分離矩陣歸一化的單通道盲源分離幅度不確定性校正方法

馬藝偉，肖 瑛

(大連民族大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，遼寧 大連 116605)

盲源分離是一種在源信號和混合矩陣未知的條件下，僅僅通過觀測信號獲得源信號估計的一種技術(shù)[1]。近年來，盲源分離技術(shù)在語音信號處理、地震信號處理、故障檢測等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[2-3]。但是，單通道盲源分離和盲源分離的不確定性，仍然是制約盲源分離在工程上推廣應(yīng)用的技術(shù)瓶頸問題。盲源分離的不確定性問題包括排列不確定性、相位不確定性和幅度不確定性[4]，其中排列不確定性與相位不確定性通常僅在通信信號處理中需要解決，在其他較多工程應(yīng)用中均不具有特別影響。而幅度作為信號統(tǒng)計特性分析的一個重要參數(shù)，對于信號的時域以及時頻域分析往往不能忽略。如在飛行器試驗遙測振動信號處理中，準確獲得某路單通道振動信號包含的獨立分量，并確定該分量的幅度，對于試驗鑒定具有重要意義。

單通道盲源分離可看作欠定盲源分離的一種特例[5]，目前較為成功的是稀疏化盲源分離和分解擴維的盲源分離方法。其中稀疏化盲源分離利用信號的稀疏特性或信號經(jīng)過頻域或時頻域轉(zhuǎn)換后的稀疏特性，通過濾波實現(xiàn)源信號的估計[6]，當信號本身不具有稀疏特性，或在變換域中信號的頻譜或時頻譜具有交疊時，稀疏化盲源分離效果不佳。分解擴維方法是將觀測信號進行分解，得到多個分解分量實現(xiàn)觀測信號維數(shù)擴展，將欠定問題轉(zhuǎn)化為正定問題，并在此基礎(chǔ)上利用傳統(tǒng)盲源分離方法實現(xiàn)源信號的估計，典型的如結(jié)合經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解[7]、奇異值分解的ICA盲源分離方法[8]。而消除盲源分離幅度不確定性影響的主要方法為最小失真法[9]和分離矩陣能量歸一化方法[10]。其中最小失真法以分離信號與觀測信號方差最小為準則，實現(xiàn)對分離信號幅度的校正，這一方法隱含了混合矩陣具有單位方差的約束，而信號的混合過程常常是未知的，因此這一方法的應(yīng)用范圍受限。分離矩陣能量歸一化方法強制所有信號的幅值以單位1為標準，在每個頻率段上以單位陣為標準進行統(tǒng)一伸縮，從而消除各頻率段上的幅度不確定性，而非平穩(wěn)信號中頻率的估計并不準確，從而會使得分離矩陣能量歸一化方法的幅度校正方法失效或結(jié)果誤差較大。

基于單通道盲源分離和盲源分離幅度不確定性的已有研究成果，本文提出一種分離矩陣歸一化的單通道盲源分離幅度不確定性校正方法。利用小波分解實現(xiàn)單通道信號的擴維，將單通道盲源分離轉(zhuǎn)換為正定盲源分離問題，再利用FastICA方法得到分離矩陣，對分離矩陣進行歸一化處理，最后利用歸一化分離矩陣與小波分解擴維信號相乘得到最終分離信號，實現(xiàn)對盲源分離過程中幅度不確定性的校正。此方法無需額外設(shè)定約束條件，相對于最小失真法適用范圍更廣，方法直接在時域分離矩陣上操作，與分離矩陣能量歸一化方法相比實現(xiàn)更為簡單。仿真結(jié)果證明，文中提出的分離矩陣歸一化幅度校正方法在無噪聲干擾條件下校正相對誤差可以達到10-3，在信噪比大于15 dB條件下，校正相對誤差可達到10-2，幅度校正誤差小于最小失真法和分離矩陣能量歸一化方法，可滿足工程中信號處理分析需求。

1 盲源分離與幅度不確定性

X(t)=AS(t) 。

(1)

如果m=n，則式(1)中給出的混合模型的盲源分離模型稱為正定分離問題，此時約束混合矩陣A滿足非奇異且時不變，即分離矩陣A滿秩可逆，則一定可以得到一個逆矩陣使得式(2)成立。

Y(t)=WAS(t) 。

(2)

式中，Y(t)為源信號S(t)的估計。如果源信號滿足彼此獨立并且最多有一路為高斯噪聲信號的條件，分離矩陣W是可解的。如果m>n，即觀測信號的數(shù)目多于源信號的數(shù)目，稱其為超定盲源分離問題。根據(jù)矩陣變換原理，此時的混合矩陣可以簡化為秩為m×m的矩陣形式，即超定問題一定可以簡化為正定問題求解。更為普遍的情況是m

(3)

從最小失真法和分離矩陣能量歸一化方法的實現(xiàn)過程中可知，雖然最小失真法和分離矩陣能量歸一化方法均在一定條件下解決了盲分離幅度不確定性問題，但兩者都存在一定的局限性。最小失真法本質(zhì)上約束混合矩陣具有單位方差，這一條件在實際工程上往往難以保證，而分離矩陣能量歸一化方法涉及頻域變換，不僅存在能量泄漏帶來的誤差，同時對于非平穩(wěn)信號，以傅立葉變換為基礎(chǔ)的頻譜本身就無法保證其有效性。

2 結(jié)合小波變換的單通道盲源分離

將多分量單通道非平穩(wěn)信號分解得到單分量信號進行分析，是故障信號檢測和分析的一般方法。目前，小波變換[13]、經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解[14]、局域均值分解[15]等方法在非平穩(wěn)信號處理中均取得了較好的效果。將非平穩(wěn)信號分解與盲源分離結(jié)合可以進一步保證分解分量信號的正交性，獲得更好的處理結(jié)果。文中結(jié)合小波變換和盲源分離實現(xiàn)單通道信號的處理和分析，處理流程如圖1。

在非平穩(wěn)信號的各種分解方法中，小波變換具有嚴格正交性，同時小波變換基函數(shù)包含尺度因子和平移因子，可以根據(jù)信號頻率內(nèi)容的不同得到更為精細的分解結(jié)果，因此小波變換在非平穩(wěn)信號的處理中具有獨特優(yōu)勢，根據(jù)Mallat算法[16]可以方便實現(xiàn)小波的分解與重構(gòu)。

雖然單通道多分量信號x(t)經(jīng)過小波分解可以得到一系列小波分量yi(t)，(i=1,2,…,m)，但由于小波分解層數(shù)和小波分解基函數(shù)的選擇不同，小波分解的性能也有所不同，因此得到的小波分量yi(t)一般不會達到理想的分析結(jié)果。以小波分解分量作為盲源分離的觀測信號進行盲源分離，可以進一步保證分量信號之間的正交性，得到分離后的信號分量xi(t)，(i=1,2,…,m)。在xi(t)基礎(chǔ)上進行信號頻域或時頻域的處理，將更有利于得到清晰的處理結(jié)果，如采用xi(t)進行WVD求解信號的時頻分布可以有效避免交叉項干擾問題[17]。

3 分離矩陣歸一化幅度校正方法

針對盲源分離幅度不確定性問題，提出一種簡單易實現(xiàn)的分離矩陣歸一化幅度校正方法。根據(jù)單通道盲源分離的實現(xiàn)過程可知，利用小波分解后的細節(jié)分量和近似分量求和可以還原單通道多分量信號，即在單通道盲源分離模型中，等效的混合矩陣并未改變信號中各個分量的幅度信息，因此，經(jīng)盲源分離得到的各個分離分量幅度的變化是由分離矩陣引起的。設(shè)經(jīng)盲源分離算法估計得到的分離矩陣如式(4)。

(4)

那么分離信號Y(t)可以表示為

Y(t)=WX(t) 。

(5)

根據(jù)矩陣系數(shù)乘積展開后可以得到

(6)

根據(jù)式(6)可知，分離信號Y(t)可以表示成為分離矩陣W與觀測信號X(t)的線性組合，那么如果保證經(jīng)過分離后信號的幅度保持不變，則對于分離矩陣的每一列必然要求式(6)成立。

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

4 仿真實驗

仿真中利用三個中心頻率不同的正弦信號疊加模擬多分量單通道信號，采樣頻率fs=2 048Hz，三個正弦信號的中心頻率分別為f1=5Hz，f2=20Hz，f3=100Hz。

(12)

其中幅度系數(shù)bi分別設(shè)置為b1=2、b2=3、b3=5，仿真信號的時域波形如圖2。

實際應(yīng)用中，單通道盲源分離需要事先確定源信號中獨立分量數(shù)目，本文采用邊際譜峰值確定源信號中所包含的獨立分量數(shù)目[18]，仿真信號的邊際譜如圖3，從圖中可以確定源信號中包含3個獨立分量。

對仿真信號利用小波變換進行分解，分解層數(shù)設(shè)置為6，小波基函數(shù)選擇db30，并重構(gòu)小波細節(jié)分量和近似分量，依據(jù)各層分量所包含頻率內(nèi)容，將小波分解分量組合為3路觀測信號，然后利用FastICA算法進行盲源分離。在FastICA算法中設(shè)置最大迭代次數(shù)為5 000，學(xué)習(xí)步長為0.005。分離后的信號如圖4。

從圖4中可知，經(jīng)過盲源分離后的各個分量幅度均發(fā)生了畸變，利用FastICA算法估計得到分離矩陣W，并根據(jù)式(9)和式(11)對分離后的信號進行幅度校正，校正結(jié)果如圖5。

由FastICA算法得到分離矩陣W為

(13)

計算得到校正系數(shù)

λ=[-0.2805 0.4703 -0.7003] 。

(14)

(15)

經(jīng)過歸一化分離矩陣進行幅度校正后，分離分量信號的幅度均接近對應(yīng)的仿真信號分量幅度。為了量化說明幅度校正結(jié)果，利用幅度校正后的分離信號與對應(yīng)源信號分量方差的殘差評價幅度校正精度。

δj=|σyj-σsj| ，j=1,2,3 。

(16)

計算可得δ1=0.001,δ2=0.005,δ3=0.004，說明分離矩陣歸一化盲源分離幅度不確定性校正方法具有較高的精度，而最小失真法和分離矩陣能量歸一化方法幅度校正后的殘差均大于本文提出方法。為進一步說明分離矩陣歸一化幅度校正方法的有效性，在仿真信號中加入噪聲，驗證在噪聲干擾條件下該方法的性能，以幅度校正后的分離信號與源信號方差的殘差平均值作為幅度校正精度，與最小失真法、分離矩陣能量歸一化方法進行比較，進行500次蒙特卡洛仿真的結(jié)果如圖6。

從圖6可知，最小失真法在信噪比較低的條件下幅度校正精度優(yōu)于分離矩陣能量歸一化方法，而當信噪比大于20 dB時，分離矩陣能量歸一化方法幅度校正精度優(yōu)于最小失真法，說明分離矩陣能量歸一化方法受噪聲影響較大。本文提出的分離矩陣歸一化幅度校正方法在不同信噪比條件下均有最高的幅度校正精度。

(17)

5 結(jié) 語

針對盲源分離幅度不確定性問題，在深入分析幅度不確定性產(chǎn)生原因的基礎(chǔ)上，通過小波變換擴維方法解決了單通道盲源分離問題，并利用分離矩陣歸一化方法對分離信號幅度進行校正，仿真實驗結(jié)果證明分離矩陣歸一化方法實現(xiàn)簡單，具有較高的校正精度。盲源分離特別是單通道盲源分離幅度不確定性問題的解決，對推進盲源分離技術(shù)的工程應(yīng)用具有實際意義，是解決信號頻域或時頻域幅度能量準確獲取和分析的前提。在單通道盲源分離問題中，單通道信號所包含信號源數(shù)目的準確判別仍有待進一步的研究。