移動車輛作用下周期性高架橋的動力響應

范勝帥，馬 麗，陸建飛，馮青松

(1. 江蘇大學土木工程與力學學院，江蘇鎮(zhèn)江212013； 2. 東南大學成賢學院機械與電氣工程學院，江蘇南京210088；3. 華東交通大學土木建筑學院，江西南昌330013)

自19世紀20年代第一條鐵路建成以來，學術(shù)界對列車引起的橋梁振動問題進行了研究。在隨后的100多年，在列車引起的橋梁振動的研究中通常忽略車輛和橋梁的耦合作用，而將車輛簡化為移動荷載，橋梁則簡化為簡支梁或連續(xù)梁，然后通過解析或數(shù)值方法得到移動荷載作用下橋梁的動力解。上述方法在車輛質(zhì)量相對橋梁結(jié)構(gòu)很小且車速較低情況下有其合理性，但當車輛的質(zhì)量和橋梁質(zhì)量相比不可忽略時，會帶來較大誤差。20世紀60年代前后，以日本為代表的發(fā)達國家開始興建高速鐵路，這使列車與橋梁之間的耦合振動問題日益得到重視，也促使學術(shù)界建立了一些車橋耦合振動的模型。根據(jù)所采用的車輛模型，這些模型包括移動質(zhì)量模型、移動彈簧-質(zhì)量模型、剛性移動車輛模型、可變形移動車輛模型。Akin等[1]建立了移動質(zhì)量作用下簡支梁的動力響應分析模型。Chu等[2]所建立的多剛體車輛模型得到了的廣泛采納。曾京等[3]、曹輝等[4]鑒于車輛的輕量化設計趨勢，對彈性車體的動力特性進行了研究。根據(jù)橋梁建模方法，車橋耦合模型可分為有限元模型[5]和模態(tài)坐標模型[6]，而有限元模型又分為桿系有限元模型和空間有限元模型[7]。根據(jù)車橋耦合振動的求解方法，車橋耦合模型又可分為解析模型[8]、半解析模型[9]、數(shù)值模型[10]。

近10年來，隨著高速鐵路的進一步發(fā)展，高架鐵路已成為高速鐵路的一種重要形式，因此，高架鐵路橋梁也逐漸成為學術(shù)界關(guān)注的對象。由于正常路段高架鐵路的各跨通常具有相同的跨度，因此正常路段的高架鐵路?？珊喕癁橹芷谛越Y(jié)構(gòu)。由于周期性高架鐵路的周期性和無限性，因此，上述針對簡支梁和連續(xù)梁橋的車橋耦合求解方法很難適用。目前，根據(jù)周期性高架鐵路的特點，學術(shù)界也對相關(guān)的振動及車橋耦合振動問題進行了研究。例如，Lu等[11]利用傅里葉變換和傳遞矩陣法，建立了周期性高架橋(periodic viaduct，PV)受移動荷載作用的計算模型；隨后又考慮到荷載的慣性效應，研究了移動質(zhì)量[12]條件下PV的動力響應問題。

值得指出的是，把車輛簡化成移動質(zhì)量雖然可考察PV的振動和車輛的慣性效應；但是無法考察移動過程中車輛的振動，因此，必須建立更精細的車輛模型，以對移動車輛與PV的耦合振動問題進行研究。鑒于此，本文中建立移動車輛模型，并結(jié)合已有的PV模型，研究移動車輛和周期性高架鐵路的耦合振動問題?；谒⒌哪Ｐ?，重點分析車輛移動過程中的車橋作用力、車輛的動力響應以及PV的動力響應等。

1 PV對移動車輛動力響應的一般表達式

圖1所示為移動車輛作用下PV簡化計算模型，其中PV上有以恒定速度v行駛的車輛。為了簡便，本文中使用文獻[12]中建立的簡化高架橋模型來模擬周期性高架鐵路，其中PV由無限相同的跨組成，高架橋的每跨由1個橋墩(假設墩底與土體剛性聯(lián)結(jié))、2根混凝土梁(左、右)和3個連接彈簧組成，3個構(gòu)件的連接處稱為梁-梁-墩(beam-beam-pier，BBP)接頭，總體坐標系的坐標原點在第0跨BBP接頭中心。本文中的車輛簡化為1個剛體和2個支撐剛體的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)(spring mass system，SMS)，其中剛體代表車體，2個SMS代表與剛性車體相連的轉(zhuǎn)向架和車輪，每個SMS由下彈簧、上彈簧、阻尼器(spring damping system，SDS)直接與高架橋接觸的質(zhì)量組成(見圖1)。為了簡便，本文中忽略每個SMS中彈簧和阻尼器的質(zhì)量。

L—PV的跨度； v—移動車輛的運行速度； d—車輛前、后彈簧質(zhì)量系統(tǒng)(SMS)的距離； dq、dh—前、后SMS與車體質(zhì)心間的距離； ηq—前SMS的下部彈簧剛度、上部彈簧剛度、阻尼系數(shù)； ηh—后SMS的下部彈簧剛度、上部彈簧剛度、阻尼系數(shù)； xoz—總體坐標系。圖1 移動車輛作用下周期性高架橋(PV)簡化計算模型

研究移動車輛與PV之間的耦合振動問題涉及到對時間和空間坐標的傅里葉變換。時間的傅里葉變換定義[13]為

(1)

(2)

假設車輛前、后SMS之間的距離為d。前、后SMS的位置為

(3)

假設前、后SMS與PV之間的相互作用力為fcq(t)、fch(t)，簡稱車橋作用力。根據(jù)車橋作用力，前、后SMS作用于PV的移動荷載可表示為

(4)

式中δ為狄拉克函數(shù)。慣性效應使得SMS與PV間的作用力fcq(t)、fch(t)均未知。由于高架鐵路沿走向呈周期性，因此，車橋作用力fcq(t)、fch(t)也呈類似的周期性。車橋作用力fcq(t)、fch(t)的傅里葉展開式為

(5)

(6)

式中Fj(ζ,t)為車橋作用力的第j個移動荷載分量。Fj(ζ,t)可進一步分解為

(7)

如果已知PV對第j個單位移動荷載分量的響應，則PV對車橋作用力的總時域和頻域響應為

(8)

(9)

(10)

kj=(ω-Ωj)/v,α=q, h。

(11)

式(11)表明，PV對第j個單位移動荷載分量的頻域響應為

(12)

2 移動車輛的動力方程

為了確定車橋作用力，需要根據(jù)車橋耦合條件對移動車輛進行動力學分析。車體的垂直和轉(zhuǎn)動振動的運動方程為

(13)

(14)

類似地，根據(jù)牛頓第二定律，可得前、后SMS下部質(zhì)量的運動方程為

(15)

由于車體與SMS系統(tǒng)頂部聯(lián)結(jié)，因此SMS的頂部垂直位移為

(16)

(17)

(18)

根據(jù)方程(16)，有等式

(19)

(20)

(21)

根據(jù)式(8)，PV梁在移動車輛作用下的垂直方向的位移為

(22)

(23)

(24)

(25)

式中 δ0k為克羅內(nèi)克符號。類似地，根據(jù)前、后SMS下部質(zhì)量的運動方程，可得

(26)

獲得PV對第j個單位移動荷載分量的響應后，即可根據(jù)式(25)、(26)來確定車橋作用力和彈簧恢復力的傅里葉系數(shù)。將所得的傅里葉系數(shù)代入式(8)，可得PV對車輛的動力響應。

3 車橋作用力的數(shù)值計算方法

本文中采用黏彈性理論中的Cole-Cole模型[14]描述PV梁和墩材料振動的衰減，根據(jù)Cole-Cole模型，梁和墩的復楊氏模量為

(27)

為了在數(shù)值上求解2節(jié)中所述的耦合方程，需要適當?shù)亟財喾匠?5)、(16)、(24)中的傅里葉級數(shù)。由于在實際工程中，車橋作用力和彈簧恢復力具有特定帶寬，因此級數(shù)應根據(jù)帶寬進行截斷。假設方程中的傅里葉級數(shù)截斷項數(shù)為Nf，則

(28)

Nf=2Nh+1為截斷項數(shù)，關(guān)于0對稱。類似地，對2節(jié)中所得的運動方程(25)、(26)進行Nf項級數(shù)截斷，可得方程

(29)

(30)

4 模型驗證與算例分析

4.1 模型驗證

為了驗證所提出模型的正確性，將車輛模型退化至單個移動質(zhì)量，與文獻[12]中的結(jié)果進行對比，同時對比本模型中車橋作用力和文獻[12]中的結(jié)果，如圖2所示。由圖可知，PV的剪力響應吻合較好； 車橋作用力的吻合度很高，驗證了本模型的正確性。

(a)梁截面剪力,Mv=Mb/20(b)車橋作用力,Mv=Mb/5Mv—車體質(zhì)量; Mb—同期性高架橋梁質(zhì)量。圖2 車速為50 m/s時模型驗證對比

4.2 動力響應分析

分析質(zhì)量對車橋作用力和車輛位移響應的影響，以及車輛的移動速度對PV動力響應的影響。表1所示為梁、墩及SMS等材料的幾何參數(shù)。本節(jié)中涉及的算例中，車輛模型的前、后SMS的距離取為6 m。車體質(zhì)量在觀察跨梁質(zhì)量的1/20、1/10、1/5中選取，前、后SMS質(zhì)量均取為車體質(zhì)量的1/6。取PV的第40跨作為觀察跨，跨度為24 m。由于車橋耦合振動集中在低頻范圍，頻率的范圍設定為0～60 Hz。為了避免時域響應的混疊，傅里葉逆變換中頻域內(nèi)采樣點個數(shù)取為20 001。當傅里葉級數(shù)的截斷項數(shù)大于39時，車橋作用力趨于收斂，因此本節(jié)中所有算例中的截斷項數(shù)均取為41。

表1 各構(gòu)件參數(shù)及梁-梁-墩(BBP)接頭處彈簧剛度

當車速取為150 m/s，質(zhì)量分別為觀察跨梁質(zhì)量的1/20、1/5時，車橋作用力的計算結(jié)果如圖3所示。由圖可知，前、后車橋作用力均不關(guān)于BBP接頭對稱，并且當速度相同時，車體質(zhì)量越大，則車橋作用力與質(zhì)量的比值越大； 當質(zhì)量取為梁質(zhì)量的1/5時，車橋作用力出現(xiàn)了負值。

(a)Mv=Mb/20(b)Mv=Mb/5Mv—車體質(zhì)量; Mb—周期性高架橋梁質(zhì)量; SMS—彈簧質(zhì)量系統(tǒng)。圖3 車速為150 m/s時前、 后車橋作用力分析

當車速分別取為50、150 m/s，質(zhì)量為觀察跨梁質(zhì)量的1/20、1/5時，車體的豎向振動位移響應如圖4所示。由圖可知，隨著速度的增大，不同車體質(zhì)量對應的觀察跨的位移響應峰值均減小，并且質(zhì)量越大，則峰值越小，但是隨著車體質(zhì)量的增大，位移響應的峰值均增大。

(a)車速為50 m/s(b)車速為150 m/sMv—車體質(zhì)量; Mb—PV梁質(zhì)量。圖4 周期性高架橋(PV)觀察跨車輛位移響應分析

當車速分別取50、150 m/s，車體質(zhì)量為觀察跨梁質(zhì)量的1/20時，PV的位移響應如圖5所示。由圖可知，低頻段的峰值均遠大于相應的高頻段的峰值，且速度越大，主共振峰所在通帶的頻率越低，并且響應越大，車速為150 m/s時的主共振峰頻率比車速為50 m/s時的主共振峰頻率低5 Hz。

(a)車速為50 m/s(b)車速為150 m/sMv—車體質(zhì)量; Mb—PV梁質(zhì)量。圖5 Mv=Mb/20時周期性高架橋(PV)跨中截面位移響應分析

表2所示為計算車輛自振頻率相關(guān)的參數(shù)。根據(jù)表2可確定車輛自身的2個自振頻率分別為7.225、8.106 Hz，倒數(shù)為自振周期。稱車橋作用力的周期與車輛自振周期相等時的車輛速度為車輛的共振速度，對應車輛自振周期，車輛的共振速度分別為122.580、137.564 m/s。

表2 計算車輛自振頻率相關(guān)的參數(shù)

為了考察共振速度對PV動力響應的影響，分別計算PV對上述2個共振速度和相應的2個非共振速度的移動車輛對應的動力響應，結(jié)果如圖6所示。由圖可知，在低頻段，共振速度時的剪力響應均明顯大于非共振速度時的，尤其是在頻率為9 Hz附近出現(xiàn)了主共振峰，即車、橋共振時動力響應最顯著。

(a)第1個共振與非共振速度(b)第2個共振與非共振速度Mv—車體質(zhì)量; Mb—PV梁質(zhì)量; v—車速;Mw—彈簧質(zhì)量系統(tǒng)質(zhì)量; g—重力加速度;Qb—剪力。圖6 Mv=Mb/10時共振速度與非共振速度下周期性高架橋(PV)剪力響應分析

5 結(jié)論

本文中建立了移動車輛作用下PV動力響應求解的模型，并探討了PV的動力響應特征及其影響因素，得到以下主要結(jié)論：

1)對于高速運行的大質(zhì)量列車，車橋作用力會出現(xiàn)負值，使得列車行駛過程中的不安全性增加，因此，在高速鐵路和列車的設計計算中需要考慮質(zhì)量與速度的關(guān)系。

2)車輛的自振頻率對PV的動力響應有直接影響。當車橋發(fā)生共振時，PV的剪力響應顯著放大。

3)隨著車輛移動速度的增大，PV的動力響應整體上呈增加趨勢。PV位移響應在低頻段的峰值遠大于相應的高頻段的峰值，車輛的移動速度越大，低頻響應越顯著。