基于有限元法的安培力實(shí)驗(yàn)探討

陳新光 范功懷 林欽

摘 ? 要：安培力是物理學(xué)中重要的物理量，但由于磁場的不易測量性，使得實(shí)驗(yàn)教學(xué)的說服力降低?？紤]到電流和長度對安培力大小影響的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)容易實(shí)現(xiàn)，文章以人教版實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)為基礎(chǔ)，借助有限元數(shù)值模擬軟件完成磁感應(yīng)強(qiáng)度對安培力的影響實(shí)驗(yàn)，并對實(shí)驗(yàn)結(jié)果深入分析，希望能為本節(jié)實(shí)驗(yàn)教學(xué)和安培力實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)提供一定的參考。

關(guān)鍵詞：磁場分布;安培力;實(shí)驗(yàn);有限元

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ?文章編號：1003-6148（2020）10-0067-3

在高中物理教學(xué)過程中，不同版本的教材對安培力的教學(xué)都安排了實(shí)驗(yàn)探究。由于磁場本身的不可視性以及初學(xué)者對磁場認(rèn)知水平的局限性，定量探究安培力的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)變得尤為困難，特別是磁感應(yīng)強(qiáng)度對安培力的影響，很多教材也都沒有給出直接的定量關(guān)系。該實(shí)驗(yàn)一直是探究的熱點(diǎn)問題，許多教師都在想盡辦法實(shí)現(xiàn)安培力實(shí)驗(yàn)的定量設(shè)計(jì)[1-6]。在設(shè)計(jì)本實(shí)驗(yàn)時，磁感應(yīng)強(qiáng)度的矢量性和不易測量性對磁感應(yīng)強(qiáng)度的定量控制造成困難。目前可行的對策基本是使用電磁鐵或亥姆霍茲線圈等元件控制電流的間接方法，從而取代課本中蹄形磁鐵控制磁感應(yīng)強(qiáng)度的方法。但是，用電磁鐵或者亥姆霍茲線圈取代蹄形磁鐵，思路大同小異，還是不能直接得到磁感應(yīng)強(qiáng)度與安培力的關(guān)系，同時又可能會超出學(xué)生的認(rèn)知水平，影響教學(xué)質(zhì)量。

ANSYS軟件是一款基于有限元算法的多物理場大型數(shù)值模擬軟件[7-8]，是國際上使用率最廣的計(jì)算機(jī)輔助工程軟件之一，其中電磁學(xué)分析模塊是基于麥克斯韋方程組，采用有限元離散方法求解各類二維、三維的電磁問題。該軟件已成為各類工程分析和科研實(shí)驗(yàn)不可或缺的軟件之一。

鑒于以上分析，電流和長度對安培力大小影響的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)較成熟。本文借助ANSYS有限元軟件，以人教版教材提供的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，從數(shù)值模擬角度探究磁感應(yīng)強(qiáng)度對安培力大小的直接影響，包括單個磁鐵和三個并排放置磁鐵產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度在空間的變化，導(dǎo)線不同放置位置等因素對安培力的影響。本文旨在清楚揭示磁場因素對安培力的影響，幫助學(xué)生深刻理解物理本質(zhì)的同時，對該實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)提供一定的理論參考。

1 ? ?建立模型

人教版高中物理（選修3-1）課本第三章《磁場》第84頁的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ腿鐖D1所示：三個相同的蹄形磁鐵并排放置，中間懸掛一個導(dǎo)線，分別通電“2”“3”和“1”“4”來驗(yàn)證通電導(dǎo)線的長度對安培力的影響。根據(jù)實(shí)物模型建立有限元的網(wǎng)格模型如圖2所示，在模型中規(guī)定：豎直向上為y軸，水平向左為z軸，垂直紙面向外為x軸，且導(dǎo)線沿z軸放置。仿真模型中的蹄形磁體采用釹鐵硼磁鐵，紅色N極和藍(lán)色S極的長度均為10 cm，寬度為2 cm，兩極之間的距離為8 cm，通電導(dǎo)線為半徑1 mm的銅線，長度為120 mm?？刂拼盆F間距為20 mm，“2”“3”和 “1”“4”的距離分別為40 mm和110 mm。

2 ? ?結(jié)果與討論

2.1 ? ?單個蹄形磁鐵空間磁場分布

為了確保仿真模型的可靠性，首先討論單個蹄形釹鐵硼磁鐵（N35）的磁場空間分布和磁鐵2D側(cè)視平面分布，如圖3和圖4所示。從圖3可以看出，磁鐵內(nèi)部磁感線從S極指向N極，磁鐵外部磁感線從N極指向S極，符合磁鐵實(shí)際分布情況。圖4進(jìn)一步給出了蹄形磁鐵內(nèi)部的磁感應(yīng)強(qiáng)度從里到外的分布情況。不難看出，在釹鐵硼蹄形磁鐵間內(nèi)部的磁感應(yīng)大小約為1.20 T，這個結(jié)果與官方提供的釹鐵硼N35型磁鐵的剩磁（1.17 T～1.21 T）的數(shù)據(jù)吻合，模型有效、可靠。

2.2 ? ?三個蹄形磁鐵空間磁場分布

由于磁場在空間分布的發(fā)散性以及三個蹄形磁鐵并排放置時空間磁場之間的矢量疊加，實(shí)驗(yàn)時必須考慮空間磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化對實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生的影響。圖5顯示了三個蹄形磁鐵并排放置時，導(dǎo)線放置在x=80 mm處沿導(dǎo)線方向上的磁感應(yīng)強(qiáng)度變化的曲線。從圖上看出磁感應(yīng)強(qiáng)度變化呈現(xiàn)“中間強(qiáng)兩頭弱”的趨勢，這是旁邊兩個磁鐵的邊緣產(chǎn)生的磁場在中間部位矢量疊加產(chǎn)生的效果。圖6給出了中間磁鐵沿U口方向上磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化曲線。不難看出，導(dǎo)線放置的前后位置發(fā)生移動，磁感應(yīng)強(qiáng)度也將發(fā)生明顯變化。因此，在設(shè)計(jì)安培力實(shí)驗(yàn)時，不能簡單認(rèn)為并排增加磁鐵，磁場仍保持不變，而且還要特別注意多次實(shí)驗(yàn)時，導(dǎo)線的位置不能發(fā)生變化。

2.3 ? ?通電導(dǎo)線在磁場中的受力模擬

圖中可以看出：（1）在0～90 mm范圍內(nèi)，當(dāng)“1”“4”位置通電時k=11.7，這個值剛好是有效長度110 mm與電流匝數(shù)100安匝的乘積11.0 m·A，相對誤差約為6%;當(dāng)“2”“3”位置通電時k=4.10，此位置的有效長度40 mm與電流匝數(shù)100安匝的乘積為4.0 m·A，相對誤差約為2.5%。產(chǎn)生誤差的原因可能為：（a）圖像中的磁感應(yīng)強(qiáng)度B為平均值，比較接近中間磁鐵位置的值，因此“2”“3”位置通電時比值誤差比較小，而“1”“4”位置通電時誤差則大一些;（b）有限元采用網(wǎng)格離散化的數(shù)值近似法求解，因此實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果跟有限元網(wǎng)格劃分的大小有很大的關(guān)系。

（2）實(shí)驗(yàn)誤差在5%左右，進(jìn)一步證實(shí)有限元數(shù)值模擬方法有效、可靠。

另外，我們看到，在數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)中，有效長度從40 mm變化到110 mm，在電流和匝數(shù)不變的情況下，k的比值也基本上保持4：11，符合理論計(jì)算。但是，實(shí)際實(shí)驗(yàn)時，由于并排磁鐵之間有很大的空隙，這一部分的磁場難以評估，也會降低實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的說服力，給教學(xué)質(zhì)量帶來影響。而數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)卻能很好地克服這一問題，增強(qiáng)數(shù)據(jù)的說服力，也加強(qiáng)學(xué)生對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析能力。

3 ? ?結(jié) ?論

本文借助ANSYS有限元軟件開展探究安培力實(shí)驗(yàn)的數(shù)值模擬，模型有效、可靠。數(shù)值模擬的方法可以排除實(shí)際操作過程中不必要的干擾因素（比如導(dǎo)線、安培力的測量等）。本文提供的數(shù)值模擬方法為探究安培力實(shí)驗(yàn)提供了一種方法補(bǔ)充，也為后續(xù)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)提供了一定的理論參考。

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（欄目編輯 ? ?張正嚴(yán)）