正確性，假定隔震層設置在2 層頂。取1 層位移和隔震層層間位移的功率譜與虛擬激勵法（公式見附錄Ⅰ）進行對比，見圖2、圖3。

從圖2及圖3可知，本文方法與虛擬激勵法在計算層間隔震層的結構樓層位移及層間位移的功率譜完全一致，說明本文方法的正確性。比較式（36）及式（I-12）和式（I-17），可見本文方法的簡明性。

圖2 1層的S x(ω)對比圖Fig.2 Comparative diagram of S x(ω) of 1st floor

5.2 本文方法譜矩計算精度和效率對比

為驗證本文方法計算層間隔震結構的設計參數(shù)的0-2 譜矩的精度和高效性，假定隔震層設置在2 層頂。對2 層的結構層位移及4 層的層間位移的0-2階譜矩與虛擬激勵法進行對比分析，具體見表1、表2。其中，虛擬激勵法的ω∈［0 1000］，Δω分 別 取 3 種 情 況 ：① Δω=0.5 rad/s；②Δω=0.1rad/s；③Δω=0.05 rad/s 分別對比精度和計算效率。

圖3 隔震層的Sx(ω)對比圖Fig.3 Comparative diagram of Sx(ω)of isolated floor

表1 2層的結構層位移的0-2階譜矩計算精度及效率對比表Table 1 Comparison of calculation accuracy and efficiency of 0-2 order spectral moments of displacement of 2nd floor

從表1 可知，當Δω=0.5 rad/s 和積分區(qū)間為[0 1000]時，本文方法與虛擬激勵法的數(shù)值方法的0-2 階譜矩誤差均很小，且隨著Δω 的變小，虛擬激勵數(shù)值方法與本文方法精度越來越接近，說明了本文解析解的正確性。由于結構為低頻特征，利用虛擬激勵法的頻率取有限范圍即可獲得精度很高的解。由于本文方法為解析解，故計算效率是最高的。

5.3 隔震層設置位置效果對比

為研究隔震層設置位置與結構設計參數(shù)響應的關系，分別給出樓層位移、層間位移和層間剪力與隔震層設置位置的關系圖，如圖4-圖6所示。

圖4 結構層位移與設置位移關系圖Fig.4 Diagramofrelationshipbetween displacements of structure layers and location of isolation layer

從圖4 可知，與層間隔震相比較，隔震層設置在基礎層時，結構各層相對于地面的位移方差較大；隨著隔震層位置的上移，隔震層以下的位移方差降低較大，而隔震層以上的結構位移方差則降低較小。這主要是由于隔震層抗側剛度遠小于結構層的抗側剛度，而隔震層以下結構層的位移是由結構的抗側剛度決定，隔震層以上的結構位移主要是由隔震層位移而引起。

從圖5 可知，各層層間位移方差隨著隔震層的變化規(guī)律比較復雜?；A隔震時各層間位移相差不大，1層頂隔震時，除5層除外，其他樓層的層間位移均最小。因此，1 層頂隔震是本算例最優(yōu)位置。此外，隔震層對其相鄰上部樓層的層間位移起到較好的減震效果。

圖5 結構層間位移與設置位移關系圖Fig.5 Diagram of relationship between inter-story displacements of structure layers and location of isolation layer

從圖6 可知，結構層的層間剪力方差變化趨勢與層間位移方差一致，這是由文中式（23）及式（24）可知。

圖6 結構層間剪力與設置位移關系圖Fig.6 Diagram of relationship between inter-story shear forces of structure layers and location of isolation layer

6 結 論

本文就層間隔震結構基于Clough-Penzien 譜隨機激勵下的樓層位移、層間位移及層間剪力等設計參數(shù)的功率譜、譜矩和方差的分析提出了新的解析解法，并研究了隔震層位置對設計參數(shù)的影響，獲得如下結論：

（1）利用Clough-Penzien 譜的濾波方程與結構地震動方程聯(lián)合求解，可將復雜的地震動模型轉化為白噪聲激勵模型，從而獲得層間隔震結構設計參數(shù)的簡明解析解。通過與傳統(tǒng)虛擬激勵法進行對比分析，驗證了本文方法的正確性、簡潔性和高效性的特點。

（2）層間隔震層的位置對結構地震動響應的影響比較大，針對具體結構的層間隔震位置的設置需經(jīng)具體分析來確定，但層間隔震對相鄰上層的減震效果最為明顯。

（3）本文方法為CQC 方法，由于所獲層間位移的方差和0-2 階譜矩均具有解析表達式，極大地提高了計算效率。

（4）本文獲得了層間隔震結構的結構層位移、結構層間位移及層間剪力等設計參數(shù)的0-2階譜矩及方差，為層間隔震結構的結構設計、動力可靠度分析奠定基礎。

附錄Ⅰ：層間隔震結構的虛擬激勵法

針對論文式（1）的運動方程，引入狀態(tài)變量：

由復模態(tài)法［10］可知，存在特征值矩陣，左特征向量?和右特性向量?和使式（Ⅰ-2）解耦，且特征向量與特征值矩陣存在關系：

由式（Ⅰ-1）、式（Ⅰ-4），則xk(ω)的頻域響應值為

（1）各樓層處位移的功率譜及譜矩

由式（Ⅰ-11）及功率譜的定義：

（2）各層層間位移的功率譜及譜矩

各層層間位移與各樓層處位移的關系：

由虛擬激勵法及式（Ⅰ-15），則層間位移的功率譜為

由式（Ⅰ-16）及譜矩的定義：

層間隔震結構的各層層間位移的0-2 階譜矩為

（3）層間剪力的功率譜及譜矩

由于剪切型結構的層間剪力與層間位移存在關系式：

式中，kj為結構層間抗剪剛度。

故層間剪力的功率譜及譜矩為