非平穩(wěn)地震激勵(lì)下結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠性方法對(duì)比研究

唐和生 郭雪媛 薛松濤

（1.同濟(jì)大學(xué)結(jié)構(gòu)防災(zāi)減災(zāi)工程系，上海200092；2.同濟(jì)大學(xué)土木工程防災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200092）

0 引 言

結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠性是指結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在規(guī)定的時(shí)間間隔內(nèi)，在隨機(jī)動(dòng)力荷載作用下完成其預(yù)定功能的概率。結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠性分析對(duì)基于性能的地震工程研究有著重要意義，為結(jié)構(gòu)滿足規(guī)定的性能指標(biāo)提供了概率性的評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)。

在結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠性問題中，當(dāng)結(jié)構(gòu)的某一與位移或速度響應(yīng)相關(guān)的量（例如，絕對(duì)位移、相對(duì)位移、控制點(diǎn)的應(yīng)力或應(yīng)變等）超過給定閾值（確定性的常量）時(shí)，認(rèn)為結(jié)構(gòu)失效。這種基于規(guī)定時(shí)間段內(nèi)累積失效概率的可靠性評(píng)估問題也被稱為首次超越問題。地震從發(fā)生到結(jié)束是一個(gè)具有明顯非平穩(wěn)性的隨機(jī)過程，即使是最簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)模型在非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)下的失效概率解析解也無法獲得，而Monte Carlo 模擬（MCS）方法作為目前唯一的近似精確方法計(jì)算成本極其昂貴。根據(jù)首次超越問題的基本理論，現(xiàn)有的非平穩(wěn)隨機(jī)過程激勵(lì)下動(dòng)力可靠性研究方法主要分為基于跨越率的方法和基于極值的方法。

Rice［1］首先提出了基于跨越率的方法，隨后在跨越事件的發(fā)生服從Poisson 過程且統(tǒng)計(jì)獨(dú)立假設(shè)的基礎(chǔ)上，出現(xiàn)了大量研究。石少卿等［2］應(yīng)用演變譜理論，通過求解多自由度線性體系在非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)作用下的響應(yīng)演變譜密度和時(shí)變均方響應(yīng)解決了首次超越問題。Chaudhuri 和Chakraborty［3］在頻域內(nèi)進(jìn)行隨機(jī)動(dòng)力分析，得到隨機(jī)響應(yīng)的功率譜密度函數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)三維框架結(jié)構(gòu)的動(dòng)力可靠性分析。Barbato和Vasta［4］在改進(jìn)后的Vanmarcke公式的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了多自由度線性系統(tǒng)失效概率的封閉解。如上所述均為首次超越問題的近似分析方法，為了計(jì)算首次超越問題，還需進(jìn)一步對(duì)首次超越事件的性質(zhì)進(jìn)行假定［5］。近年來，Andrieu-Renuad 等［6］提出一種PHI2 方法，引入一階可靠度方法（FORM），將跨越率的計(jì)算轉(zhuǎn)換為并聯(lián)的靜態(tài)問題并且得到了推廣［7］。然而在實(shí)際工程中，結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠性分析為高度非線性且高維的隱式問題，這一類方法并不適用。因此，目前主要仍采用通過計(jì)算響應(yīng)的功率譜密度函數(shù)［8］，結(jié)合首次超越破壞準(zhǔn)則評(píng)估結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠性。

基于極值方法的關(guān)鍵在于識(shí)別極限狀態(tài)函數(shù)的極值，在極值概率分布已知的情況下，時(shí)變可靠性問題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)時(shí)不變問題?；跇O值的方法在小失效概率問題中，往往需要進(jìn)行大量的數(shù)值模擬［9］。為了提高計(jì)算效率，構(gòu)建極限狀態(tài)函數(shù)的代理模型方法已被廣泛研究［10-11］，然而絕大多數(shù)代理模型由于存在維數(shù)詛咒而不適用于非平穩(wěn)隨機(jī)過程激勵(lì)下的動(dòng)力可靠性問題［12］。另一方面，研究者通過改進(jìn)采樣技術(shù)提高可靠性問題的計(jì)算效率。重要性采樣［13］將樣本從原始分布轉(zhuǎn)移到失效區(qū)域，以便更有效地抽取小概率事件。子集模擬方法［14］通過引入適當(dāng)?shù)闹虚g失效域，將原概率空間中的一個(gè)罕見事件的概率表示為條件概率空間中的序列事件概率的乘積，是近年來發(fā)展起來的一種計(jì)算小失效概率的高效可靠性分析方法［15］。

本文對(duì)目前常用的兩種結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠性方法進(jìn)行對(duì)比研究，探討非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)頻譜特征及響應(yīng)閾值對(duì)兩種方法計(jì)算精度的不同影響，為結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠性問題提供更為通用的分析方法。

1 基于跨越率的動(dòng)力可靠性計(jì)算方法

根據(jù)首次超越理論，對(duì)于雙側(cè)界限的結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠性問題，結(jié)構(gòu)在規(guī)定時(shí)間段［0，T］內(nèi)的動(dòng)力可靠性為

式中：Pf(0，T)為累積失效概率；Y(t)為結(jié)構(gòu)在非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)下的響應(yīng)；b是確定性閾值。

假定非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)Y(t)為零均值高斯隨機(jī)過程，相對(duì)于確定閾值b 的平均跨越率為νY(b，t)。通過對(duì)跨越率在時(shí)間段［0，T］內(nèi)的積分得到累積失效概率的解析上限：

式中：E[...]為期望算子；N(T)為T時(shí)刻前跨越閾值的次數(shù)。

傳統(tǒng)的Poisson 過程法基于任意兩次交叉事件與其發(fā)生的時(shí)間統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，服從（無記憶）Poisson 過程假設(shè)。隨著響應(yīng)閾值提高和響應(yīng)過程帶寬的增加（如線性彈性系統(tǒng)中阻尼水平的增加），Poisson 過程法結(jié)果趨近于精確解。然而對(duì)于低閾值水平和/或窄帶過程，Poisson過程法得到的是累積失效概率的保守值，將低估時(shí)變可靠性。

為克服Poisson 過程法的限制，Vanmarcke［16］認(rèn)為交叉事件是成群出現(xiàn)的且各群之間相互獨(dú)立，在雙態(tài)Markov 過程假設(shè)的基礎(chǔ)上提出了一種累積失效概率的改進(jìn)估計(jì)：

式中，σY(t)和σY?(t)分別為隨機(jī)過程Y(t)及其一階導(dǎo)數(shù)過程的標(biāo)準(zhǔn)差，并且有

式中，λk(t)=2ωkSyy(ω，t)dω 為隨機(jī)過程Y(t)的第k 階譜矩，可進(jìn)一步通過虛擬激勵(lì)法對(duì)非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)下f(t)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)Y(t)進(jìn)行求解。

針對(duì)工程中常見的非平穩(wěn)隨機(jī)過程，Priestley提出一種演變譜過程模型，表示為

式中，A（t，ω）是t與ω 的確定性調(diào)制函數(shù)；Z（ω）是一個(gè)正交增量過程。

如果用A（t）代替A（t，ω），則非均勻調(diào)制演變譜退化為工程中常用的均勻調(diào)制演變譜。構(gòu)造如下形式的虛擬激勵(lì)：

此激勵(lì)在t 時(shí)刻產(chǎn)生的響應(yīng)為y?(ω，t)，可得任意響應(yīng)的自功率譜函數(shù)計(jì)算式為

式中，*表示取復(fù)數(shù)共軛，相應(yīng)的各階譜矩為

虛擬激勵(lì)法將非平穩(wěn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)化為確定性外荷載作用下瞬態(tài)響應(yīng)方程，故可用Newmark-β 或Wilson-θ 法求解所關(guān)注物理量的虛擬響應(yīng)并得到其時(shí)變功率譜密度及各階譜矩。

盡管基于跨越率的方法在理論推導(dǎo)方面是合理的，但在實(shí)際應(yīng)用中通常會(huì)受到一些限制。首先，交叉事件的獨(dú)立性假設(shè)可能不成立，即使基于Markov 過程假設(shè)，動(dòng)力可靠性的近似仍存在不可避免的誤差；其次，對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的動(dòng)力可靠性問題，跨越率求解不僅技術(shù)難度大，而且計(jì)算成本極高。

2 基于極值的動(dòng)力可靠性計(jì)算方法

基于極值的方法關(guān)注結(jié)構(gòu)在規(guī)定時(shí)間段內(nèi)的極限狀態(tài)，由非平穩(wěn)隨機(jī)過程的演變譜表示理論，導(dǎo)出了非平穩(wěn)隨機(jī)過程模擬的一個(gè)譜表示方法，隨機(jī)激勵(lì)樣本函數(shù)由余弦級(jí)數(shù)公式計(jì)算產(chǎn)生：

式中，Δω=ωu/N，ωu表示計(jì)算截止頻率，超過ωu所對(duì)應(yīng)功率譜能量可忽略不計(jì)；θk為在［0，2π］區(qū)間上均勻分布、相互獨(dú)立的隨機(jī)相位角。

因此非平穩(wěn)隨機(jī)過程激勵(lì)可轉(zhuǎn)換為一組隨機(jī)變量θ=[θ1，...，θk]表示，動(dòng)力可靠性問題被轉(zhuǎn)化為與時(shí)間無關(guān)的一個(gè)隱式非線性高維可靠性問題。定義結(jié)構(gòu)響應(yīng)在時(shí)間段［0，T］內(nèi)的極值變量：

式中，θ為隨機(jī)激勵(lì)的一次樣本。

極值法將結(jié)構(gòu)的動(dòng)力可靠性問題轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)等效極值分布的求解，則根據(jù)首次超越理論，累積失效概率可表達(dá)為

基于抽樣的方法由于與維數(shù)無關(guān)且未對(duì)極限狀態(tài)函數(shù)做任何假設(shè)，目前是解決高維可靠性問題的唯一可行方法，本文采用子集模擬方法提高計(jì)算效率。子集模擬方法的基本思想是通過自適應(yīng)地引入m 層嵌套的中間事件，滿足FE1?FE2?…?FEm=FE，將小失效概率轉(zhuǎn)換成一系列相對(duì)較大的失效概率的乘積，即P(FEm)＜P(FEm-1)＜…＜P(FE1)。中間事件與目標(biāo)失效事件FE 的 表 達(dá) 相 似，定 義 為FEi={ye＞bi，i=1，…，m}(b=bm＞…＞b2＞b1)。其中，m 為中間事件的總數(shù)。為自適應(yīng)地確定中間事件，設(shè)定所有的中間條件概率為一常數(shù)p0，通常為兼顧準(zhǔn)確性與計(jì)算效率取值p0∈[0.1，0.3]。

因此子集模擬方法首先根據(jù)不確定參數(shù)概率分布通過MCS 產(chǎn)生第一層隨機(jī)樣本，然后采用MCMC 方法不斷產(chǎn)生中間事件相應(yīng)的樣本，最終子集模擬算法中的累積失效概率可表示為

3 數(shù)值算例

以單自由度結(jié)構(gòu)為例研究非平穩(wěn)隨機(jī)過程頻譜特征和響應(yīng)閾值兩個(gè)因素對(duì)基于跨越率和基于極值的動(dòng)力可靠性計(jì)算方法精度的影響，并以樣本數(shù)為106的MCS 方法計(jì)算結(jié)果作為準(zhǔn)確值。單自由度結(jié)構(gòu)受到非平穩(wěn)地震激勵(lì)時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程為

式中，m=20 000 kg；c 和k 分別為質(zhì)量、阻尼和剛度；u(t)、u?(t)和u(t)分別為位移、速度和加速度。

結(jié)構(gòu)所受非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)的調(diào)制函數(shù)為

式中，T=20 s，ta=2.5s，tb=10 s，β=0.1，計(jì)算步長(zhǎng)Δt=0.02 s，功率譜密度函數(shù)取Kanai-Tajimi模型：

式中，ξg=0.6。

本研究中各計(jì)算工況見表1，各工況下功率譜密度函數(shù)如圖1 所示。各工況中非平穩(wěn)隨機(jī)過程頻譜特征ωg和S0取值滿足非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)所包含總能量相同。

表1 計(jì)算工況Table 1 Calculation condition

圖1 功率譜密度函數(shù)Fig.1 Power spectral density functions

位移響應(yīng)的絕對(duì)值超過閾值b 則認(rèn)為結(jié)構(gòu)失效，各工況下閾值分別設(shè)置為0.85 m、0.9 m 和0.95 m，用于比較響應(yīng)閾值對(duì)動(dòng)力可靠性計(jì)算結(jié)果的影響。對(duì)各工況分別采基于跨越率的方法、基于極值的方法和MCS 方法進(jìn)行分析，其中基于極值的子集模擬算法中參數(shù)取值p0=0.3，第一層樣本數(shù)為2 500。

4 結(jié)果分析

首先考慮非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)的頻譜特征對(duì)動(dòng)力可靠性計(jì)算的影響。位移響應(yīng)閾值均取b=0.09 m時(shí)，不同Kanai-Tajimi模型中的地基土卓越圓頻率ωg對(duì)應(yīng)6 個(gè)工況，采用基于跨越率的方法和基于極值的方法計(jì)算得到的累積失效概率隨持時(shí)的變化曲線分別于MCS方法對(duì)比如圖2所示。

由圖2 可以看出，對(duì)于不同的非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)頻譜特征ωg和S0，基于極值的方法與基于跨越率的方法相比，計(jì)算結(jié)果都與MCS 方法更為相近，即計(jì)算精度更高；隨著失效概率的增大，基于跨越率方法的誤差逐漸減小，其中工況3、工況4的跨越率方法累積失效概率曲線與MCS 方法幾乎重合；在計(jì)算效率方面，以工況3 為例，基于極值的方法所需時(shí)程分析總數(shù)為21 265 次，約為MCS 方法計(jì)算量的2.13%，計(jì)算效率顯著提高，而基于跨越率的方法本質(zhì)為求數(shù)值解計(jì)算成本極低。

同時(shí)考慮非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)頻譜特性及響應(yīng)閾值兩個(gè)影響因素，圖3 及表2、表3 為兩種方法計(jì)算各工況在T=20 s 的累積失效概率與MCS 方法的相對(duì)誤差。結(jié)果表明：①非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)的頻譜特征對(duì)基于跨越率的方法有明顯影響，當(dāng)Kanai-Tajimi 模型中的地基土卓越圓頻率ωg與結(jié)構(gòu)圓頻率ωS=3.704πrad/s 差距增大，計(jì)算精度顯著下降；②響應(yīng)閾值對(duì)功率譜方法的準(zhǔn)確性也有一定影響，隨響應(yīng)閾值的降低，計(jì)算精度有所改善，且基于跨越率的方法對(duì)可靠性預(yù)測(cè)大部分偏保守；③基于極值的方法對(duì)隨機(jī)激勵(lì)的頻譜特征和響應(yīng)閾值并不敏感，且由于樣本抽取的隨機(jī)性，誤差有微小變化，表明基于極值的方法在各種情況下均保持較高的計(jì)算精度。

5 結(jié)論

本文對(duì)非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)下結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠性分析的兩種常用方法進(jìn)行了對(duì)比研究，分析了非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)頻譜特征及響應(yīng)閾值兩種因素對(duì)于動(dòng)力可靠性方法計(jì)算精度的影響。主要結(jié)論如下：

圖2 b=0.09 m時(shí)累積失效概率Fig.2 Cumulative probability of failure for b=0.09 m

圖3 20 s時(shí)相對(duì)誤差對(duì)比Fig.3 Comparison of relative error at 20 s

表2 T=20 s跨越率方法相對(duì)誤差Table 2 Relative error of out-crossing rate based method at 20 s

表3 T=20 s極值方法相對(duì)誤差Table 3 Relative error of extreme value based method at 20 s

（1）基于跨越率的方法在計(jì)算累積失效概率時(shí)，受到非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)的頻譜特征影響顯著，當(dāng)Kanai-Tajimi 模型中的地基土卓越圓頻率與結(jié)構(gòu)圓頻率接近時(shí)，計(jì)算精度顯著提高。

（2）隨著定義失效事件的響應(yīng)閾值提高，基于跨越率方法的動(dòng)力可靠性計(jì)算誤差逐漸增大。響應(yīng)閾值和非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)頻譜特征對(duì)于基于跨越率方法的精度影響，本質(zhì)均表現(xiàn)為該方法在小失效概率問題中誤差較大。

（3）基于極值的方法與基于跨越率的方法相比，在各種工況中均具有良好的精度，不受到非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)頻譜特征和響應(yīng)閾值的影響。并且作為一種本質(zhì)為數(shù)值模擬的方法，與傳統(tǒng)的MCS 方法相比具有相當(dāng)高的計(jì)算效率。因此，基于極值的方法是一種具有更廣泛適用性的動(dòng)力可靠性分析方法。