一種適應(yīng)多目標(biāo)軌道的運載火箭彈道制導(dǎo)設(shè)計方法

王 穎，唐明亮，郝釧釧，朱亮聰，馮繼航

（上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201109）

引 言

隨著經(jīng)濟與科技的發(fā)展，衛(wèi)星在人類生活中起著越來越重要的作用。隨著深空探測步伐的加快，單顆衛(wèi)星已逐漸難以滿足復(fù)雜任務(wù)需求，利用衛(wèi)星之間組網(wǎng)協(xié)同進行深空探測與開發(fā)已成為必然趨勢[1]，運載火箭發(fā)射任務(wù)也呈現(xiàn)多樣性。受限于運載火箭運載能力及末級變軌能力，組網(wǎng)星座往往需拆分成多次發(fā)射任務(wù)，為減少單顆衛(wèi)星用于變軌組網(wǎng)的推進劑消耗，單次任務(wù)目標(biāo)軌道往往根據(jù)已在軌衛(wèi)星軌道確定。受多種攝動因素影響，在軌衛(wèi)星軌道參數(shù)在一定范圍內(nèi)變動，因此對于多星組網(wǎng)發(fā)射任務(wù)，運載火箭的目標(biāo)軌道往往為多組目標(biāo)軌道，且入軌精度要求嚴(yán)格。

隨著運載技術(shù)的發(fā)展，對制導(dǎo)精度也提出了更高的要求，傳統(tǒng)的攝動制導(dǎo)已經(jīng)無法滿足，需要研究適應(yīng)能力更強、制導(dǎo)精度更高的自適應(yīng)算法。迭代制導(dǎo)方法是自適應(yīng)制導(dǎo)算法中應(yīng)用最多的一種。該方法以最優(yōu)控制理論為基礎(chǔ)，根據(jù)火箭飛行瞬時狀態(tài)和終端目標(biāo)，實時確定最優(yōu)推力方向，具有制導(dǎo)精度高、任務(wù)適應(yīng)性強、箭上飛行軟件簡單、裝訂諸元少等優(yōu)點。1967年，Chandler和Smith首先給出了迭代制導(dǎo)方法[2]，該方法在國外得到廣泛應(yīng)用，美國的“土星5號”（Saturn 5）運載器、歐洲航天局（European Space Agency，ESA）的“阿里安”（Ariane）火箭、俄羅斯的“能源號”（Energia）重型運載火箭等都采用了迭代制導(dǎo)技術(shù)。國內(nèi)學(xué)者也進行了相關(guān)研究，并通過仿真證明了迭代制導(dǎo)方法的有效性[3]。相比傳統(tǒng)攝動制導(dǎo)，迭代制導(dǎo)方法抗干擾能力更強，目前迭代制導(dǎo)已在我國現(xiàn)代運載火箭上得到越來越多的成功應(yīng)用[4-5]。

但是以上研究往往以單一任務(wù)為問題背景，對于多組目標(biāo)軌道任務(wù)，為保證每組目標(biāo)軌道的入軌精度，必須進行多條彈道設(shè)計以得到相應(yīng)的制導(dǎo)終端約束。為此多目標(biāo)軌道要求往往給彈道設(shè)計及制導(dǎo)系統(tǒng)帶來大量相似的繁復(fù)工作，極大增加了系統(tǒng)復(fù)雜性及出錯概率。本文根據(jù)多目標(biāo)軌道入軌點位置相近的特點和迭代制導(dǎo)優(yōu)勢，提出一種新的設(shè)計方法，即根據(jù)其中一組目標(biāo)軌道進行彈道設(shè)計，并假定其它目標(biāo)軌道衛(wèi)星入軌位置不變，根據(jù)不同的軌道要求生成相應(yīng)的終端制導(dǎo)參數(shù)，實現(xiàn)多組目標(biāo)軌道入軌。

1 迭代制導(dǎo)的基本算法

運載火箭的迭代制導(dǎo)問題，實際上是通過將火箭動力學(xué)方程轉(zhuǎn)換成狀態(tài)方程來描述火箭運動，以火箭瞬時狀態(tài)為初值，入軌點狀態(tài)為終端約束，瞬時點到入軌點的剩余飛行時間最短為性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題。

攝動制導(dǎo)[6]是對導(dǎo)航參數(shù)的組合進行控制，這只在干擾小的情況下等價于直接控制物理量。迭代制導(dǎo)則不再依靠標(biāo)準(zhǔn)彈道，用解析方式預(yù)測飛行終端條件，通過調(diào)整飛行軌跡使終端條件滿足所有給定的入軌條件，而入軌條件直接對應(yīng)了軌道根數(shù)。

為方便求解，將發(fā)動機最佳推力方向近似為時間的線性函數(shù)。制導(dǎo)方程形式為

式（1）構(gòu)成飛行中的程序角變化曲線，據(jù)此可以對火箭動力學(xué)參數(shù)進行積分和推算。

若推力不可調(diào)節(jié)，在干擾下將難以在保證軌道精度的同時實現(xiàn)定點入軌，需通過迭代獲得最佳入軌點。以當(dāng)前狀態(tài)為基礎(chǔ)計算速度與位置的增量為

考慮引力影響后可在目標(biāo)軌道上搜索與之匹配的點，利用梯度搜索快速迭代出最優(yōu)解為是火箭軸向視加速度，由加速度計測

其中：g(tk)為引力在tk內(nèi)對速度的影響；f(S)為利用目標(biāo)軌道根數(shù)計算的飛行速度，是位置S的函數(shù)。

1）速度約束

從當(dāng)前速度開始，在發(fā)動機推力和引力共同作用下到達目標(biāo)速度，有

因此，對于發(fā)動機所產(chǎn)生速度增量的需求為

縱向終端速度已由關(guān)機條件保證，法向和橫向的終端速度則由式（1）中的滿足

2）位置約束

上述入軌點計算中縱向位置是通過飛行時間tk來滿足的。而法向和橫向的終端位置則依靠式（1）中的(?k1+k2×t)和(?k3+k4×t)來保證，參數(shù)k1～k4應(yīng)滿足以下條件。

a）不對終端速度產(chǎn)生明顯影響，近似滿足

且k1～k4為小量，因為只有當(dāng)(?k1+k2×t)和(?k3+k4×t)分別相對于、為小量時，式（6）中的三角函數(shù)展開式才得以簡化，從而式（9）形式的解析解才能夠成立。

b）滿足終端位置約束，即

將式（10）～（13）聯(lián)立，求解k1～k4解析解。

迭代制導(dǎo)通過規(guī)劃全部剩余飛行時間內(nèi)的姿態(tài)變化規(guī)律，來實現(xiàn)對多個變量的同時控制。在實際應(yīng)用中，為提高入軌時刻火箭的穩(wěn)定性，會提前停止迭代計算，因此產(chǎn)生少量的控制誤差，最終誤差的量級取決于停止迭代后的姿態(tài)跟蹤誤差。

2 多目標(biāo)軌道下聯(lián)合設(shè)計方法

本文提出的多目標(biāo)軌道下彈道制導(dǎo)聯(lián)合設(shè)計方法具體實現(xiàn)過程如圖1所示。主要步驟如下：

1）獲取任務(wù)方多組目標(biāo)軌道要求，根據(jù)規(guī)律選取中間狀態(tài)的目標(biāo)軌道作為標(biāo)稱軌道，開展彈道設(shè)計；

2）彈道設(shè)計完成，生成標(biāo)稱飛行彈道以及標(biāo)稱入軌點參數(shù)；

3）假定其余目標(biāo)軌道入軌點位置不變，求出由地球非球形引力J2項引起的短周期攝動，計算其余目標(biāo)軌道的入軌點參數(shù)；

4）根據(jù)二體運動方程理論，計算各目標(biāo)軌道的迭代制導(dǎo)終端參數(shù)；

5）根據(jù)迭代制導(dǎo)終端參數(shù)，運用迭代制導(dǎo)方法實現(xiàn)多目標(biāo)軌道精確入軌。

該方法實現(xiàn)簡單、精度較高，并對運載能力影響較小，對多目標(biāo)軌道任務(wù)適應(yīng)性強。同時還具有對目標(biāo)軌道變化響應(yīng)快，設(shè)計參數(shù)調(diào)整范圍小的特點，因此也適用于目標(biāo)軌道臨時微調(diào)的情況。

圖1 多目標(biāo)軌道聯(lián)合設(shè)計流程圖Fig.1 Union design flow chart of multi-target orbit trajectory

2.1 彈道設(shè)計目標(biāo)軌道選擇

表達衛(wèi)星軌道的基本變量通常有兩類：一類是衛(wèi)星的位置矢量r和速度矢量；另一類即軌道根數(shù)[7-9]。

衛(wèi)星運動變化軌道是橢圓軌道，導(dǎo)致橢圓軌道變化的力學(xué)因素稱為攝動因素。對于不同高度和大小的衛(wèi)星以及在不同的定軌精度要求下，需要考慮的攝動因素是不同的。對于低軌衛(wèi)星，通?？紤]較多的攝動因素為地球非球形引力J2項攝動?，F(xiàn)將根數(shù)的攝動變化按其性質(zhì)分解成長期變化、長周期變化和短周期變化3部分，只包含長期變化和長周期變化的攝動解稱為擬平均軌道根數(shù)，工程簡稱平根數(shù)。

當(dāng)任務(wù)方針對多星組網(wǎng)任務(wù)提出多組目標(biāo)軌道平根數(shù)要求時，本文先分析多組目標(biāo)軌道根數(shù)的變化規(guī)律，為使由入軌點位置不變假定帶來的多組目標(biāo)軌道總?cè)胲壠钭钚?，這里選擇一組軌道根數(shù)為中間值的目標(biāo)軌道進行彈道設(shè)計，生成火箭飛行彈道以及入軌參數(shù)。

2.2 多目標(biāo)軌道的迭代制導(dǎo)終端參數(shù)推導(dǎo)

完成目標(biāo)軌道選取并進行飛行彈道設(shè)計后，生成對應(yīng)的入軌參數(shù)。對其它多組目標(biāo)軌道，假定衛(wèi)星入軌點位置同選中目標(biāo)軌道，即地心緯度φζ不變。先根據(jù)其它他多組目標(biāo)軌道的傾角要求i0及球面三角公式求出初始緯度幅角，由初始相位可得初始真近點角，以及初始平近點角，其中，進一步可求出由J2項引起的短周期攝動

根據(jù)二體運動方程理論，可以得出終端坐標(biāo)系下迭代制導(dǎo)終端參數(shù)與瞬時目標(biāo)軌道根數(shù)的關(guān)系。

終端坐標(biāo)系OE?xTcyTczTc是根據(jù)迭代制導(dǎo)目標(biāo)點所確定的坐標(biāo)系，坐標(biāo)系原點OE為地心，OEYTc軸指向目標(biāo)點，OEZTc軸指向軌道動量矩方向。根據(jù)終端坐標(biāo)系的定義應(yīng)有

終端坐標(biāo)系的Y向位置yTc即目標(biāo)點的地心距r為

根據(jù)定義，終端坐標(biāo)系OExTc軸與當(dāng)?shù)厮矫嫫叫?，與衛(wèi)星運動方向相反，因此

終端坐標(biāo)系Y向速度即為目標(biāo)點的法向速度，因此有

目標(biāo)點引力加速度如下

其中：gr為地球引力加速度在位置矢量r上的投影，gω為地球引力加速度在地球自轉(zhuǎn)角速度矢量ω上的投影。

綜上，可由一條選中目標(biāo)軌道得到其他多組目標(biāo)軌道終端坐標(biāo)系下目標(biāo)點的位置速度參數(shù)。其他終端參數(shù)：目標(biāo)速度傾角、發(fā)慣系到終端軌道坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換矩陣、關(guān)機特征量等亦可相應(yīng)求出。

3 仿真校驗

為進一步研究該聯(lián)合設(shè)計方法對多目標(biāo)軌道任務(wù)的適應(yīng)性，本文以某兩級運載火箭為例，分別用傳統(tǒng)彈道制導(dǎo)分別設(shè)計方法與聯(lián)合設(shè)計方法進行仿真。該火箭2級分為主機段和游機段，仿真時選擇迭代制導(dǎo)在游機工作段開始后10 s加入，至游機關(guān)機前10 s結(jié)束。其中，方法1表示傳統(tǒng)彈道制導(dǎo)分別設(shè)計方法，方法2表示本文所提彈道制導(dǎo)聯(lián)合設(shè)計方法。

3.1 適應(yīng)性分析

為更好分析本文方法對不同軌道根數(shù)的影響，下面分別對軌道傾角相同、半長軸多目標(biāo)軌道和半長軸相同、軌道傾角多目標(biāo)軌道進行仿真。仿真結(jié)果如下。

從表1可以看出，對于軌道傾角相同、半長軸的多組目標(biāo)軌道，用聯(lián)合設(shè)計方法計算出的運載能力與傳統(tǒng)彈道設(shè)計法計算結(jié)果基本一致。由于半長軸偏差主要依靠切向速度變化實現(xiàn)，而俯仰角是切向速度的主要控制量，表2中對應(yīng)不同軌道半長軸迭代止導(dǎo)俯仰角的變化較為明顯。

表1 半長軸軌道設(shè)計結(jié)果對比（運載能力偏差）Table 1 Design result comparison for different semi-major axis（carrying capacity deviation)

表2 半長軸軌道設(shè)計結(jié)果對比（迭代止導(dǎo)姿態(tài)角）Table 2 Design result comparison for different semi-major axis（Iterative attitude angle)

當(dāng)多組目標(biāo)軌道有且僅有半長軸偏差時，在非線性段調(diào)姿能力足夠的情況下，可用方法2代替方法1進行彈道制導(dǎo)設(shè)計。從表3可以看出，對于半長軸一致，軌道傾角鄰近的多組目標(biāo)軌道，軌道傾角偏差為負偏差時，兩種方法運載能力的計算結(jié)果基本一致；對于軌道傾角偏差為正偏差的情況，聯(lián)合設(shè)計方法計算結(jié)果劣于傳統(tǒng)設(shè)計方法，且運載能力損失隨軌道傾角偏差增加而增大。

表3 軌道傾角軌道設(shè)計結(jié)果對比（運載能力偏差）Table 3 Design result comparison for different inclination（carrying capacity deviation）

對同一發(fā)射地點而言，目標(biāo)軌道傾角越大，地球自轉(zhuǎn)速度在發(fā)射方向的分量越小，對運載火箭能力增加越不利，因此對于軌道傾角偏差為正的目標(biāo)軌道，傾角偏差越大，運載能力損失越大。與此同時，在該算例中，聯(lián)合設(shè)計方法的迭代制導(dǎo)于二級游機段加入，在迭代制導(dǎo)加入前多目標(biāo)軌道的飛行軌跡相同，僅通過改變二級游機段火箭速度方向以改變目標(biāo)軌道入軌傾角。相比方法1從起飛便開始優(yōu)化速度方向，方法2中2級游機段的飛行速度已經(jīng)較大，改變其飛行方向所造成的速度損失也更大，因此方法2運載能力損失較方法1大。該現(xiàn)象在工程實際中應(yīng)引起重視，需根據(jù)運載能力及入軌精度來綜合確定彈道制導(dǎo)聯(lián)合設(shè)計法可適應(yīng)的傾角正偏差范圍。

由于軌道傾角主要依靠側(cè)向速度變化實現(xiàn)，而偏航角是側(cè)向速度的主要控制量，因此表4中偏航角變化明顯，實際還需結(jié)合后續(xù)非線性段調(diào)姿能力分析該項初值變化是否可行。

表4 軌道傾角軌道設(shè)計結(jié)果對比（迭代止導(dǎo)姿態(tài)角偏差）Table 4 Design result comparison for different inclination（Iterative attitude angle）

因此，本方法對軌道傾角相同半長軸以及半長軸相同軌道傾角負偏差的多目標(biāo)軌道的適應(yīng)性較好，對半長軸相同軌道傾角正偏差的多目標(biāo)軌道需結(jié)合運載能力是否足夠來進一步討論。不管是何種軌道，應(yīng)用本方法設(shè)計時均需考慮迭代止導(dǎo)姿態(tài)角偏差對姿控非線性段調(diào)姿的影響。為此，在對中間目標(biāo)軌道進行彈道設(shè)計時，為保證對多組目標(biāo)軌道的適應(yīng)能力，應(yīng)留有足夠的彈道余量以及非線性段調(diào)姿角速度余量。

3.2 任務(wù)仿真驗證

在對彈道制導(dǎo)聯(lián)合設(shè)計方法進行適應(yīng)性分析后，下面以具體任務(wù)為例進行仿真對比。假定某型任務(wù)提出多組目標(biāo)軌道要求如表5所示，入軌精度要求如表6所示。

表5 多目標(biāo)軌道要求Table 5 Multiple target orbit requirement

表6 衛(wèi)星入軌精度要求Table 6 Orbit injection accuracy requirement

表5中，衛(wèi)星為滿足多星組網(wǎng)要求，提出11組目標(biāo)軌道，其中半長軸和軌道傾角呈均勻分布，并且目標(biāo)軌道根數(shù)的單日變化量就已超過衛(wèi)星入軌精度要求。如采用傳統(tǒng)方案，需分別設(shè)計多條彈道，工作量大且極易出錯。以本文所提聯(lián)合設(shè)計方法，取軌道根數(shù)位于中間值的第6組軌道作為標(biāo)稱軌道開展彈道設(shè)計，得到一條標(biāo)稱飛行彈道，再根據(jù)標(biāo)稱彈道參數(shù)生成其它箭飛行軌跡設(shè)計結(jié)果，如圖2所示。不難發(fā)現(xiàn)，對應(yīng)不同的目標(biāo)軌道，火箭初始段飛行軌跡相同，末級段根據(jù)不同的目標(biāo)軌道要求而呈均勻分布。在工程實際中，對多組目標(biāo)軌道要求任務(wù)來說，多條飛行彈道初始段軌跡相同可以極大減輕航區(qū)中心線選擇、落區(qū)勘測的困難度，降低任務(wù)復(fù)雜性。

圖2 多目標(biāo)發(fā)射彈道聯(lián)合設(shè)計結(jié)果圖Fig.2 Trajectory of multi-target orbit union design result

3.2.1 入軌精度仿真結(jié)果

采用聯(lián)合設(shè)計方法對多組目標(biāo)軌道的入軌設(shè)計精度進行仿真，結(jié)果如表7所示。

表7 多目標(biāo)軌道入軌設(shè)計精度Table 7 Design orbit injection accuracy of multi-target orbit

實際仿真結(jié)果表明，聯(lián)合設(shè)計方法得到的多組軌道入軌精度均滿足要求，并且比指標(biāo)值小1～2個數(shù)量級。

3.2.2 運載能力與傳統(tǒng)方法對比

以某2級運載火箭為例，用方法1和方法2分別對多組目標(biāo)軌道進行仿真計算，運載能力變化情況對比見表8。

表8中方法1和方法2對第6組軌道運載能力變化量均為0。方法1針對每條目標(biāo)軌道分別進行彈道制導(dǎo)設(shè)計；方法2選擇一組軌道作為中間軌道進行彈道設(shè)計，其余軌道根據(jù)入軌點位置不變假設(shè)，根據(jù)不同的目標(biāo)軌道要求生成入軌瞬時軌道根數(shù)，并根據(jù)二體運動方程理論，生成終端坐標(biāo)系下的迭代制導(dǎo)參數(shù)，最后采用迭代制導(dǎo)完成入軌。這里方法2選擇第6組軌道作為中間軌道，因此兩種方法針對第6組目標(biāo)軌道的設(shè)計方法相同，運載能力也相同。其他組目標(biāo)軌道均相對第6組軌道設(shè)計結(jié)果進行對比，對比基準(zhǔn)相同。

表8 運載能力變化情況Table 8 Carrying capacity changes kg

在多組目標(biāo)軌道的半長軸以及軌道傾角相對標(biāo)稱軌道為負偏差時，方法2的運載能力變化量與方法1相當(dāng)；在目標(biāo)軌道半長軸及軌道傾角相對標(biāo)稱軌道為正偏差時，方法2運載能力損失值比方法1大，并且方法2相對方法1的運載能力損失值隨正偏差增加而增大。根據(jù)3.1節(jié)的分析，該現(xiàn)象主要是由傾角正偏差引起，方法1和方法2對除傾角正偏差以外的其余軌道根數(shù)偏差引起的運載能力變化量相當(dāng)，而方法2由于為保證起始段飛行軌跡相同，引入迭代制導(dǎo)時間較晚，用以改變軌道傾角正偏差的速度損失更大，因此造成方法2對軌道傾角正偏差適應(yīng)性較方法1差。這也是工程應(yīng)用本方法時需考慮的因素之一。

3.2.3 迭代止導(dǎo)姿態(tài)角偏差仿真結(jié)果

下面分析本算例中聯(lián)合設(shè)計方法對迭代止導(dǎo)后無動力非線性段姿控調(diào)姿的影響。首先給出迭代制導(dǎo)止導(dǎo)時刻姿態(tài)角與第6組標(biāo)稱彈道的偏差情況如表9所示。

通過仿真結(jié)果可以看出，當(dāng)半長軸變化范圍在–15～+15 km，傾角變化范圍在–0.3°～+0.3°時，應(yīng)用聯(lián)合設(shè)計方法設(shè)計時，迭代止導(dǎo)時刻發(fā)慣系俯仰姿態(tài)角的最大變化量為4.17°，偏航姿態(tài)角的最大變化量為8.98°，即聯(lián)合設(shè)計方法對后續(xù)無動力非線性段姿態(tài)控制初值的影響隨目標(biāo)軌道與標(biāo)稱軌道偏差增加而增大。在實際應(yīng)用中應(yīng)加以注意，為適應(yīng)更大變化范圍的多目標(biāo)軌道，這里在設(shè)計標(biāo)稱彈道時，應(yīng)盡可能留足非線性段調(diào)姿時間或進一步加強火箭非線性段姿態(tài)控制能力。

表9 迭代止導(dǎo)時刻姿態(tài)角偏差Table 9 Iterative attitude angle deviation （°）

4 結(jié) 論

針對深空探測中不斷增加的多組目標(biāo)軌道要求任務(wù)，本文在傳統(tǒng)彈道制導(dǎo)設(shè)計的基礎(chǔ)上，提出一種新的彈道制導(dǎo)聯(lián)合設(shè)計方法：即只設(shè)計一條標(biāo)稱彈道，通過入軌位置不變假設(shè)，直接生成其余目標(biāo)軌道終端制導(dǎo)參數(shù)，從而滿足多目標(biāo)入軌要求。并結(jié)合某型運載火箭對某多組目標(biāo)發(fā)射任務(wù)進行仿真，仿真結(jié)果表明，與傳統(tǒng)彈道制導(dǎo)設(shè)計方法相比，新方法在運載能力損失可接受的情況下，可以實現(xiàn)同等水平的入軌設(shè)計精度，對多目標(biāo)軌道的適應(yīng)性強，極大減少了計算量，易于工程實現(xiàn)。同時，該方法也可推廣到目標(biāo)軌道參數(shù)臨時微調(diào)的發(fā)射任務(wù)，為人類探測深空提供更好的服務(wù)。