基于差價補償策略的斯塔克爾伯格博弈協(xié)調優(yōu)化

蔣 敏, 孟志青, 周 娜, 沈 瑞

(浙江工業(yè)大學 管理學院，浙江 杭州 310023)

0 引言

隨著產品結構和消費者消費模式的改變，越來越多的智能產品趨于生命周期短、更新?lián)Q代快、新產品附加值和利潤較高、產品市場價格變動劇烈和頻繁的特點。作為典型的智能產品，大部分智能手機的生命周期一般僅有6～12個月，新款手機一般具有高附加值和高額利潤，間接導致了舊款手機淘汰速度加快[1]。典型的手機銷售模式是代理銷售，手機的售價由廠家統(tǒng)一制定，銷售商按價出售。由于手機市場競爭激烈且替代性產品較多，為迎合市場需求，避免缺貨情況發(fā)生，銷售商一般會選擇多訂購；同時，市場需求存在不確定性，制造商為了提高利潤，會選擇在不同階段制定不同銷售價格來吸引消費者購買[3]。在這種情況下，銷售商需承擔隨時降價的風險和相應的損失。為了避免上述情況導致的銷售商消極訂貨，并激勵銷售商增大產品訂購量來擴大自身利益，制造商會提供給銷售商一定的回報機制，即供應鏈契約[3]。契約機制可通過一定的條款約束供需雙方的行為以實現(xiàn)供應鏈協(xié)調，現(xiàn)有的契約機制包括回購、數(shù)量折扣、收益共享、價格補償、批發(fā)價格等[4]。

差價補償策略(契約)是一種價格保護策略，即供應商因產品降價而對零售商的剩余產品進行一定經濟補償?shù)牟呗?。差價補償策略可以降低零售商承擔的風險，促進零售商產品訂購量，近年來廣泛地應用與醫(yī)藥、房地產、零售業(yè)等行業(yè)。目前，國內外學者對差價補償策略的研究中多以零售業(yè)為背景，研究內容主要集中在以下幾個方面：消費者的價格敏感度、策略消費行為等對差價補償效果的影響；差價補償策略對零售價格、同業(yè)競爭的影響；差價補償策略對銷售商的定價、庫存影響等。例如，Coughla和Shaffer等研究了產品種類和庫存空間對零售商差價補償策略和市場盈利情況的影響，研究結果表明前者對后者影響較大[6]。Lai和Debo等研究了差價補償策略對零售商定價、庫存決策和消費者購買行為的影響，并得出結論：差價補償策略可以減少策略型消費者的等待動機[7]。Kukai和Grewal等的研究結果表明：消費者對差價補償策略的信任度隨著補償承諾力度增大而減小，但消費者感知的策略價值越大[8]。Desmet和Le等的研究結果表明如果消費者感知商家的售價過高，那么加大補償力度并不能增強消費者的購買意愿[9]。周正勇等以單一生產商、單一銷售商和大量策略消費者及短視消費者組成的供應鏈的研究結果表明：生產商的清貨補償行為可以增加銷售商的訂貨量，并提高銷售商的收益[10]。彭志強和熊中楷等研究結果表明：因為顧客的策略等待行為存在，差價補償策略可以提高商品的銷售價格，并增加銷售商的利潤[11]。王曉玉研究了差價補償策略在補償幅度和價格比較兩個方面的設置對消費者光顧購買意愿的影響，發(fā)現(xiàn)價格比較對光顧購買意愿有顯著主效應，差價補償幅度對光顧購買意愿的影響受消費者價格敏感度的調節(jié)[12]。 Chen和Narashimha指出供應商的差價補償策略會提高零售商的價格，零售商通過保持較高的價格組成價格聯(lián)盟以此獲得超額利潤，并減少了行業(yè)競爭[13]。

以上的研究都表明了差價補償策略可以有效地提高銷售商訂購水平，刺激更多的消費者購買，銷售獲得更多的利潤?，F(xiàn)有研究表明，制造商對銷售商于銷售期結束后的降價商品或剩余商品進行補貼的研究主要集中在價格補貼機制、價格保障機制等方面[14～20]，少有以差價補償系數(shù)和兩階段差價為核心參數(shù)的差價補償策略的博弈模型。價格補貼、價格保障與差價補償雖然有相似之處，都是制造商向銷售商補貼以實現(xiàn)風險共擔，但二者的機理有較大的差別：價格補貼主要側重于訂貨之前確定補貼價格，是靜態(tài)的；差價補償則針對不同銷售階段售價的差價為基礎的補貼機制，該補貼隨著差價的變化而變化，是動態(tài)的。并且，現(xiàn)有的研究大多集中在銷售商和顧客之間的差價補償策略研究，對制造商和零售商之間有關銷售差價補償策略的研究少之又少，將納什均衡博弈與Stackelberg博弈引入差價補償策略進行比較分析的研究還未看到。綜上，本文以銷售周期短、降價速度快的智能產品為研究主體，研究了差價補償策略的Nash均衡模型以及差價補償策略的斯塔克爾伯格博弈模型，提出了求解差價補償策略的斯塔克爾伯格模型的算法，并證明了算法的收斂性。數(shù)值分析結果表明了差價補償策略可以有效地增加銷售商的訂購量，同時提高制造商和銷售商的利潤。

1 問題描述與假設

差價補償策略適用于以下情形：銷售商需在銷售開始前一次性訂貨，銷售分為兩個階段，第一階段為全價銷售階段，新產品推出期，產品銷售價格較高；第二階段為降價銷售階段，由于智能產品生命周期短，加上市場競爭激烈、同類產品的可能替代等各種因素，導致產品對顧客的吸引力降低，競爭力逐漸減小，銷售商被迫采取降價銷售。如果產品降價，制造商將對銷售商剩余的產品給予一定的差價補償，差價根據(jù)訂貨時制造商制定的差價補償系數(shù)和產品銷售兩階段差價的乘積決定。

本文以一個制造商和一個銷售商組成的二級供應鏈為研究對象，并對研究問題做出如下假設：

第一，基于智能產品降價速度快、銷售周期短、價格波動頻繁等特點，模型不存在二次訂貨，銷售商只有一次訂貨機會，在銷售期間不能訂貨。

第二，銷售分為兩個階段：全價銷售階段和降價銷售階段，銷售商初始庫存為零。

第三，每個階段的市場需求x為一隨機變量，且兩個階段的市場需求相互獨立。

第四，制造商決定批發(fā)價格和差價補償系數(shù)，銷售商決定訂貨量，兩階段的銷售價格均由市場決定。

模型中所用的參數(shù)如下：

pi：第i階段銷售價格，i=1,2。

β：差價補償系數(shù)，是補充降價的比列，即制造商按β(p1-p2)給予銷售商單位產品降價造成的損失補償，β取值范圍是0到1,0是沒有補償，當β=1時制造商完全補償銷售商降價的損失。

cM：制造商的單位產品運營成本。

cR:銷售商的單位產品運營成本。

w：制造商給銷售商的單位產品批發(fā)價格。

q：銷售商訂購量。

xi：第i階段的產品市場需求，i=1,2。

v:第二銷售階段結束后的剩余商品單位殘值。

fi(xi),Fi(xi)：分別是第i階段需求xi的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)，i=1,2。

πM：制造商期望利潤。

πMR：斯塔克爾伯格博弈協(xié)調優(yōu)化的制造商利潤值。

πRi：銷售商第i階段期望利潤，i=1,2。

πR：銷售商兩階段總的期望利潤。

一般的，假設上述變量與參數(shù)滿足下面條件：

(1)p2

(2)v

(3)w+cR

(4)β(p1-p2)

(5)0≤β≤1，制造商對銷售商的差價補償不會超過兩階段銷售價格的差比例，即制造商按β(p1-p2)給予銷售商單位產品降價造成的損失補償，取β=0說明無補償，β=1表明降價部分全部補償給銷售商。

2 斯塔克爾伯格博弈協(xié)調優(yōu)化與算法

制造商和銷售商締結差價補償策略契約時，供應鏈系統(tǒng)各成員之間的行為過程是：首先由制造商確定批發(fā)價格w和差價補償系數(shù)β，然后銷售商根據(jù)市場需求信息、批發(fā)價格w和差價補償系數(shù)β來確定其訂購量q。在第一銷售階段，商品按價格p1出售，如果第一銷售階段結束后，商品還有剩余，未售出商品將進入第二銷售階段(降價銷售)，銷售價格為p2，且銷售商將獲得來自制造商的差價補償β(p1-p2)，如果第二銷售階段結束后還有剩余，銷售商將獲得商品殘值v。具體流程見圖1：

圖1 產品銷售周期和差價補償策略示意圖

制造商在兩階段的總期望利潤為：

πM(w,β)=E{(w-cM)q-β(p1-p2)(q-x1)+}

(1)

式(1)中的第一項為制造商所獲利潤，第二項為制造商在第二階段對銷售商進行差價補償?shù)膿p失。

對于銷售商，第二銷售階段的期望利潤為：

πR2(q)=E{(p2-cR)min[(x2,(q-x1)+]+v(q-x1-x2)+}

(2)

式(2)中的第一項為降價后銷售商獲得的利潤，第二項為銷售商降價產生的損失。

銷售商在第一銷售階段的期望利潤為：

πR1(q)=E{(p1-cR)min(x1,q)+-wq}+β(p1-p2)(q-x1)+

(3)

式(3)中的第一項為第一階段銷售商獲得的利潤，第二項為第一階段剩余產品產生的損失。綜合式(2)和式(3)，銷售商的期望總利潤為:

πR(q)=πR1(q)+πR2(q)

=(p1-cR-w)q-

(4)

式(4)中的第二部分為第一銷售階段剩余產品降價造成的損失，第三部分為第二銷售階段剩余產品的損失。

下面討論由(1)和(4)構成的制造商與銷售商的博弈模型，研究差價補償系數(shù)下的最優(yōu)批發(fā)價和訂購量，簡稱其為補償策略。

2.1 制造商與銷售商的納什均衡

在納什均衡博弈的情況下，制造商和銷售商按照各自的決策方式進行決策。此時，制造商和銷售商會在滿足自身約束的條件下，選擇使得自身利益最大化的決策方案。

由式(1)，制造商的定價模型為:

maxπM(w,β)=(w-cM)q-

s.t.cM≤w≤p2-cR

β(p1-p2)≤w

0≤β≤1

(5)

制造商利潤函數(shù)對β求偏導得：

令πM(w,β)求得最大值時的w、β分別為w*、β*，則w*=p2-cR，β*=0，且πM(w*,β*)=(p2-cR-cM)q*。

由式(4)，銷售商的訂購模型為：

maxπR(q)=(p1-cR-w)q-(1-β)

s.t.q≥0

(6)

我們將(5)和(6)合稱為博弈模型(P1)。

銷售商的利潤函數(shù)對q>0求導得：

w=p1-cR-(1-β)(p1-p2)F1(q)-

(7)

在納什均衡博弈的情況下，制造商和銷售商各自追求自身利潤最大，由式(1)～(5)可以得出銷售商的最優(yōu)訂購量受制造商給出的批發(fā)價格和差價補償系數(shù)的影響，即銷售商的訂購量是制造商的批發(fā)價格w和差價補償系數(shù)β的函數(shù)。當批發(fā)價格w*=p2-c1，差價補償系數(shù)β*=0，由式(7)得最優(yōu)訂購量q*滿足下式:

(p1-p2)(1-F1(q*))

(8)

此時，銷售商對應的收益為:

(9)

由此，我們可以得出以下結論。

定理1在納什均衡博弈情形下，博弈模型(P1)中制造商的最優(yōu)批發(fā)價格為w*=p2-cR，差價補償系數(shù)β*=0；銷售商的訂購量q*滿足式(8)。該策略下，制造商的利潤為πM(w*,β*)=(p2-cR-cM)q*，銷售商的利潤滿足式(9)。

在納什均衡博弈中，制造商不給銷售商任何補貼，銷售商的實際策略應該是不訂購，因為第2階段的銷售，銷售商是虧本的。

2.2 制造商為主導的銷售商博弈

下面考慮制造商為主導，決定批發(fā)價和差價補償系數(shù)，銷售商為從屬決策者，在批發(fā)價和補償系數(shù)確定的基礎上，確定最優(yōu)的訂購量。其模型具體如下：

s.t. max{cM,β(p1-p2)}≤w≤p2-cR

0≤β≤1

q是下面子問題的最優(yōu)解:

maxπR(q)=(p1-cR-w)q-

根據(jù)模型(P1)的推導過程，模型(P2)的最優(yōu)解通過求解下面模型得到：

(P3) maxπMR(w,β,q)

s.t.w=p1-cR-(1-β)(p1-p2)F1(q)-

max{cM,β(p1-p2)}≤w≤p2-cR

直接求解模型(P3)比較困難，我們提出一個求解(P3)的近似算法。

算法1

第2步劃分區(qū)間β∈[0,1]為Nk等分，取分割點

對于ik=1,2,…,Nk;jk=1,2,…,Mk，遍歷計算：

w(βik,qjk)=p1-cR+(1-βik)(p1-p2)F1(qjk)-

求指標集合:Ik={(ik,jk)|max{cM,βik(p1-p2)}≤w(βik,qjk)≤p1-cR,ik=1,2,…,Nk;jk=1,2,…,Mk}，顯然，(ik,jk)∈Ik，對應的(w(βik,qjk)，βik,qjk)是模型(P3)的可行解。

通過上面的算法1可以求得模型(P3)的近似最優(yōu)解。

πMR(w(βik,qjk),βik,qjk)→πMR(w*,β*,q*)

得到對于某個充分小的δ>0有

πMR(w(βik,qjk),βik,qjk)>πMR(w*,β*,q*)-δ

定理2說明算法1可以求得模型(P3)的近似最優(yōu)解。制造商批發(fā)價和補償系數(shù)變化對最優(yōu)訂購的影響由式(3～7)可以得到:

定理3如果β<1且(w,β,q)是模型(P3)的最優(yōu)解，那么，銷售商的最優(yōu)訂購量隨著w增大而減小，隨著β增大而增大。

2.3 制造商和銷售商的博弈協(xié)調優(yōu)化

制造商和銷售商之間的合作主要取決于批發(fā)價格以及差價補償系數(shù)，供應商制定的批發(fā)價滿足cM

s.t. max{cM,β(p1-p2)}≤w≤α(p2-cR)

q是下面子問題的最優(yōu)解:

根據(jù)模型(P1)的推導過程，模型(P2)的最優(yōu)解通過求解下面模型得到:

同樣，直接求解模型(P5)比較困難，我們提出一個求解(P5)的近似算法。

算法2

w(βi,qjk)=p1-cR-(1-βt)(p1-p2)F1(qjk)+

求指標集合：Jk={jk|max{cM,βi(p1-p2)}≤w(βt,qjk)≤p1-cR;jk=1,2,…,Mk}，顯然，jk∈Jk對應(w(βt,qjk),βt,qjk)的是對應(P5)的可行解。

通過上面的算法2可以求得模型(P5)的近似最優(yōu)解。

證明過程與定理3的證明過程類似，這里省略。

在差價補償策略下，銷售商的訂購量不低于無契約時集中供應鏈形式下的訂購量，從而實現(xiàn)了供應鏈整體利潤的最大化。

3 數(shù)據(jù)仿真實驗

通過理論推導，可知制造商為追求供應鏈整體利潤最大，促進銷售商多訂購，會選擇使用差價補償策略契約，即將批發(fā)價格和差價補償系數(shù)調整到能使整體供應鏈利潤達到最大。

下面，對模型進行數(shù)據(jù)仿真，主要驗證合作博弈數(shù)值模型的可行性和相關結論的有效性。假設某手機制造商和手機銷售商締結了差價補償契約(下面數(shù)據(jù)是根據(jù)一個手機銷售商提供的實際銷售運營數(shù)據(jù)，經過加工整理得到的)，正常價格銷售數(shù)據(jù)量平均為200臺，均方差為30，第一階段需求服從正態(tài)分布N(200,302)；第二銷售階段的銷售數(shù)量平均為100臺，均方差為30，第二階段需求服從正態(tài)分布N(100,302)，模型中各其他參數(shù)如下：p1=3999,p2=3199,cM=1200,cR=150,V=800。我們應用算法2，使用MATLAB分別計算批發(fā)價下調系數(shù)在α=1、0.9、0.8時對應不同補償系數(shù)的近似最優(yōu)批發(fā)價與訂購量，對應得到了表1、表2和表3。

表1 不同補償系數(shù)下的近似最優(yōu)批發(fā)價與訂購量的對比(下調系數(shù)α=1)

通過表1的數(shù)據(jù)可以看到，制造商的批發(fā)價不一定隨著補償價格增大而增大，銷售商的訂購量和利潤隨著補償系數(shù)增大而增大，當補償系數(shù)取0.8時，制造商利潤達最大。因此，制造商應該取補償系數(shù)0.8和批發(fā)價為2398.84，銷售商會采取訂購量266。與沒有補償系數(shù)相比，銷售商的訂購量和利潤分別增加了16%和18.63，而制造商的利潤提高了8.3%。補償系數(shù)有助于提高訂購量，以及制造商和銷售商的利潤。

表2是α=0.9在不同補償系數(shù)下的近似最優(yōu)批發(fā)價與訂購量的對比。通過表2的數(shù)據(jù)可以看到，隨著補償系數(shù)增大，供應商的批發(fā)價增大到2157.39后開始減小，銷售商的訂購量和利潤一直增大，在補償系數(shù)為0.6時，制造商的利潤達到最大。與表1相比，減少批發(fā)價下調系數(shù)，銷售商的訂購量和利潤都分別增加，但訂購量僅增加了3.76%，制造商利潤減小了16.5%，銷售商的利潤增加了50%。因此，批發(fā)價下調可以提高銷售商的訂購量，顯著地提高銷售商的利潤。

表2 不同補償系數(shù)下的近似最優(yōu)批發(fā)價與訂購量的對比(下調系數(shù)α=0.9)

表3是α=0.8在不同補償系數(shù)下的近似最優(yōu)批發(fā)價與訂購量的對比，通過表3的數(shù)據(jù)可以看到，隨著補償系數(shù)的增大，銷售商的訂購量和利潤一直增大，在補償系數(shù)為0.1時，制造商的利潤達到最大。與表2相比，減少批發(fā)價下調系數(shù)，對應的訂購量并沒有增加，制造商利潤減小了20%，因此，批發(fā)價下調系數(shù)降低時，制造商最大利潤的近似最優(yōu)訂購量不一定會增加。以本算例中的數(shù)據(jù)來看，制造商的批發(fā)價下調系數(shù)控制在0.8以上比較合適。在表3中補償系數(shù)為1時，算法沒有得到近似最優(yōu)策略，制造商與銷售商之間不存在交易策略。

表3 不同補償系數(shù)下的近似最優(yōu)批發(fā)價與訂購量的對比(下調系數(shù)α=0.8)

綜上，通過算例我們可以得到以下結論，

(1)算法2可以算出在給定批發(fā)價系數(shù)下不同補償系數(shù)下的近似最優(yōu)批發(fā)價和訂購量，可以選擇制造商利潤最大對應的補償系數(shù)對應的批發(fā)價和訂購量。

(2)差價補償系數(shù)越大，銷售商對應的訂購量和利潤越大，差價補償系數(shù)有利于改善制造商與銷售商的供應關系。

(3)批發(fā)價下調系數(shù)越小，銷售商對應的訂購量和利潤越大，但制造商的利潤越小，制造商可以選擇適當?shù)呐l(fā)價下調系數(shù)，使得銷售商訂購更多的產品。

(4)差價補償系數(shù)在第2個階段使得制造商和銷售商同時提高利潤，有利于銷售更多的產品。

4 結論

本文研究了針對智能產品類的短生命周期產品的差價補償策略，建立了具有差價補償系數(shù)和批發(fā)價下降系數(shù)的斯坦克伯格博弈協(xié)調訂購模型，提出了求解不同差價補償系數(shù)下的近似求解最優(yōu)批發(fā)價和訂購量的算法，證明了算法的收斂性。數(shù)據(jù)仿真實驗的結果表明，發(fā)現(xiàn)在第二階段降價銷售的情況下，合理的供應鏈契約能夠提高供應鏈的整體利潤，在差價補償策略下，制造商和銷售商進行斯坦克伯格協(xié)調博弈，博弈結果是差價補償系數(shù)使得制造商獲得近似最優(yōu)批發(fā)價格，提高銷售商的訂購數(shù)量，雙方同時獲得更多利潤。

本文的研究結果可以給制造商和銷售商之間關于采取差價補償策略進行合作時提供一定的參考，雙方可以根據(jù)自身在市場中的優(yōu)勢地位協(xié)調差價補償策略涉及的參數(shù)，如批發(fā)價格、訂購量、差價補償系數(shù)以及利潤協(xié)調方式等。差價補償策略的研究對促進供應鏈成員間的協(xié)同發(fā)展，具有重要的實際參考價值，也有助于完善供應鏈契約的制定及供應鏈契約體系，豐富供應鏈契約理論，具有重要的學術價值。