凸概率密度分布簇下的多損失魯棒優(yōu)化等價(jià)模型及在直營(yíng)連鎖企業(yè)中的應(yīng)用

徐蕾艷

(南京信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 數(shù)字商務(wù)學(xué)院，江蘇 南京 210023)

0 引言

在魯棒優(yōu)化理論方面，常見的是兩種情形，一種是不涉及不確定變量下擾動(dòng)集合下的魯棒優(yōu)化，另一種是隨機(jī)變量擾動(dòng)下的魯棒優(yōu)化，后一種是魯棒隨機(jī)優(yōu)化，一般是在一個(gè)概率分布簇下或者是圍繞一個(gè)概率分布擾動(dòng)情形下的魯棒優(yōu)化。

早期的研究主要是擾動(dòng)集合或概率分布簇下的魯棒優(yōu)化研究模型的求解方法，例如，Soyster[2]用線性優(yōu)化模型來(lái)構(gòu)建解決不確定的問(wèn)題模型，得出所有屬于一個(gè)凸集的數(shù)據(jù)都有可行的解。Ben-Taj、Nemirovski[3]和Ghaoui[4]對(duì)于不確定的半定規(guī)劃和二次規(guī)劃魯棒優(yōu)化方法做了一定的研究，對(duì)于魯棒優(yōu)化理論的建立與發(fā)展做出了一定的而貢獻(xiàn)。Popescu[5]、Delage[6]研究了均值和協(xié)方差矩陣擾動(dòng)分布的凸優(yōu)化魯棒模型方法。Natarajan[7]和Zymler[8]研究了最壞情形風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值下的魯棒模型求解方法。

魯棒隨機(jī)優(yōu)化模型在金融里也有許多研究，一般是研究一種混合概率分布簇的情形，它是有限分布函數(shù)的凸組合，例如，例如Huang和Zhu[9,10]針對(duì)證券組合投資問(wèn)題提出了一種WCVaR模型，WCVaR是定義在一個(gè)混合分布簇上的最壞情形下CVaR值，他們證明了WCVaR在混合分布下等價(jià)一個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題求解，對(duì)于證券組合投資比CVaR反映更有效。Takeda和Kanamori[11]同樣證明了魯棒CVaR問(wèn)題等價(jià)于一個(gè)有限多個(gè)分布簇的優(yōu)化問(wèn)題，用于統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)里。

綜上所述，研究各種分布擾動(dòng)情形下魯棒隨機(jī)優(yōu)化，對(duì)于解決實(shí)際問(wèn)題具有重要的理論意義和實(shí)際價(jià)值。本文將提出一種凸概率分布簇下魯棒優(yōu)化模型，可以用來(lái)解決直營(yíng)連鎖企業(yè)的產(chǎn)品分配供應(yīng)管理問(wèn)題。直營(yíng)連鎖公司(direct chain enterprise，簡(jiǎn)稱DCE)，是由公司總部直接經(jīng)營(yíng)、投資、管理它的連鎖零售店的經(jīng)營(yíng)，特別是對(duì)它的連鎖零售店的商品銷售進(jìn)行定價(jià)、分配與供應(yīng)等方面實(shí)施統(tǒng)一管理。一直以來(lái)，直營(yíng)連鎖企業(yè)的生產(chǎn)分配供應(yīng)問(wèn)題一直都是需要解決的重要問(wèn)題，在服裝和食品企業(yè)尤為明顯，生產(chǎn)供應(yīng)過(guò)?；虿蛔悻F(xiàn)象尤為普遍，如何提供最優(yōu)的生產(chǎn)與分配供應(yīng)策略已成為影響連鎖企業(yè)生存亟待解決的重要問(wèn)題。然而，針對(duì)直營(yíng)連鎖企業(yè)研究最多的是在營(yíng)銷、物流等方面[19～23]，這些研究表明了連鎖經(jīng)營(yíng)策略的有效性，但是，針對(duì)直營(yíng)連鎖企業(yè)在生產(chǎn)分配供應(yīng)方面的理論與應(yīng)用研究卻很少，有必要對(duì)連鎖企業(yè)的生產(chǎn)分配供應(yīng)策略進(jìn)行研究。為此，為了解決連鎖企業(yè)的生產(chǎn)分配供應(yīng)問(wèn)題，已經(jīng)研究了在生產(chǎn)總量與基于期望損失下的單周期最優(yōu)生產(chǎn)分配供應(yīng)模型[24]，導(dǎo)出了最優(yōu)分配供應(yīng)策略下的連鎖企業(yè)的最佳生產(chǎn)分配供應(yīng)策略。但由于未來(lái)產(chǎn)品概率需求分布存在波動(dòng)，這種波動(dòng)可以通過(guò)一種概率分布簇描述，使得我們找出概率分布簇下的最壞情形下的生產(chǎn)分配供應(yīng)魯棒策略，規(guī)避未來(lái)需求風(fēng)險(xiǎn)波動(dòng)導(dǎo)致的損失。故本文建立了一種凸概率分布簇下的單周期生產(chǎn)分配供應(yīng)魯棒模型，用于解決直營(yíng)連鎖企業(yè)的產(chǎn)品生產(chǎn)分配供應(yīng)問(wèn)題。

1 凸概率密度分布簇下的單周期期望均值魯棒優(yōu)化模型

本節(jié)首先導(dǎo)出凸概率(密度)分布簇下的一般單周期期望魯棒模型的等價(jià)模型。凸概率分布簇是一類具有廣泛意義的分布簇，例如文獻(xiàn)[9～11]中涉及的概率分布簇就是一類凸概率分布簇。

設(shè)?={pτ(ξτ)(τ∈Γ)}是由各種因素產(chǎn)生的概率密度函數(shù)分布簇，其中ξτ是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)分布pτ(ξτ)(τ∈Γ)ξτ∈[0,+∞)，概率分布函數(shù)為Pτ(ξτ)，假設(shè)Pτ(ξτ)=0，當(dāng)ξτ∈(-∞,0];Pτ(+∞)=1,其中Γ?RN中是一個(gè)非空凸集合。

定義1如果τ1,τ2∈Γ對(duì)應(yīng)的密度函數(shù)分布為pτ1(·),pτ2(·)∈?,對(duì)任意的t∈[0,1]有tτ1+(1-t)τ2∈Γ，使得tτ1+(1-t)τ2對(duì)應(yīng)的密度函數(shù)為:

ptτ1+(1-t)τ2(g)=tpτ1(g)+(1-t)pτ2(g)∈?

稱?是一個(gè)關(guān)于參數(shù)集合Γ的凸概率密度分布簇，對(duì)應(yīng)的{Pτ(ξτ)}構(gòu)成凸概率分布簇，其中Pτ(ξτ)的概率密度分布函數(shù)是pτ(ξτ)。

凸概率密度分布簇總是存在的，文獻(xiàn)[9～11,17]是凸概率密度分布簇。下面是2個(gè)凸分布簇的例子。

例1設(shè)給定1個(gè)均勻分布簇：?={pτ(ξτ)|τ∈Γ=[-ε,ε],ε>0}，其中給定0<ε

其中τ是擾動(dòng)變量, 不同τ的隨機(jī)變量ξτ(τ∈Γ)變化范圍不同，這是一個(gè)同分布簇，Γ=[-ε,ε]，顯然?是一個(gè)凸概率密度函數(shù)分布簇。

例2[9,10]：在實(shí)際問(wèn)題中，已知N個(gè)分布密度函數(shù)：pk(ξ),k=1,2,…,N, 做凸組合集合:

設(shè)g(x,ξτ):Rn×R1→R1是關(guān)于決策變量x在隨機(jī)變量ξτ影響下的損失函數(shù)，X是決策集合，ξτ是一個(gè)關(guān)于凸參數(shù)集合Γ下的凸概率密度分布簇的隨機(jī)變量，對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)分布pτ(ξτ)(τ∈Γ),ξτ∈[0,+∞)。定義在概率密度分布簇?上的最小最大期望均值單周期魯棒模型為:

定理1設(shè)X是一個(gè)凸集合，g(x,ξτ)是關(guān)于x的凸函數(shù)，?是一個(gè)關(guān)于凸集合Γ的凸概率密度分布簇，則：

(1)

定理2設(shè)X是一個(gè)凸集合，g(x,ξτ)是關(guān)于x的凸函數(shù)，?是一個(gè)關(guān)于凸集合的凸概率密度分布簇，則：(1)(P1.1)問(wèn)題等價(jià)于求解下面魯棒模型：

s.t.Eg(x,ξτ)≤u,?τ∈Γ,x∈X,u∈R1

(2)特別是概率密度分布簇為有限個(gè)分布的凸組合(稱之為混合概率分布簇)：

(2)

則模型(P1.2)等價(jià)于下面魯棒模型

k=1,2,…,N,x∈X,u∈R1

?={pτ(ξτ)=(pτ1(ξτ1),pτ2(ξτ2),…,pτm(ξτm))|τ

=(τ1,τ2,…,τm)∈Γ=Γ1×Γ2×…×Γm)}

顯然，概率密度分布簇?是凸概率密度分布簇。

基于權(quán)值w=(w1,w2,…,wm)定義在凸概率密度分布簇?上的單周期最小最大期望多損失魯棒模型為:

定理3設(shè)X是一個(gè)凸集合，gi(x,ξτi)(i=1,2,…,m)是關(guān)于x的凸函數(shù)，?是一個(gè)關(guān)于凸集合Γ的凸概率密度分布簇，則：

(3)

下面我們導(dǎo)出模型(P1.4)的另一個(gè)等價(jià)模型。

定理4設(shè)X是一個(gè)凸集合，gi(x,ξτi)(i=1,2,…,m)是關(guān)于x的凸函數(shù)，?是一個(gè)關(guān)于凸集合Γ的凸概率密度分布簇，則

(1)(P1.4)問(wèn)題等價(jià)于下面求解下面魯棒模型：

s.t.Egi(x,ξτi)≤ui,

?τi∈Γ,ui∈R1,i=1,2,…,m

(4)

ui∈R1,i=1,2,…,m

定理1.4表明魯棒模型(P1.4)等價(jià)于模型(P1.6)，下面我們用魯棒模型(P1.6)來(lái)建立直營(yíng)連鎖企業(yè)的單周期生產(chǎn)分配供應(yīng)魯棒模型。

2 單周期生產(chǎn)分配供應(yīng)期望均值魯棒模型

直營(yíng)連鎖企業(yè)中許多產(chǎn)品是單周期重復(fù)生產(chǎn)銷售的，例如面包直營(yíng)公司中的各種面包，有的品種一天生產(chǎn)一次，當(dāng)天銷售完，有的品種7天生產(chǎn)一次，7天銷售完。直營(yíng)連鎖企業(yè)在銷售周期中進(jìn)行生產(chǎn)，當(dāng)上個(gè)周期銷售完畢，再直接供應(yīng)給每個(gè)連鎖店進(jìn)行下一個(gè)周期銷售。因此，大多數(shù)產(chǎn)品很容易積累多個(gè)銷售周期的銷售量數(shù)據(jù)(需求樣本)。我們可以通過(guò)這些樣本獲得多個(gè)周期的近似概率分布簇。

本文將考慮產(chǎn)品銷售需求樣本數(shù)據(jù)可以獲得多個(gè)周期分布下的近似概率分布簇，如得到N個(gè)需求樣本周期的概率分布簇{pi(ξi)|i=1,2,…,N}，可以計(jì)算出對(duì)應(yīng)的每個(gè)周期銷售需求近似均值和近似方差。我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)，不同產(chǎn)品需求均值和方差在每個(gè)周期上具有不同的波動(dòng)，有的產(chǎn)品還具有較大的波動(dòng)。對(duì)于需求波動(dòng)變化大的產(chǎn)品，需要利用需求概率分布簇建立新的單周期生產(chǎn)分配供應(yīng)模型確定相應(yīng)的生產(chǎn)分配供應(yīng)策略。即尋找概率分布最大期望損失對(duì)應(yīng)的最小期望損失的單周期生產(chǎn)分配策略。我們建立魯棒模型的目標(biāo)是在需求概率分布最壞的情形下找出最好的單周期生產(chǎn)分配供應(yīng)策略。

假設(shè)：(1)連鎖公司的所有連鎖店個(gè)數(shù)為有限個(gè)，連鎖店統(tǒng)一接受連鎖公司的相同產(chǎn)品進(jìn)行銷售，所有產(chǎn)品具有相同的有效期和生產(chǎn)期，產(chǎn)品銷售按單一周期供應(yīng)一次，在銷售期內(nèi)銷售完不進(jìn)行補(bǔ)充產(chǎn)品。

(2)一個(gè)銷售周期分正常價(jià)格銷售時(shí)段和產(chǎn)品處理時(shí)段(或打折時(shí)段)，即產(chǎn)品在正常銷售時(shí)段按統(tǒng)一零售價(jià)格進(jìn)行銷售，在正常銷售時(shí)段結(jié)束時(shí)間點(diǎn)進(jìn)行盤點(diǎn)，每個(gè)零售店根據(jù)盤點(diǎn)剩余產(chǎn)品的庫(kù)存量按處理價(jià)賣余下的產(chǎn)品，按處理價(jià)一定可以處理完所有產(chǎn)品。

(3)已知可以獲得所有連鎖店的多個(gè)銷售周期的近似需求概率分布。

(4)總生產(chǎn)量供貨能力分最大生產(chǎn)總量和給定生產(chǎn)總量。

(5)已知單位產(chǎn)品零售價(jià)，每個(gè)連鎖店的成本價(jià)和處理價(jià)。

按上面假設(shè)，直營(yíng)連鎖企業(yè)對(duì)于每一個(gè)連鎖店會(huì)有一個(gè)供應(yīng)損失，受到供應(yīng)生產(chǎn)總量的限制，直營(yíng)連鎖企業(yè)需要決定生產(chǎn)多少商品按一個(gè)最優(yōu)的分配供應(yīng)給所有的直營(yíng)連鎖店，盡量使得總損失最小。

先給出下面符號(hào)假設(shè)：

a:單位產(chǎn)品零售價(jià)。

ci:單位產(chǎn)品成本價(jià)為(含運(yùn)輸費(fèi)、運(yùn)營(yíng)費(fèi)、保管費(fèi)等)，且a>ci。

ei:單位產(chǎn)品在過(guò)剩時(shí)(處理期)的處理價(jià)格，ei>0表明需要花費(fèi)處理費(fèi)用(產(chǎn)品沒有殘值)，ei<0表明產(chǎn)品單位殘值(在處理期內(nèi)進(jìn)行折價(jià)銷售)，ei=0表明剩余未售出產(chǎn)品的價(jià)值為0。

xi:分配供應(yīng)給第i個(gè)連鎖店的數(shù)量，是決策變量。

Q連鎖企業(yè)的總生產(chǎn)供應(yīng)量，需要滿足：x1+x2+…+xm=Q。

?i(i=1,2,…,m)是一個(gè)凸概率密度分布簇。

ξτi(τi∈Γi):第i個(gè)連鎖店的隨機(jī)需求變量，對(duì)應(yīng)的概率密度分布簇為pi(ξτi)(τi∈Γi)，概 率分布函數(shù)為Pτi(ξτi)，假設(shè)Pτi(ξτi)=0，當(dāng)ξτi∈(-∞,0];Pτi(+∞)=1,其中Γi?RN是一個(gè)非空集合，對(duì)應(yīng)的均值為μτi。

fi(xi,ξτi):第i個(gè)連鎖店在分配供應(yīng)量xi的損失函數(shù)。

2.1 最大生產(chǎn)總量限制單周期魯棒模型

k=1,2,…,N,i=1,2,…,m

xi≥0,ui≥0,i=1,2,…,m

2.2 定生產(chǎn)總量限制魯棒模型

如果給定生產(chǎn)總量Q， 采用(P1.6)建立單周期魯棒模型：

k=1,2,…,N,i=1,2,…,m

x1+x2+…+xm=Q

xi≥0,ui≥0,i=1,2,…,m

2.3 帶有分配約束限制的單周期生產(chǎn)分配供應(yīng)魯棒模型

k=1,2,…,N,i=1,2,…,m

ui≥0,i=1,2,…,m

k=1,2,…,N,i=1,2,…,m

x1+x2+…+xm=Q,x∈X

ui≥0,i=1,2,…,m

下面列舉幾種實(shí)際中存在的分配約束集合。

(1)連鎖店分配界約束

設(shè)si,Si(i=1,2,…,m)分別是第i個(gè)連鎖店最小和最大分配供應(yīng)量限制，那么得到分配約束集合X={(x1,x2,…,xm)|0

(2)區(qū)域最大生產(chǎn)總量有界約束

…

xi≥0,i=1,2,…,m}

(3)給定區(qū)域生產(chǎn)總量有界約束

當(dāng)直營(yíng)連鎖企業(yè)區(qū)域?qū)個(gè)連鎖店劃分成t個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域有m1，m2-m1，…，m-mt-1個(gè)連鎖店，直營(yíng)企業(yè)給第i個(gè)區(qū)域給定供應(yīng)量為Qi(i=1,2,…,t)，那么得到約束集合

X={(x1,x2,…,xm)|x1+x2+…+xm1=Q1

xm1+1+xm1+2+…+xm2=Q2

…

xmt-1+1+xmt-1+2+…+xm=Qt

xi≥0,i=1,2,…,m}

另外，我們還有一些生產(chǎn)分配供應(yīng)約束情形，例如生產(chǎn)資源約束、物流線路分配約束和有限資金分配約束等，這里不進(jìn)一步的考慮。

下面提出上面三種生產(chǎn)分配供應(yīng)魯棒模型的線性規(guī)劃近似求解方法。

3 單周期生產(chǎn)分配供應(yīng)魯棒策略近似計(jì)算方法

(5)

其中(k=1,2,…,N,i=1,2,…,m)。設(shè)wi第i個(gè)連鎖店的損失權(quán)重，wi>0，給定初始值：N,a,ei,ci,wi(i=1,2,…,m)。

下面給出上節(jié)三種模型的線性規(guī)劃模型。

3.1 最大生產(chǎn)總量限制線性規(guī)劃魯棒模型

單周期期望均值魯棒模型(P2.1)可以轉(zhuǎn)化求解下面的線性規(guī)劃魯棒模型：

k=1,2,…,N,i=1,2,…,m

xi≥0,ui≥0,i=1,2,…,m

3.2 給定生產(chǎn)總量線性規(guī)劃魯棒模型

模型(P2.2)可以轉(zhuǎn)化求解下面的線性規(guī)劃魯棒模型：

k=1,2,…,N,i=1,2,…,m

k=1,2,…,N,i=1,2,…,m,j=1,2,…,J

x1+x2+…+xm=Q,xi≥0,

ui≥0,i=1,2,…,m

3.3 帶有分配約束限制線性規(guī)劃魯棒模型

魯棒模型(P2.3)可以轉(zhuǎn)化求解下面的線性規(guī)劃魯棒模型：

k=1,2,…,N,i=1,2,…,m

k=1,2,…,N,i=1,2,…,m,j=1,2,…,J

x∈x,ui≥0,i=1,2,…,m

其中X是分配限制約束。魯棒模型(P2.4)可以轉(zhuǎn)化求解下面的線性規(guī)劃魯棒模型：

k=1,2,…,N,i=1,2,…,m

k=1,2,…,N,i=1,2,…,m,j=1,2,…,J

x1+x2+… +xm=Q,

x∈X,ui≥0,i=1,2,…,m

(6)

容易利用Matlab軟件中線性規(guī)劃函數(shù)直接求解，得到(P3.1)～(P3.4)的最優(yōu)生產(chǎn)分配供應(yīng)策略。后面的案例分析僅針對(duì)上述魯棒模型進(jìn)行數(shù)值分析。

4 數(shù)值分析

我們選取了直營(yíng)食品連鎖企業(yè)生產(chǎn)供應(yīng)同一種產(chǎn)品歷史數(shù)據(jù)，進(jìn)行了計(jì)算獲得近似的4個(gè)周期正態(tài)概率分布，分別給出了7家連鎖店的4個(gè)周期的近似概率分布(構(gòu)成混合概率分布簇)對(duì)應(yīng)的均值和方差。設(shè)連鎖店個(gè)數(shù)m=7, 零售價(jià)a=10元, 成本價(jià)c=[5,5.5,6,5.2,5.3,5.2,5.7]元，該產(chǎn)品有效周期為七天。處理價(jià)仍然取7個(gè)進(jìn)行生產(chǎn)分配供應(yīng)策略比較，下面分析處理價(jià)、需求方差變化、 給定不同生產(chǎn)總量和分配權(quán)值變化等情形下魯棒模型(P3.1)和(P3.2)的生產(chǎn)分配供應(yīng)策略比較。本文的數(shù)值實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)主要包括如下幾個(gè)方面：當(dāng)處理價(jià)格變化時(shí)，分析期望魯棒模型(P3.1)生產(chǎn)分配供應(yīng)策略的總供應(yīng)量、分配量、期望損失和期望收益損失變化；分析期望魯棒模型(P3.1)最優(yōu)生產(chǎn)分配供應(yīng)策略與偏離最優(yōu)生產(chǎn)分配供應(yīng)策略的對(duì)比；分析需求波動(dòng)與方差波動(dòng)對(duì)最優(yōu)生產(chǎn)分配供應(yīng)策略的影響；分析了給定生產(chǎn)總量下期望魯棒模型(P3.2)生產(chǎn)分配供應(yīng)策略的變化；分析給定生產(chǎn)總量下期望魯棒模型(P3.2)目標(biāo)權(quán)值變化對(duì)近似最優(yōu)策略的影響等問(wèn)題。

本文中所有計(jì)算結(jié)果都是由MATLAB軟件編程實(shí)現(xiàn)，下面是部分?jǐn)?shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析。

表1 不同處理價(jià)下最大生產(chǎn)量為4000時(shí)的生產(chǎn)分配供應(yīng)策略比較

(2)我們分析了模型(P3.1)和模型(P3.2)在需求變化的最優(yōu)生產(chǎn)分配供應(yīng)策略趨勢(shì)，數(shù)值結(jié)果表明，當(dāng)在原需求基礎(chǔ)上增加時(shí)，期望損失、期望收益和生產(chǎn)總量都逐漸增大，說(shuō)明當(dāng)需求減小時(shí)，這三個(gè)量隨著相應(yīng)的減小，表明生產(chǎn)分配供應(yīng)策略隨著需求變化而變化，需求變化會(huì)帶來(lái)供應(yīng)損失。需求變化引起魯棒模型的最優(yōu)生產(chǎn)分配供應(yīng)策略對(duì)應(yīng)變化，隨著需求增大，生產(chǎn)總量增大。隨著處理價(jià)增大，生產(chǎn)總量減小，以達(dá)到規(guī)避需求變動(dòng)時(shí)引起的供應(yīng)過(guò)?；虿蛔泔L(fēng)險(xiǎn)的目的。特別是需求方差增大時(shí)，若采用最優(yōu)生產(chǎn)分配供應(yīng)魯棒策略時(shí)，應(yīng)采取對(duì)應(yīng)處理價(jià)的生產(chǎn)總量進(jìn)行生產(chǎn)分配供應(yīng)，減少生產(chǎn)總量，規(guī)避波動(dòng)變大時(shí)產(chǎn)生的供應(yīng)過(guò)?；虿蛔銚p失。

(3)我們分析了模型(P3.1)和模型(P3.2)給定生產(chǎn)總量控制下的最優(yōu)生產(chǎn)分配策略變化，數(shù)值結(jié)果表明在給定生產(chǎn)總量的情形下，當(dāng)生產(chǎn)總量偏離最小風(fēng)險(xiǎn)損失的最佳生產(chǎn)量時(shí)，期望風(fēng)險(xiǎn)損失增大，期望收益減小。但是，最優(yōu)生產(chǎn)總量的期望最小風(fēng)險(xiǎn)損失對(duì)應(yīng)的期望收益不一定是最大的，也就是說(shuō)，若模型(P3.1)的求得最優(yōu)生產(chǎn)總量時(shí)，適當(dāng)減小供應(yīng)量時(shí)，盡管增加一定的期望風(fēng)險(xiǎn)損失，期望收益有可能增加。因此，企業(yè)把生產(chǎn)分配總量控制在損失最小的生產(chǎn)總量與利潤(rùn)最大的生產(chǎn)總量之間，保證盡可能多的獲得利潤(rùn)。

例如，當(dāng)需求方差增加100時(shí)，處理價(jià)為0時(shí)，模型(P3.1)得到的最優(yōu)生產(chǎn)量為2173，最小損失403.27，期望收益為5528.57。圖4.1給出處理價(jià)為0時(shí)給定訂購(gòu)總量[2120,2220]的期望損失和期望收益的變化趨勢(shì)，當(dāng)生產(chǎn)總量為2151時(shí)，計(jì)算得到的損失風(fēng)險(xiǎn)403.36，期望收益為5550.75為最大(見圖1)。若采用偏離分散供應(yīng)的生產(chǎn)總量2151得到的生產(chǎn)分配供應(yīng)策略的期望收益為最大。因?yàn)閺膱D1看到，當(dāng)訂購(gòu)量在2140到2210時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)損失幾乎不變，即最大期望收益損失點(diǎn)的損失值403.39接近最小期望損失點(diǎn)損失值403.27，而對(duì)應(yīng)的期望收益在2151時(shí)到達(dá)最大值5550.75，在2173時(shí)附近期望損失最小點(diǎn)對(duì)應(yīng)的期望收益幾乎達(dá)到最小值5529.58。

總之，通過(guò)魯棒模型(P3.1)和(P3.2)可以確定一個(gè)對(duì)應(yīng)的處理價(jià)下的訂購(gòu)總量區(qū)間，得到對(duì)應(yīng)的期望最大利潤(rùn)與期望最小損失的生產(chǎn)總量。需求波動(dòng)大時(shí)取區(qū)間中小的訂購(gòu)總量對(duì)應(yīng)的最優(yōu)生產(chǎn)分配供應(yīng)策略，需求波動(dòng)小的時(shí)候建議取區(qū)間中大的訂購(gòu)總量對(duì)應(yīng)的最優(yōu)生產(chǎn)分配供應(yīng)策略。

圖1 處理價(jià)為0時(shí)給定訂購(gòu)總量對(duì)應(yīng)的期望總損失和期望收益變化趨勢(shì)

(5) 給出了區(qū)域生產(chǎn)分配約束的期望魯棒模型比較

對(duì)于分配約束的期望魯棒模型(P3.3)和(P3.4)可采用線性規(guī)劃模型進(jìn)行求解。在這個(gè)案例中7個(gè)連鎖店，前4個(gè)在同一個(gè)區(qū)域(它們之間實(shí)際距離比較近些)，后3個(gè)連鎖店在同一個(gè)區(qū)域(它們之間實(shí)際距離比較近些)。由于受到下一周期的資金產(chǎn)生的控制，換算成分配量后，第1個(gè)區(qū)域至少供應(yīng)900，最多供應(yīng)1000，第2個(gè)區(qū)域至少供應(yīng)1100，最多供應(yīng)1200。得到區(qū)域約束條件為:X={(x1,x2,…,x7)|900≤x1+x2+x3+x4≤1000,1100≤x5+x6+x7≤1200}。

表2是模型(P3.3)獲得的不同處理價(jià)生產(chǎn)分配量、生產(chǎn)總量、風(fēng)險(xiǎn)損失和期望收益結(jié)果。表2中當(dāng)處理價(jià)增大時(shí)生產(chǎn)總量及分配量逐漸減小，風(fēng)險(xiǎn)損失增大，期望收益減小。表2中生產(chǎn)總量低于(P3.3)的生產(chǎn)總量，風(fēng)險(xiǎn)損失變得更大。表3是模型(P3.4)獲得的不同處理價(jià)生產(chǎn)分配量、生產(chǎn)總量、風(fēng)險(xiǎn)損失和期望收益結(jié)果。表3中當(dāng)處理價(jià)增大時(shí)生產(chǎn)總量及分配量逐漸減小，風(fēng)險(xiǎn)損失增大，期望收益減小。與表2的結(jié)果相比較，在處理價(jià)小于0時(shí)表3的結(jié)果與表1的生產(chǎn)分配供應(yīng)策略不同。這里看到分配約束不同，得到的最優(yōu)生產(chǎn)策略不同。表2與表3的生產(chǎn)分配策略存在較大的差異。

表2 分配約束下模型(P3.3)的分配供應(yīng)量、生產(chǎn)總量、風(fēng)險(xiǎn)損失和期望收益

表3 分配約束下模型(P3.4)的生產(chǎn)分配量、生產(chǎn)總量、風(fēng)險(xiǎn)損失和期望收益

5 結(jié)論

本文首先提出了基于參數(shù)集合的凸概率分布簇概率，建立了在凸概率分布簇下的單周期期望均值魯棒模型，證明了期望均值魯棒模型等價(jià)于一個(gè)較容易求解的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型。然后，分別建立了直營(yíng)連鎖企業(yè)給定最大生產(chǎn)總量、給定生產(chǎn)總量和分配供應(yīng)約束情形下的單周期生產(chǎn)分配供應(yīng)期望均值魯棒模型，在給定多個(gè)有限樣本周期獲得的概率分布下，生產(chǎn)分配供應(yīng)魯棒模型可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)線性規(guī)劃模型。最后，選擇了某直營(yíng)連鎖企業(yè)的一個(gè)產(chǎn)品的4個(gè)周期近似概率分布(構(gòu)成的混合概率分布簇)，針對(duì)單周期生產(chǎn)分配供應(yīng)線性規(guī)劃魯棒模型，進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明了單周期期望均值魯棒模型可以提供期望損失最小或期望收益最大的近似最優(yōu)生產(chǎn)分配供應(yīng)策略，期望均值魯棒模型比期望均值模型獲得更加保守的生產(chǎn)分配供應(yīng)策略。當(dāng)需求波動(dòng)大的產(chǎn)品，隨著處理價(jià)的增大，生產(chǎn)總量和分配量對(duì)會(huì)相應(yīng)減少，規(guī)避需求波動(dòng)過(guò)大時(shí)產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)損失。

另外，我們還給出了分配約束的單周期生產(chǎn)分配供應(yīng)期望均值魯棒模型，如分配變量界約束魯棒模型、區(qū)域最大生產(chǎn)總量與區(qū)域給定生產(chǎn)總量約束的生產(chǎn)分配供應(yīng)魯棒模型。這些魯棒模型可以轉(zhuǎn)換為線性規(guī)劃模型求解，容易求得相應(yīng)的單周期生產(chǎn)分配供應(yīng)魯棒策略，為直營(yíng)連鎖企業(yè)提供生產(chǎn)分配供應(yīng)決策指導(dǎo)。