基于復(fù)阻尼模型的混合結(jié)構(gòu)近似解耦法

趙志明 楊 紅，2，* 孫攀旭 劉慶林

（1.重慶大學(xué)土木工程學(xué)院，重慶400045；2.重慶大學(xué)山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗室，重慶400045；3.深圳信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院交通與環(huán)境學(xué)院，深圳518172）

0 引 言

鋼-混凝土混合結(jié)構(gòu)能夠綜合利用鋼結(jié)構(gòu)和混凝土的優(yōu)點(diǎn)，在現(xiàn)代建筑中已得到廣泛應(yīng)用［1-3］。這類結(jié)構(gòu)由阻尼性能存在差異的材料組成，因此屬于非比例阻尼結(jié)構(gòu)，其阻尼矩陣不再滿足對振型向量的正交性，無法直接利用常規(guī)的實(shí)模態(tài)疊加法進(jìn)行結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)分析［4-5］。

為解決該問題，部分學(xué)者將非比例阻尼結(jié)構(gòu)體系近似為比例阻尼結(jié)構(gòu)體系，采用整體Rayleigh 阻尼模型計算混合結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)。黃維等［6-7］基于隨機(jī)地震動激勵下位移響應(yīng)誤差最小原則建議了最佳等效阻尼比公式，根據(jù)Rayleigh 阻尼模型來計算豎向混合結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)；李小珍等［8］分析了結(jié)構(gòu)阻尼比和參考頻率選取對耦合系統(tǒng)動力響應(yīng)的影響規(guī)律，并基于Rayleigh 阻尼模型的帶通濾波特征提出了車-軌-橋混合動力系統(tǒng)中Rayleigh 阻尼參數(shù)的統(tǒng)一取值方法；陳旭等［9］提出選取控制結(jié)構(gòu)反應(yīng)的子結(jié)構(gòu)周期來確定Rayleigh 阻尼矩陣。與上述基于整體Rayleigh 阻尼模型的近似求解法相比，采用分塊Rayleigh 阻尼模型的求解思路能更好地反映各部分的耗能特性［10］。Clough 等［11］、Huang 等［12］基于Rayleigh 阻尼模型構(gòu)建混合結(jié)構(gòu)的子結(jié)構(gòu)阻尼矩陣，將各子結(jié)構(gòu)的比例阻尼矩陣組裝成非比例阻尼矩陣，通過數(shù)值積分法來進(jìn)行混合結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)分析，但計算量較大。為提高計算效率，湯燕波［13］基于分塊Rayleigh 阻尼模型來構(gòu)造混合結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣，采用忽略阻尼矩陣非對角項的近似解耦法。

上述兩類方法均建立在Rayleigh 阻尼模型基礎(chǔ)上，其最大的不足是形成阻尼矩陣時會受振型組合的影響，帶有一定的主觀性，存在計算結(jié)果不唯一、合理性不易被確定的缺點(diǎn)。而基于復(fù)阻尼模型得到的阻尼矩陣僅依賴于材料損耗因子，阻尼矩陣可以唯一確定，因此部分學(xué)者采用復(fù)阻尼模型來進(jìn)行非比例阻尼結(jié)構(gòu)體系的動力響應(yīng)分析。黃本才［14］、任紅偉［15］、黃維［16］等依據(jù)復(fù)阻尼模型的時域運(yùn)動方程，將非比例阻尼體系的特征值等效為比例阻尼體系的特征值，得到等效振型阻尼比，以實(shí)現(xiàn)非比例阻尼體系動力響應(yīng)的計算，但由于忽略了阻尼矩陣實(shí)部和虛部的耦合作用，其計算精度難以保證。朱鏡清等［17］根據(jù)復(fù)化對偶原則提出了基于復(fù)阻尼模型的實(shí)模態(tài)以及復(fù)模態(tài)疊加法以求解多自由度系統(tǒng)的動力響應(yīng)；劉慶林等［18］采用基于復(fù)阻尼假定的復(fù)模態(tài)疊加法，直接在物理空間求解，計算結(jié)果唯一。但上述方法均需要計算結(jié)構(gòu)的復(fù)振型向量，其計算過程較為復(fù)雜，不適于在工程結(jié)構(gòu)計算中推廣使用。

針對混合結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)計算，本文依據(jù)近似解耦法，提出了基于復(fù)阻尼模型的實(shí)模態(tài)疊加法。與基于Rayleigh 阻尼模型的實(shí)模態(tài)疊加法相比，本文提出的方法具有計算結(jié)果唯一、合理性易判定的優(yōu)點(diǎn)；相比基于復(fù)阻尼模型的復(fù)模態(tài)疊加法，本文提出的方法計算簡便，更適合實(shí)際工程的結(jié)構(gòu)計算。

1 基于復(fù)阻尼模型的近似解耦法

地震作用下基于復(fù)阻尼模型的多自由度體系時域運(yùn)動方程為

式中，M 為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣；K 為結(jié)構(gòu)的剛度矩陣；Cη為結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣；g(t)為地震加速度；I 為與地震動輸入有關(guān)向量；與g(t)方向相同的元素為1，其他為零；i為虛數(shù)單位，即i= -1。

假定體系是由不同阻尼特性材料組成，可得到結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣為

式中：r 為材料種類的個數(shù)；ηe，j為第j 種材料的損耗因子；Kj為第j種材料對應(yīng)的剛度矩陣。

方程式（1）對應(yīng)的無阻尼振型向量矩陣為

采用無阻尼振型向量可對質(zhì)量矩陣和剛度矩陣進(jìn)行正交化

對于小阻尼比情況下，忽略非對角元素的影響，采用近似解耦的方法，僅保留對角項，即

位移向量由振型向量線性表出

方程式（1）則可轉(zhuǎn)化為

地震加速度采用三角級數(shù)展開

式中，常數(shù)項需利用靜力條件進(jìn)一步確定，在恒載作用下方程式（1）表示為

在恒載作用下，響應(yīng)可直接利用受力平衡得到，即

將式（20）代入方程式（19），得

式中，yc，n(t)為方程式（24）對應(yīng)的齊次方程通解；yp，n(t)為方程式（24）對應(yīng)的非齊次方程特解。

方程式（9）對應(yīng)的齊次方程為

依據(jù)式（32），可知方程式（33）的通解實(shí)部為

式（34）第二項為發(fā)散項，根據(jù)物理意義進(jìn)行剔除，式（34）轉(zhuǎn)化為

其中，yp1，n(t)為方程式（24）中(a0，n+ia0，n′)對應(yīng)的特解，yp2，n(t)為方程式（24）中(r(t)+ir′(t))對應(yīng)的特解。

對于方程

由式（51）可計算出yn(t0)和y?n(t0)，進(jìn)而完成基于復(fù)阻尼模型的混合結(jié)構(gòu)模態(tài)疊加法。

2 算例分析

分別構(gòu)建2 自由度的豎向混合結(jié)構(gòu)模型A 和9 自由度的豎向混合結(jié)構(gòu)模型B，如圖1 所示，結(jié)構(gòu)上部皆選用鋼結(jié)構(gòu)，其阻尼比為0.02，對應(yīng)的損耗因子為0.04［18］；結(jié)構(gòu)下部均選用鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，阻尼比為0.05，對應(yīng)的損耗因子為0.10［18］。模型A和B的自振頻率如表1所示。

圖1模型參數(shù)Fig.1 Model parameter

表1 模型A和B的自振頻率Table 1 Dynamic characteristics of ModelAand B rad·s-1

圖2 El Centro 波作用下模型A的頂層響應(yīng)Fig.2 Top response of Model A under El Centro wave

圖3 Taft波作用下模型A的頂層響應(yīng)Fig.3 Top response of Model A under Taft wave

分別采用基于復(fù)阻尼模型的頻域法（FFD）、本文方法（FD）和基于黏性阻尼模型的近似解耦法（VD）計算模型A 的位移響應(yīng)和加速度響應(yīng)，結(jié)果如圖2、圖3 所示，其中基于復(fù)阻尼模型的頻域法（圖中FFD）可視為精確解［19］。對于混合結(jié)構(gòu)，采用黏性阻尼模型進(jìn)行計算時，可采用分塊Rayleigh 阻尼矩陣法構(gòu)造阻尼矩陣。模型A 為二自由度體系，采用分塊Rayleigh 阻尼矩陣法時直接選擇第一階振型和第二階振型構(gòu)造阻尼矩陣，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)基于黏性阻尼模型的近似解耦法。模型A 的計算結(jié)果對比表明，F(xiàn)D 和FFD 的位移時程和加速度時程近似相等（圖2和圖3），峰值位移和峰值加速度的相對誤差在5%以內(nèi)（表2 和表3），因此小阻尼比情況下，采用基于復(fù)阻尼模型的近似解耦法可滿足計算精度；FFD和VD的位移時程和加速度時程近似相等（圖2和圖3），峰值位移和峰值加速度的相對誤差在5%以內(nèi)（表2 和表3），因此小阻尼比情況下，對于二自由度體系，基于復(fù)阻尼模型的近似解耦法和基于黏性阻尼模型的近似解耦法計算結(jié)果近似相等。

與模型A 相同，仍然分別采用FFD、FD 和VD計算模型B 的位移響應(yīng)和加速度響應(yīng)，所得結(jié)果如圖4、圖5 和圖6 所示。對比計算結(jié)果表明，F(xiàn)D和FFD 的位移時程和加速度時程近似相等（圖4-圖6），峰值位移和峰值加速度的相對誤差在5%以內(nèi)（表4-表6），這進(jìn)一步證明了基于復(fù)阻尼模型近似解耦法的正確性。

由于模型B 為九自由度體系，采用分塊Rayleigh 阻尼矩陣法構(gòu)造阻尼矩陣時需要考慮振型組合問題，這也是實(shí)際工程結(jié)構(gòu)均會面臨的問題。為盡量全面、合理地考慮實(shí)際工程應(yīng)用可能選擇的做法，本文分別采用基于第一階振型和第二階振型的黏性阻尼模型近似解耦法（VD1）、基于第一階振型和外激勵卓越頻率接近振型的黏性阻尼模型近似解耦法（VD2）計算了模型B 的動力響應(yīng)。

表2 El Centro 波作用下模型A的頂層響應(yīng)Table 2 Top response of Model A under El Centro wave

表3 Taft波作用下模型A的頂層響應(yīng)Table 3 Top response of Model A under Taft wave

圖4 El Centro 波作用下模型B的頂層響應(yīng)Fig.4 Top response of Model B under El Centro wave

圖5 Taft波作用下模型B的頂層響應(yīng)Fig.5 Top response of Model B under Taft wave

圖6 天津波作用下模型B的頂層響應(yīng)Fig.6 Top response of Model B under Tianjin wave

El Centro 波作用下，F(xiàn)FD 和VD1 的位移時程和加速度時程差異較小，F(xiàn)FD 和VD2 的位移時程和加速度時程差異較大（圖4），F(xiàn)FD 和VD1 的峰值位移相對誤差為4.71%，F(xiàn)FD 和VD1 的峰值加速度相對誤差為5.66%，F(xiàn)FD 和VD2 的峰值位移相對誤差為9.91%，F(xiàn)FD 和VD2 的峰值加速度相對誤差為15.44%（表4）。

表4 El Centro 波作用下模型B的頂層響應(yīng)Table 4 Top response of Model B under El Centro wave

Taft 波作用下，F(xiàn)FD 和VD1 的位移時程近似相等，但加速度時程差異較大，F(xiàn)FD和VD2的位移時程和加速度時程近似相等（圖5），F(xiàn)FD 和VD1的峰值位移相對誤差為4.75%，F(xiàn)FD 和VD1 的峰值加速度相對誤差為10.33%，F(xiàn)FD 和VD2 的峰值位移相對誤差為2.00%，F(xiàn)FD 和VD2 的峰值加速度相對誤差為0.89%（表5）。

表5 Taft波作用下模型B的頂層響應(yīng)Table 5 Top response of Model B under Taft wave

天津波作用下，F(xiàn)FD 和VD1 的位移時程和加速度時程近似相等，F(xiàn)FD 和VD2 的位移時程和加速度時程差異較大（圖6），F(xiàn)FD 和VD1 的峰值位移相對誤差為1.17%，F(xiàn)FD 和VD1 的峰值加速度相對誤差為1.86%，F(xiàn)FD 和VD2 的峰值位移相對誤差為6.14%，F(xiàn)FD 和VD2 的峰值加速度相對誤差為7.82%（表6）。

表6 天津波作用下模型B的頂層響應(yīng)Table 6 Top response of Model B under Tianjin wave

因此，模型B 的計算結(jié)果再次證明了黏性阻尼模型在構(gòu)造阻尼矩陣時總是面臨如何合理考慮振型組合的問題，不同的振型組合將造成計算結(jié)果的較大差異，基于黏性阻尼模型的近似解耦法計算結(jié)果的正確性依賴于振型組合的合理選擇，工程常用的振型組合方法（例如VD1 選擇第一階振型和第二階振型進(jìn)行組合）也會導(dǎo)致較大的誤差（見Taft 波的計算結(jié)果），這必然導(dǎo)致該方法的合理性難以判定。與基于黏性阻尼模型的近似解耦法相比，基于復(fù)阻尼模型的近似解耦法計算結(jié)果唯一，合理性易被判定，適于推廣使用。

3 結(jié) 論

經(jīng)理論推導(dǎo)和算例分析，得到以下結(jié)論：

（1）依據(jù)結(jié)構(gòu)的損耗因子可快速確定結(jié)構(gòu)復(fù)阻尼矩陣，在此基礎(chǔ)上提出了基于復(fù)阻尼模型的近似解耦法，利用三角級數(shù)法實(shí)現(xiàn)了地震作用下混合結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的時程計算。

（2）采用分塊Rayleigh 阻尼矩陣法構(gòu)造阻尼矩陣時，對于二自由度體系，基于黏性阻尼模型的近似解耦法計算結(jié)果唯一，與基于復(fù)阻尼模型的近似解耦法計算結(jié)果近似相等；對于一般多自由度體系，基于黏性阻尼模型的近似解耦法計算結(jié)果不具有唯一性，其計算結(jié)果的正確性依賴于振型組合的合理選擇，導(dǎo)致方法的合理性難以判定。

（3）小阻尼情況下，基于復(fù)阻尼模型的近似解耦法計算結(jié)果可滿足計算精度，且計算結(jié)果具有唯一性，不涉及振型組合選擇問題，合理性易被判定。