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    一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和Bradley-Terry模型的圍棋等級分模型

    2020-11-12 10:38:54趙銀亮
    關(guān)鍵詞:勝率對局棋手

    趙 睿 趙銀亮

    (西安交通大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 陜西 西安 710049)

    0 引 言

    競技類體育賽事和游戲等一般都依賴于等級分系統(tǒng)進(jìn)行評價(jià)。等級分系統(tǒng)提供了對參賽選手水平的估計(jì),該估計(jì)可用于安排更為公平、均衡的賽事,也能用于對未來的賽事進(jìn)行結(jié)果預(yù)測,同時(shí)提供參賽選手競技水平的動(dòng)態(tài)變化以激勵(lì)參賽者及觀眾。

    多個(gè)個(gè)體之間的比較和排序通常以兩兩比較的形式進(jìn)行。分析成對比較數(shù)據(jù)的最主要的統(tǒng)計(jì)模型之一是Bradley-Terry模型[1](以下簡寫為B-T模型),其將比較結(jié)果的概率建模為兩個(gè)選手技能βi和βj之和的函數(shù),如式(1)所示。同時(shí)為了避免實(shí)力懸殊的選手技能評分?jǐn)?shù)量級相差過大,通常采取指數(shù)形式的實(shí)力ri和rj之和,如式(2)所示。由于B-T模型在成對比較數(shù)據(jù)模型中具有良好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì),因此應(yīng)用廣泛[2]。

    (1)

    (2)

    Elo[3]最早為棋類賽事開發(fā)了一個(gè)增量式評級系統(tǒng),該系統(tǒng)自1970年以來一直被國際象棋聯(lián)合會(huì)FIDE采用,并在改進(jìn)后因其客觀性、公平性成為選手水平評估的權(quán)威方法?;贓lo等級分系統(tǒng),貝葉斯評級系統(tǒng)Glicko[4]首次考慮了選手評分的可信度;作為Elo算法在多人賽事中的擴(kuò)展,微軟研究院開發(fā)的Trueskill系統(tǒng)[5]能從團(tuán)隊(duì)對戰(zhàn)結(jié)果中推斷玩家個(gè)人技能。Elo、Glicko和Trueskill算法均屬于增量式模型,該類模型存在著對局信息利用不充分的問題,比如不能很好地體現(xiàn)出只與固定對手比賽的那些選手的競技水平變動(dòng)情況[6]。已有的增量式算法往往通過多次時(shí)間上的前向和后向運(yùn)行算法來校正評分不準(zhǔn)確性[7-9],但簡單重復(fù)運(yùn)算會(huì)損害評分的時(shí)效性。不同于增量式模型,WHR[6]引入了選手水平動(dòng)態(tài)變化的先驗(yàn),直接計(jì)算使比賽結(jié)果的后驗(yàn)概率最大化的選手等級分,但其存在計(jì)算復(fù)雜度高和耗時(shí)長的問題。針對圍棋對局,棋手的對局記錄通常持續(xù)數(shù)年時(shí)間,等級分模型需要處理棋手水平的時(shí)效性。除此之外,讓子棋是業(yè)余圍棋的常見對局模式,而現(xiàn)有的等級分算法無法直接處理讓子棋數(shù)據(jù)。

    針對以上問題,本文提出基于B-T模型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等級分系統(tǒng)NN-Rating及其擴(kuò)展形式,用于評估圍棋選手的棋力水平。由式(2)可知,B-T模型與Sigmoid函數(shù)相似,在機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域中,后者常作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的激活函數(shù)。對于成對比較數(shù)據(jù),將單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中對應(yīng)于對局雙方的輸入固定為1和-1,則經(jīng)過Sigmoid激活函數(shù)后,網(wǎng)絡(luò)輸出即為輸入為1的選手預(yù)估勝率,網(wǎng)絡(luò)參數(shù)即為各選手相對實(shí)力。這種建模方法使得B-T這樣的統(tǒng)計(jì)模型能被應(yīng)用到機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域,并能使用梯度下降方法簡單高效地迭代或增量求解模型參數(shù),同時(shí)使得模型易于擴(kuò)展[10]。本文通過解析KGS圍棋服務(wù)器[11]上的棋譜數(shù)據(jù)獲取對局記錄并對其建模,利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)小批量梯度下降法計(jì)算棋手等級分。對于時(shí)間跨度大的對局記錄,通過修改損失函數(shù)給NN-Rating模型引入一種歷史衰減優(yōu)化算法以關(guān)注當(dāng)下的棋力水平。同時(shí),類似引入主場優(yōu)勢的B-T模型,NN-Rating模型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)增加處理讓子棋的節(jié)點(diǎn)和參數(shù),將讓子對局?jǐn)?shù)據(jù)納入等級分計(jì)算。在真實(shí)圍棋比賽數(shù)據(jù)集上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和分析表明,NN-Rating模型能準(zhǔn)確計(jì)算圍棋選手的等級分,獲得更高的預(yù)測準(zhǔn)確率,所得等級分與選手勝率呈正相關(guān)關(guān)系,表現(xiàn)出良好的客觀性和穩(wěn)定性。

    1 相關(guān)工作

    1.1 Elo等級分

    Elo等級分最早應(yīng)用于國際象棋評分體系中。該方法基于B-T模型計(jì)算選手預(yù)期勝率,將勝率建模為參賽雙方的實(shí)力。根據(jù)對局結(jié)果增量式調(diào)整對局雙方等級分,調(diào)整幅度取決于預(yù)估勝率與實(shí)際對局結(jié)果之差。經(jīng)過大量對局后,所有選手等級分將穩(wěn)定到真實(shí)水平附近。Elo等級分由于其公平客觀性,在當(dāng)今棋類、拳擊和乒乓球等對抗類體育賽事中被廣泛采用,并使用更符合棋手水平分布的邏輯斯諦分布取代正態(tài)分布。雙方Elo等級分為Ri和Rj,則比較結(jié)果的概率表示為:

    (3)

    1.2 Glicko

    Glicko系統(tǒng)首次考慮了等級分的置信度。除了計(jì)算選手評分之外,Glicko還加入了“評分誤差”(Ratings Deviation,RD),用于衡量一個(gè)評分的不確定性(RD值越高,評分越不可信)。高RD值意味著選手并不頻繁地進(jìn)行對戰(zhàn),或者該選手僅進(jìn)行了很少次數(shù)的對戰(zhàn),而低RD值說明選手經(jīng)常進(jìn)行比賽。RD值的改變同時(shí)取決于游戲結(jié)果和未進(jìn)行游戲的時(shí)間長度。游戲的結(jié)果經(jīng)常會(huì)減少選手的RD值,而未進(jìn)行對戰(zhàn)的時(shí)間則經(jīng)常會(huì)增長選手的RD值。

    1.3 Trueskill

    Elo等級分主要適用于1vs1型賽事,在多人組隊(duì)等復(fù)雜賽事中作用受限。Trueskill算法結(jié)合了Elo方法和概率圖模型,由微軟研究院開發(fā)并應(yīng)用于Xbot Live匹配系統(tǒng)中。該算法假設(shè)選手水平符合正態(tài)分布,這個(gè)分布的方差被看作是選手水平的不確定性程度,而臨時(shí)發(fā)揮符合以水平為中心的正態(tài)分布,比賽預(yù)估結(jié)果取決于雙方臨時(shí)發(fā)揮的差值。賽后利用消息傳遞算法根據(jù)實(shí)際比賽結(jié)果對各選手水平隨機(jī)變量進(jìn)行后驗(yàn)推斷。吳霖等[11]將Trueskill算法應(yīng)用于職業(yè)圍棋選手比賽數(shù)據(jù)和仿真數(shù)據(jù),并從客觀性、準(zhǔn)確性等方面分析了算法可行性。

    1.4 WHR

    WHR算法采用動(dòng)態(tài)B-T模型,引入了選手水平動(dòng)態(tài)變化的先驗(yàn),認(rèn)為下一時(shí)間步的水平符合以上一時(shí)間步的水平為中心的正態(tài)分布,利用牛頓法優(yōu)化選手水平參數(shù)以最大化比賽結(jié)果的后驗(yàn)概率。為減少計(jì)算復(fù)雜度,WHR在每次賽后采用牛頓插值法估算新的等級分,在一定對局間隔后做全局迭代。

    NN-Rating模型使用小批量梯度下降法[12]迭代運(yùn)算可以充分利用對局信息,同時(shí)通過修改損失函數(shù)使越久遠(yuǎn)的對局在優(yōu)化中權(quán)重越低,選手水平時(shí)效性增強(qiáng)。相比其他模型,NN-Rating的另一優(yōu)勢是可以直接處理讓子棋對局?jǐn)?shù)據(jù)。

    2 NN-Rating等級分模型

    2.1 基本模型

    NN-Rating模型的基本結(jié)構(gòu)如圖1所示。

    圖1 NN-Rating模型基本結(jié)構(gòu)

    模型輸入維度為N,其中N為棋手?jǐn)?shù)量,棋手相對索引順序保持固定。對于每一對局記錄,通過以下方式轉(zhuǎn)化為模型輸入向量:參與對局的兩名棋手中,黑子對應(yīng)棋手輸入固定為1,白子對應(yīng)棋手輸入固定為-1,未參與此輪對局的其他棋手輸入設(shè)為0(也可設(shè)計(jì)為參與對局的兩名棋手中,黑子對應(yīng)棋手輸入固定為-1,白子對應(yīng)棋手輸入固定為1,未參與此輪對局的其他棋手輸入設(shè)為0。此時(shí)模型輸出為白子預(yù)期勝率,模型目標(biāo)應(yīng)根據(jù)白子勝負(fù)或平的情況分別設(shè)為1、0或0.5。兩種設(shè)計(jì)均不影響模型訓(xùn)練和棋手等級分的計(jì)算)。輸入數(shù)據(jù)分別為w1,w2,…,wN。輸入數(shù)據(jù)經(jīng)過以Sigmoid函數(shù)為激活函數(shù)的單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)后得到1維輸出數(shù)據(jù),由神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)前向傳播規(guī)則,輸出o為:

    (4)

    式中:wb為本輪對局中執(zhí)黑方對應(yīng)參數(shù);ww為執(zhí)白方對應(yīng)參數(shù)。該形式與Bradley-Terry模型相同,模型參數(shù)即為棋手對應(yīng)等級分,模型輸出即為黑子預(yù)期勝率。

    使用NN-Rating模型的優(yōu)勢是可以利用梯度下降法等優(yōu)化方法計(jì)算模型參數(shù),并可以方便地?cái)U(kuò)展模型以處理讓子等因素。對于每一對局記錄,模型的目標(biāo)ti通過對局結(jié)果按照以下方式計(jì)算:執(zhí)黑方獲勝則目標(biāo)為1,執(zhí)白方獲勝目標(biāo)為0,平局為0.5。模型的輸出為oi。利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)小批量梯度下降法優(yōu)化模型參數(shù),最小化模型輸出與目標(biāo)之間的均方誤差損失函數(shù),訓(xùn)練完成后獲取模型參數(shù)即得各棋手相應(yīng)的等級分。模型損失函數(shù)如下:

    (5)

    式中:n為對局總數(shù)。

    增量式模型中選手若只與固定對手對局且二者實(shí)力相當(dāng),在對手與其他選手對局后水平變動(dòng)的情況下,該選手評分卻保持不變。增量式模型可通過時(shí)間上前后向多次迭代運(yùn)算來解決上述問題,但這種方式對所有時(shí)間段的對局同等看待,犧牲了等級分的時(shí)效性。NN-Rating模型訓(xùn)練過程中隨機(jī)選取部分記錄進(jìn)行迭代計(jì)算,因此不存在增量式模型中對對局信息利用不充分的問題。同時(shí)NN-Rating模型可通過簡單修改損失函數(shù)的方法降低過去對局的權(quán)重,保證了等級分的時(shí)效性。

    2.2 歷史衰減模型

    圍棋棋手的對局記錄通常持續(xù)數(shù)年時(shí)間,在時(shí)間跨度大的情況下,棋手的水平會(huì)發(fā)生一定變化。已有的歷史衰退模型對之前已經(jīng)發(fā)生的比賽結(jié)果做一次衰退處理,降低過去比賽的權(quán)重。

    本文為了使計(jì)算出的棋手等級分更符合棋手當(dāng)下的水平,使得時(shí)效性增強(qiáng),對2.1節(jié)中的基本模型進(jìn)行擴(kuò)展。對過去的對局添加指數(shù)年度衰減系數(shù),使距離當(dāng)前越久遠(yuǎn)的對局在計(jì)算中所占權(quán)重越小。具體衰退通過修改損失函數(shù)完成,修改后原始損失函數(shù)為:

    (6)

    式中:d為對局發(fā)生年份與數(shù)據(jù)集中對局發(fā)生的最后年份之間的年份差。距離對局發(fā)生的最后年份越久的對局衰減得越多,最后年份當(dāng)年的對局不衰減。歷史衰減等級分模型的輸入輸出及計(jì)算方式與基本模型相同。

    2.3 讓子棋模型

    讓子棋是某些棋類活動(dòng)中的特殊情況。當(dāng)對弈雙方棋力差距較大時(shí),按照不讓子方式進(jìn)行對弈,棋力高的一方將大概率勝出;而采用讓子的方式,可以削弱雙方棋力差距從而可以進(jìn)行基本平衡的對局。類似球類賽事中的主場優(yōu)勢,包含讓子因素的B-T模型中黑方勝率如下:

    (7)

    式中:λ為要學(xué)習(xí)的讓子參數(shù);h為讓子數(shù)。

    已有的等級分算法中沒有可以直接處理讓子棋的。通過在2.1節(jié)中的基本模型中添加一個(gè)專門處理讓子因素的節(jié)點(diǎn)和該節(jié)點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù),本文模型可以直接處理不同讓子數(shù)的讓子棋而不需要將讓子數(shù)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的Elo分值。擴(kuò)展的可處理讓子棋的NN-Rating模型輸入維度為N+1,其中N為棋手?jǐn)?shù)量,前N維輸入與基本模型中相同,最后1維輸入為讓子數(shù)。輸入數(shù)據(jù)參數(shù)分別為w1,w2,…,wN,wλ,其中前N維參數(shù)分別代表各棋手等級分,最后1維參數(shù)代表讓子參數(shù)λ。在計(jì)算棋手等級分參數(shù)的訓(xùn)練過程中,讓子參數(shù)也通過梯度下降法求解。

    2.4 置信度

    棋手參與對局?jǐn)?shù)越多,對其等級分的計(jì)算就越接近其真實(shí)水平,所以本文引入一種啟發(fā)式方法計(jì)算等級分的置信度,同時(shí)不影響梯度下降法計(jì)算棋手等級分。gi為選手i參與的對局?jǐn)?shù),則選手i等級分的置信度表示為:

    (8)

    式中:certaintyi為棋手i等級分的置信度;G為一個(gè)常數(shù),表示對棋手i等級分完全置信時(shí)他需要參與的對局?jǐn)?shù),文中取值為10。置信度可作為棋手等級分的輔助指標(biāo)。置信度越高,計(jì)算出的棋手等級分越接近其真實(shí)棋力。

    3 實(shí) 驗(yàn)

    3.1 數(shù)據(jù)集

    KGS圍棋服務(wù)器[13]是世界上最大的圍棋服務(wù)器之一,包含從2001年至2018年的對局記錄。通過u-go.net網(wǎng)站[14]可獲取來自該服務(wù)器且經(jīng)過初步篩選和分類的對局的SGF棋譜文件。本文采用頂級業(yè)余棋手的對局記錄數(shù)據(jù)集,對弈雙方中一方為業(yè)余7d及以上或雙方均為業(yè)余6d。WHR算法選取了2000-11-07至2005-05-20的對局記錄作為訓(xùn)練集,2005-05-21至2007-10-01的對局記錄作為測試集,為保證與對比算法中數(shù)據(jù)集維度保持同等條件,同時(shí)避免對局記錄受圍棋AI的影響,本文選擇2010年—2014年的高水平業(yè)余棋手對局?jǐn)?shù)據(jù)作為訓(xùn)練集,2015年—2016年的對局?jǐn)?shù)據(jù)作為測試集。通過解析SGF文件并去除無效對局(沒有對局結(jié)果),最終非讓子棋訓(xùn)練集包括52 255條對局記錄,3 591名棋手,測試集包括11 819條對局記錄,其中測試集中的4 269條記錄對弈雙方均已在訓(xùn)練集出現(xiàn),可用于預(yù)測準(zhǔn)確率評估。讓子棋訓(xùn)練集包括22 498條對局記錄,4 725名棋手,測試集包括8 415條對局記錄,其中測試集中的1 689條記錄對弈雙方均已在訓(xùn)練集出現(xiàn),可用于預(yù)測準(zhǔn)確率評估。

    3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

    3.2.1收斂性

    通過訓(xùn)練集上的迭代計(jì)算驗(yàn)證算法的收斂性。每輪迭代中采取小批量隨機(jī)梯度下降法最小化模型的損失函數(shù)。學(xué)習(xí)率取值為0.01,批大小取值為512,指數(shù)衰減系數(shù)γ取值為0.95,非讓子棋數(shù)據(jù)集迭代過程中模型的均方誤差變化如圖2所示。

    圖2 訓(xùn)練誤差的收斂性

    可以看出,經(jīng)過50輪迭代后,模型誤差趨于穩(wěn)定。最終計(jì)算出的排名前20的棋手等級分及置信度如表1所示。

    表1 排名前20的棋手的等級分和置信度

    3.2.2客觀性

    勝率是選手實(shí)力的客觀體現(xiàn)和衡量標(biāo)準(zhǔn)之一,利用棋手勝率與NN-Rating模型計(jì)算出的等級分之間的關(guān)系如圖3所示。

    圖3 勝率和等級分的關(guān)系

    可以看出,勝率與等級分呈正相關(guān)關(guān)系,勝率高的棋手對應(yīng)的等級分也越高,表明模型具有良好的客觀性。

    3.2.3準(zhǔn)確性

    (1) 分先對局記錄。等級分算法的對比實(shí)驗(yàn)通過衡量各算法在測試集上的預(yù)測準(zhǔn)確率完成,其中算法在測試集對局記錄上預(yù)測出的勝者與對局實(shí)際結(jié)果一致則視為預(yù)測正確。各算法預(yù)測準(zhǔn)確率如表2所示。

    表2 不同算法在非讓子棋數(shù)據(jù)集上的預(yù)測準(zhǔn)確率

    Elo算法初始等級分設(shè)為1 300分,參數(shù)k取值為16。Trueskill采取微軟研究院開源算法的默認(rèn)設(shè)置,初始等級分為25。吳霖等[11]未修改原始Trueskill算法,而是使用隨機(jī)輸入多次迭代運(yùn)算來平滑結(jié)果,但損失了等級分計(jì)算的時(shí)效性,且在小數(shù)據(jù)集上的效果只略優(yōu)于Elo算法,在此分析的基礎(chǔ)上,本文選擇與原始算法作對比。利用NN-Rating模型計(jì)算出的棋手等級分在測試集上預(yù)測準(zhǔn)確率更高,表明該算法計(jì)算出的等級分更符合棋手的真實(shí)棋力。

    (2) 讓子對局記錄。Trueskill、WHR等算法無法直接處理讓子棋,因此使用NN-Rating方法在讓子棋數(shù)據(jù)上進(jìn)行測試,其準(zhǔn)確率達(dá)到60.628%。

    4 結(jié) 語

    本文構(gòu)建NN-Rating神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等級分模型,為等級分算法在大規(guī)模數(shù)據(jù)上的應(yīng)用提供參考。本文的貢獻(xiàn)如下:1) 基于統(tǒng)計(jì)學(xué)的Bradley-Terry成對數(shù)據(jù)比較模型和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)NN-Rating等級分模型,利用小批量梯度下降方法迭代求解模型參數(shù),消除增量式模型中對局信息利用不充分對等級分計(jì)算準(zhǔn)確性的影響;2) 通過修改損失函數(shù)擴(kuò)展NN-Rating模型為歷史衰減模型,使得距今越久遠(yuǎn)的對局記錄在模型訓(xùn)練過程中權(quán)重越小,因而計(jì)算出的等級分時(shí)效性更強(qiáng),更符合選手當(dāng)下的水平;3) 針對圍棋讓子棋特點(diǎn),借鑒主場優(yōu)勢特性擴(kuò)展NN-Rating基本模型為讓子棋模型,通過引入讓子數(shù)節(jié)點(diǎn)和對應(yīng)的讓子參數(shù),讓子棋模型可以直接處理圍棋對局中的讓子棋,而已有的等級分算法中沒有可以直接處理讓子棋的。在真實(shí)賽事數(shù)據(jù)集上的實(shí)驗(yàn)表明模型具有良好的客觀性和準(zhǔn)確性。下一步工作除了考慮對局結(jié)果外,還將利用圍棋AI分析棋手對局過程中的表現(xiàn),對對局結(jié)果和棋手中間勝率建模,有助于提升等級分模型的準(zhǔn)確性。

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