基于能量守恒定律的電弧爐動態(tài)模型

呂相宇，王存旭，王 寧，張超臣，段瑩瑩，高浩然

（1.沈陽工程學(xué)院a.研究生部；b.自動化學(xué)院，遼寧 沈陽 110136；2.國網(wǎng)沈陽供電公司，遼寧 沈陽 110000；3.國網(wǎng)遼寧省電力有限公司 檢修分公司，遼寧 沈陽 110000）

現(xiàn)有電弧爐模型在電弧爐進行冶煉過程中并不能很好地體現(xiàn)其動態(tài)阻抗特性[1]。因此，本文通過在電弧爐電弧中加入不同信號來體現(xiàn)電弧爐動態(tài)特性，建立符合其時變性的動態(tài)模型。

1 基于能量守恒定律的交流電弧爐模型

由于電弧爐電弧在冶煉過程中所呈現(xiàn)的多變性與隨機性，所以在研究電弧爐模型時需要建立電弧的數(shù)學(xué)模型。

1.1 電弧爐電氣系統(tǒng)的狀態(tài)方程

由電弧爐構(gòu)成的系統(tǒng)可看成一個含源的線性網(wǎng)絡(luò)，利用戴維南等效電源定理化簡此類網(wǎng)絡(luò)后其結(jié)果不會受負載特性影響[2]。因此，在忽略變壓器耦合時對勵磁回路產(chǎn)生的干擾以及設(shè)定電弧爐負載三相穩(wěn)定前提下，此時的電路可以等效為變壓器二次側(cè)。在忽略無功補償電容的情況下，其折算后的等效電路如圖1所示。

圖1 三相電弧爐的等效電路

圖1 中，電爐變二次側(cè)的電阻和電感為R1、L1；電弧爐電氣系統(tǒng)構(gòu)成部分短網(wǎng)中的單相等效電阻、電感為R2、L2；其內(nèi)部互感為M。令R=R1+R2，L=L1+L2，則電路可以進一步簡化，如圖2所示。

圖2 三相電弧爐的簡化等效電路

根據(jù)基爾霍夫電流定律可列出電路方程如下：

進一步化簡可得到如下狀態(tài)方程：

式（2）為最后化簡所得的電弧爐電氣狀態(tài)方程。

假設(shè)交流電弧爐三相平衡，則可得其單相等效電路，如圖3所示。

圖3 電弧爐三相平衡時的等效電路

由基爾霍夫定理可列出電路方程如下：

通過化簡變換后可得到電弧爐電氣系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

若系統(tǒng)存在無功補償電容時，則電弧爐電氣部分的等效電路如圖4所示。

圖4 考慮無功補償時的單相等效電路

根據(jù)基爾霍夫定理可列出無功補償電容存在時的電氣方程如下：

在假設(shè)電弧爐系統(tǒng)三相平衡且存在無功補償電容時，通過消去i，對原式進行化簡可得到其電氣系統(tǒng)的微分方程為

由上面各式可知，在寫出電弧半徑表達式的前提下，電弧爐電路中的電壓、電流可以通過電氣方程求出。

1.2 電弧爐電弧數(shù)學(xué)模型的建立

隨著交流電弧爐冶煉過程的變化，其內(nèi)部電流變化的不確定性使得電弧處于不穩(wěn)定狀態(tài)，所表現(xiàn)的伏安特性也為動態(tài)特性[3]。圖5 為電弧爐典型的動態(tài)阻抗特性。通過圖5a 可看出電弧爐冶煉過程中其內(nèi)部電壓產(chǎn)生嚴(yán)重畸變，電弧電流波形雖然變化并不劇烈，但在零點時也出現(xiàn)了“零休”現(xiàn)象[4]。從圖5b 中可見電弧爐伏安特性呈非線性狀態(tài)，且周期內(nèi)變化劇烈。

圖5 電弧爐電流電壓典型曲線

以能量守恒定律為依據(jù)，建立非線性微分方程，可以得到電弧功率的平衡方程[5]為

式中，p1為以熱量形式散發(fā)出的功率；p2為改變電弧半徑的功率；p3為電弧功率和轉(zhuǎn)換為熱能的總功率。

在只考慮電弧半徑散熱忽略其它影響電弧熱能散失的前提下，可以得出：

因此，狀態(tài)變量為電弧半徑r，當(dāng)電弧周圍熱量沒有散失且爐內(nèi)溫度明顯很高時，p1與電弧半徑?jīng)]有關(guān)系，這種情況下n=0；若不考慮周圍溫度變化對于電弧的影響時，此時電弧長度較長，取n=1；當(dāng)電弧長度在冶煉過程中變短時，其產(chǎn)生的主要影響在電弧的橫截面積上，這時取n=2。

在電弧周圍溫度變化時，其內(nèi)部能量導(dǎo)數(shù)以及電弧半徑的變化與p2成正比關(guān)系，此時可以得出：

這里假設(shè)弧柱的電阻率和rm成反比，則可以得出：

式中，m=0,1,2，隨著電弧半徑的增大，溫度越高。

將賦值后的式（8）～式（10）代入式（7）后即可得到下列非線性微分方程：

式中，r(t)為電弧半徑；i(t)為電弧電流；模型系數(shù)k1、k2、k3數(shù)值已知；n、m為模型參數(shù)。

電弧電壓的表達式如下：

為了充分體現(xiàn)電弧爐的時變特點，在基于能量守恒定律建立的微分方程中設(shè)置其電弧半徑以及瞬時電流為其輸入量，此時電弧爐的電導(dǎo)為狀態(tài)變量[5]。由于在不同冶煉過程中的溫度變化，n、m的取值也隨之變化，在內(nèi)部溫度過高的熔化期時，n=2，m=0，此時可體現(xiàn)出此類負荷的電壓波閃等電能質(zhì)量問題。

式（11）乘以rm+2(t)，可得：

其中，k=，根據(jù)文獻[6]提供的參數(shù)辨識數(shù)據(jù)，此時參數(shù)k1=628.4，k2=0.53，k3=0.000 7，將所有參數(shù)帶入到式（16）中，可得：

函數(shù)y(t)的最終表達式可通過式（17）得出，將y(t)表達式代入式（14）后即可得到電弧半徑r(t)的表達式，再將所得表達式代入式（12）中即可得到電弧電壓u(t)的表達式。

2 三相交流電弧爐動態(tài)模型調(diào)制

電弧電壓波閃、諧波畸變產(chǎn)生的根本原因是在電弧爐冶煉過程中周期不同導(dǎo)致弧長的快速不規(guī)則變化[7]。為了使電弧爐輸出電壓u(t)具有周期性、隨機性以及混沌性，通常將這些外部特點在基于調(diào)制原理的基礎(chǔ)上加到電弧上。

為了使電弧半徑所示信號出現(xiàn)周期變化特性，將正弦信號加入到電弧半徑r(t)中，此時可得rs(t)為

電弧的隨機性采用高斯隨機分布進行調(diào)制：

式中，φg為考慮到高斯分布電弧所產(chǎn)生的非線性信號；β為調(diào)制系數(shù)。

為了體現(xiàn)電弧爐冶煉過程中電弧的混沌特性，采用文獻[8]中現(xiàn)有的混沌模型并將混沌信號加入到電弧半徑的仿真電路中，此時可得到：

式中，δ為調(diào)制系數(shù)；φh為低頻混沌信號。

考慮到冶煉時電弧爐阻抗特性的時變性以及三相取值的不同，將調(diào)制系數(shù)區(qū)間設(shè)為0～2.0，此時所搭建的可體現(xiàn)三相不平衡這一特點的電弧爐模型框圖如圖6所示。

圖6 電弧爐動態(tài)模型

3 電弧爐模型仿真分析

本文所搭建的電弧爐仿真模型參數(shù)來源于山東某制鎳廠，將表現(xiàn)電弧爐特性的3 個信號加入調(diào)試好的r(t)之后，并將其放入前面所搭建的穩(wěn)態(tài)模型后，此時利用Matlab搭建的電弧爐動態(tài)模型進行仿真，如圖7所示。

圖7 電弧爐仿真模型電路

所搭建電弧爐子系統(tǒng)模型如圖8所示。

圖8 電弧爐子系統(tǒng)模型電路

在仿真軟件中運行所搭建電弧爐模型后所得出的電弧爐電壓、電流波形如圖9、圖10所示。

圖9 單相負載電壓波形

圖10 單相負載電流波形

從圖9 中可以看出，波形呈近似方波波動，完全偏離正弦波且波形產(chǎn)生嚴(yán)重畸變。在圖10 中可以看出，電流波形在經(jīng)過零點處下降速率變緩且出現(xiàn)冶煉負荷常見的“零休”現(xiàn)象，此時的波形也產(chǎn)生了嚴(yán)重的畸變。仿真圖9、圖10 所展示的特點以及波形與電弧爐典型波形圖一致，因此，可驗證本文所搭建的電弧爐動態(tài)模型可替代電弧爐用于實際電能質(zhì)量分析以及治理中。

4 結(jié)論

本文首先在列出電弧爐電氣系統(tǒng)狀態(tài)方程后推導(dǎo)出電弧爐電阻與冶煉過程中電壓、電流的關(guān)系，然后將正弦信號、高斯隨機信號和蔡氏混沌信號加入到根據(jù)不同冶煉時間所推導(dǎo)出的電弧表達式中并建立電弧爐動態(tài)模型。在3個特征信號調(diào)制到電弧后并將瞬時電流作為輸入，此時可表達出電弧電壓與電流的數(shù)學(xué)表達式進而建立電弧爐動態(tài)仿真模型。將仿真波形與電弧爐典型電壓、電流波形圖進行對比，驗證了本文所建模型的有效性。這種基礎(chǔ)工作對后續(xù)電弧爐所帶來的電能質(zhì)量治理具有重要意義。