基于符號的關(guān)節(jié)臂矩陣運算實現(xiàn)

摘要：針對D-H建模[1]的機械臂齊次變換矩陣的旋轉(zhuǎn)平移運算參數(shù)多且運算過程煩瑣問題，本文探討了正、逆運動學(xué)中基于字符多項式矩陣運算的化簡和應(yīng)用，解決了推導(dǎo)繁復(fù)的問題，結(jié)果可讀性強，可大幅度減少建模設(shè)計周期。

關(guān)鍵詞：機械臂;字符多項式;矩陣乘法;逆矩陣

中圖分類號：TP393 文獻標(biāo)識碼：A

文章編號：1009-3044（2020）27-0211-02

開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識碼（OSID）：

多關(guān)節(jié)機械臂在制造、醫(yī)療等眾多領(lǐng)域因其具有精準(zhǔn)、高效等特點應(yīng)用日益廣泛嘲。要解決機械臂能耗低，速度快，壽命長問題，合理建模是一個關(guān)鍵環(huán)節(jié)。而采用DH表示法建模是當(dāng)下行之有效的方法，它通過對串聯(lián)關(guān)節(jié)依次建立坐標(biāo)系，利用機器人正、逆運動學(xué)中變換矩陣、逆矩陣連乘即可求解。我們發(fā)現(xiàn)任意不同自由度機械臂關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)平移矩陣相同，可設(shè)計算法統(tǒng)一來計算關(guān)節(jié)之間的關(guān)系，這樣可將設(shè)計理念快速實踐于初始參數(shù)與結(jié)果的驗證，重心轉(zhuǎn)移到建模是否合理上。但多關(guān)節(jié)機械臂矩陣參數(shù)多，大幅度增加了其合理性驗證難度。人們往往通過matlab定義煩瑣變量實現(xiàn)矩陣轉(zhuǎn)換[3]，過程較煩瑣。鑒于目前沒有成形算法來完成數(shù)、串混合的多參矩陣運算，本文主要解決機械臂基于字符多項式的矩陣、逆矩陣運算，實現(xiàn)一種快捷求解。

機械臂常見自由度有5、6、7三種。自由度越高，靈活度會越高，但其矩陣運算更加復(fù)雜。本文以KINOVAJac02球形7自由度臂為例，根據(jù)提供電氣參數(shù)實現(xiàn)算法，與其他自由度運算可通用。

1 機械臂運動學(xué)模型

以Denavit-Hartenberg表示法建模的機械臂，通過對各關(guān)節(jié)建立坐標(biāo)系相鄰關(guān)節(jié)以齊次變換矩陣表示轉(zhuǎn)動和平移關(guān)系，依次矩陣連乘可確定基座與末端姿態(tài)的關(guān)系。其中每個連桿含長度a，扭角α，間距d，關(guān)節(jié)角度0四個參數(shù)。

1.1 正運動學(xué)模型

2 基于字符串的矩陣運算

字符串矩陣運算，先解決字符多項式四則運算，后進行矩陣運算。

2.1字符多項式四則運算

字符多項式由操作數(shù)和操作符組成，與常規(guī)代數(shù)多項式邏輯相同，只是符號不同。它既含數(shù)又有字符串，如（cosαsinβ*a）*（cosθ1+5），計算機無法區(qū)分cos、cosθ1、1中哪一個是“變量”。我們將構(gòu)建一套基于人直覺思維模式的類專家系統(tǒng)，利用遵循約定俗成且符合人們直覺的規(guī)則，進行語義分析，從而有效識別字符多項式[6][7]，為三角函數(shù)、矩陣、逆矩陣運算奠定基礎(chǔ)。

計算機多項式運算，通常有前綴表達式、中綴表達式和后綴表達式（又叫逆波蘭表達式）三種方法。逆波蘭表達法嘲，通過簡單人棧和出棧完成所有多層嵌套的四則運算，生成機器碼效率高，不但純數(shù)值運算方便，字符運算同樣出眾，故本文用該表達法實現(xiàn)。

為實現(xiàn)字符多項式運算，將基于常規(guī)邏輯的數(shù)值運算規(guī)則擴展到字符范疇，它們會在矩陣、三角函數(shù)反復(fù)用到，為此我們做如下主要約定：

Rulel-符號多項式轉(zhuǎn)換符號單項式規(guī)則

Rulel-I有效算符法則：①五種合理的組合映射：卜+，+一，一，++，++，（+，一（}->{-，+，+，+，*，（，-l*};②八種非法組合：（-*，+*，一），+），**，*），（），）（）;③三種非法頭算符：（*），+】;④四種非法尾算符：（（，+，一，*】;

Rulel-2操作數(shù)分隔法則滿足rulel-1，對操作數(shù)“變量”分隔，做如下主要約定：

①長度為1的多項式合法，算式{-}>{1），其他算符非法，操作數(shù)合法;②介于兩個算符之間，提取字符串，視為操作數(shù)。

Rule2操作數(shù)對象化約定規(guī)則后綴表示法中無括號，但有“正”“負(fù)”字符串。逆波蘭的字符表達式構(gòu)建如下對象：{Opd[01，02.，]，Opt[+/一，+/_，，]，len），其中l(wèi)en≥l。

Rule3字符多項式運算法則基于規(guī)則rulel、rule2，有如下主要約定：

①加法約定式a+式b;②減法約定式a+（一1）*（式b）;③乘法約定同號為正，異號為負(fù)，以*拼接單項式“變量”;④替換約定矩陣中三角函數(shù)運算有冗余，替換如下：{^1*，*1$，*1*，+1*，一1*）一>{''，”，*，+，一），其中^表示頭，$代表尾部，下同。

字符多項式的四則運算大致流程如下：①利用rulel分隔多項式;②根據(jù)逆波蘭通用算法，分隔多項式，生成逆波蘭表達式;③利用rule2和rule3計算字符多項式，返回結(jié)果。

該算法實現(xiàn)了基于多“變量”的字符多項式運算。在機械臂矩陣轉(zhuǎn)換中，將反復(fù)用到。

2.2 基于規(guī)則的矩陣運算

矩陣相乘要滿足：矩陣A（M*K）和矩陣B（P*N），其中K=P。A*B記做C（M*N），

字符矩陣運算，“變量”為字符串，對結(jié)果做如下約定：

Rule4字符串矩陣處理約定①符號映射（一，^+一卜>{+一，一）;

②消除零值{^_0*，^0*，*0*，*一0*，*-0$，*0$）;③中間映射{^一1*，^1*1*1$，*1*}>{一，，*）

矩陣相乘機械臂運算時遵循rulel-rule4約定，能有效化簡結(jié)果。大致流程圖見圖1。

3 結(jié)果分析

機械臂D-H模型的正逆運動學(xué)求解核心是選擇合適關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)平移矩陣計算。為簡明驗證本文模塊算法，通過設(shè)定不同關(guān)節(jié)角θ，求解正運動學(xué)末端位姿T和隨機關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)矩陣逆矩陣，與matlab做對比。式2中左上方3*3矩陣表示姿態(tài)，右上方3*1矩陣表示位置（ci為cosθi，Sl為sinθi，i=1-7），運行結(jié)果見圖2。

3.1與MATLAB對比測試

隨機選擇不同關(guān)節(jié)角，末端位姿對比見表1，逆矩陣（參數(shù)α= π/2.a=0.d=-dl ，θ= θl =ql）對比見表2。

通過對比發(fā)現(xiàn)，不管是輸人數(shù)值型參數(shù)生成旋轉(zhuǎn)矩陣求解，還是通過圖2結(jié)果代人參數(shù)求值，與MATLAB結(jié)果一致。同樣，隨機關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)逆矩陣也一致，說明了本文算法的正確性。算法可用于自由度小于八的任意D-H建模正運動學(xué)和逆矩陣運算。

4 問題展望

本文由弱變量的j avascript腳本語言，結(jié)合HTML實現(xiàn)。將多項式運算從純數(shù)值擴展到字符多項式，通過類專家系統(tǒng)構(gòu)建了任意字符多項式四則運算、矩陣相乘、求逆矩陣等模塊，實現(xiàn)了數(shù)值、三角函數(shù)、字符夾雜的多項式矩陣相乘、求逆矩陣運算。其界面簡潔、結(jié)果易讀，只需輸入模型參數(shù)，直接獲得運算結(jié)果，將繁化簡，解決了D-H建模時矩陣運算煩瑣問題，具有較高的實用性。生成模塊易擴展到多變量矩陣運算的相關(guān)領(lǐng)域。

參考文獻：

[1] Denavit J，Hartenberg R S.A kinematic notation for lower-pairmechanisms based on atrices[J].Trans.of the Asme.journal ofApplied Mechanics， 1955（22）：215-221.

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[3]楊捷.基于Matlab的平面機構(gòu)分析解析法[D].成都：西華大學(xué)，2013.

[4]李程程.七自由度機械臂控制系統(tǒng)設(shè)計與研究[D].南京：東南大學(xué)，2016.

[5]徐俊虎，欒楠，張詩雷，等.7自由度機械臂的運動學(xué)逆解與優(yōu)化[J].機電一體化，2011，17（6）：28-33.

[6] Floyd RW.Syntacticanalysis and operator precedence[Jl.Jour-nal of the ACM （JACM），1963，10（3）：316-333.

[7] Aho A V，Johnson S C，Ullman J D.Deterministic parsing of am-biguousgrammars[J]. Communications of the ACM， 1975， 18（8）：441-452.

[8]（美）AlfredV.Aho.編譯原理[M].北京：機械工業(yè)出版社，2008.

【通聯(lián)編輯：光文玲】

作者簡介：焦培金（1981-），男，山東青島人，本科，實驗師，主要研究方向為計算機應(yīng)用。