基于時(shí)滯GM(1,1)模型的地下水資源量預(yù)測(cè)

羅黨，丁婳婳

(華北水利水電大學(xué)，河南 鄭州 450046)

旱災(zāi)是干旱在某一地區(qū)發(fā)展到一定程度導(dǎo)致的水資源匱乏所引起的災(zāi)害，是各種自然因素、社會(huì)因素綜合作用的結(jié)果[1]。進(jìn)入21世紀(jì)以來(lái)，我國(guó)干旱災(zāi)害管理模式正在發(fā)生根本性變化[2]，由應(yīng)急抗旱、短期抗旱向常規(guī)抗旱、長(zhǎng)期抗旱的戰(zhàn)略思想轉(zhuǎn)變，最終轉(zhuǎn)向主動(dòng)的旱災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)管理模式，這種轉(zhuǎn)向預(yù)示著需要加強(qiáng)干旱預(yù)測(cè)方法的研究，從而為旱災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估與調(diào)控提供理論依據(jù)。為更好地提高一個(gè)區(qū)域的抗旱能力，需要客觀分析當(dāng)?shù)氐暮登楝F(xiàn)狀并預(yù)測(cè)其未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)，并根據(jù)不同的干旱等級(jí)采取相對(duì)應(yīng)的措施。地下水資源是評(píng)價(jià)旱情現(xiàn)狀的重要信息，也是保障生產(chǎn)、生活需要所不可缺少的重要資源。在降雨較少的年份，若地下水容量較大，就能夠有效補(bǔ)給土壤中的水分，給植被提供需水，保障農(nóng)作物生存，在一定程度上可以避免農(nóng)業(yè)干旱的發(fā)生。因此，地下水資源量預(yù)測(cè)對(duì)旱情防范具有重要意義。

目前針對(duì)地下水預(yù)測(cè)主要采用的方法可歸為兩類：第一類是根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)建立回歸方程，通過(guò)數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行預(yù)測(cè)[3-5]；第二類是通過(guò)物理成因的數(shù)學(xué)模型來(lái)對(duì)地下水位進(jìn)行推演[6-7]。第一類方法雖然能夠綜合考慮地下水位的演變走勢(shì)，但需要較長(zhǎng)序列的數(shù)據(jù)來(lái)建立回歸方程。第二類方法雖不需要長(zhǎng)序列數(shù)據(jù)，但模型的構(gòu)建比較復(fù)雜，較難推廣。地下水資源量的影響因素來(lái)自多個(gè)方面，具有不確定性。如在自然環(huán)境方面主要受氣候影響，地下水資源主要來(lái)源于大氣降水和河流補(bǔ)給，由于大氣運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜性，大氣降水具有不確定性。在人為方面，對(duì)地下水資源量產(chǎn)生主要影響的是不合理開(kāi)采。這些不確定性給地下水資源量的精準(zhǔn)預(yù)測(cè)帶來(lái)了困難。地下水資源作為大自然的產(chǎn)物，人類可以通過(guò)地質(zhì)調(diào)查等手段獲得其容量、分布情況等信息，但其受較多因素的影響，且人類的認(rèn)知能力和獲取有關(guān)信息的手段有限。因此，人們所獲得的信息往往也帶有某種不確定性，并不能完全掌握其本質(zhì)規(guī)律。如何通過(guò)對(duì)部分已知信息的挖掘，來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)地下水資源量演化規(guī)律的正確描述，針對(duì)這類部分信息已知的不確定性系統(tǒng)的預(yù)測(cè)問(wèn)題，灰色系統(tǒng)理論顯出其優(yōu)越性。該理論自創(chuàng)立以來(lái)，眾多學(xué)者在GM(1,1)模型的灰導(dǎo)數(shù)、背景值、初始條件、模型拓展等方面都取得了很多研究成果[8-10]。也有學(xué)者應(yīng)用灰色預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)地下水資源量，如張?jiān)圃频萚11]建立了包含灰色預(yù)測(cè)模型的組合模型來(lái)預(yù)測(cè)山東省的地下水資源量；付明明[12]在GM(1,1)模型中通過(guò)改進(jìn)變量的權(quán)重系數(shù)來(lái)預(yù)測(cè)喀什地區(qū)的地下水水位，取得了較好的效果。

地下水與地表水是相互聯(lián)系的，都會(huì)在對(duì)方水位下降到一定程度時(shí)為其提供補(bǔ)給，保持水資源的一種均衡。地下水資源無(wú)論是提供或接受補(bǔ)給，都有一部分水量?jī)?chǔ)存于地下含水層中，因此具有一定的滯留積累效應(yīng)；且在地下水資源形成的過(guò)程中，入滲的水經(jīng)過(guò)復(fù)雜的地質(zhì)結(jié)構(gòu)層層下滲才能最終形成地下水，也呈現(xiàn)出時(shí)滯效應(yīng)。有學(xué)者對(duì)具有時(shí)滯效應(yīng)的灰色系統(tǒng)進(jìn)行了研究，有效解決了小樣本數(shù)據(jù)下的時(shí)滯問(wèn)題。如翟軍等[13]將滯后項(xiàng)引入GM(1,2)模型，通過(guò)誤差最小化原則來(lái)確定時(shí)滯參數(shù)；郝永紅等[14]通過(guò)建立GM(1,2)時(shí)滯模型對(duì)娘子關(guān)泉水的流量進(jìn)行預(yù)測(cè)，效果很好；DENG J L[15]在GM(1,1)中引入時(shí)滯因子，提出了GM(1,1|τ,r)模型。對(duì)于多變量少信息不確定系統(tǒng)出現(xiàn)的延遲性和時(shí)間變化問(wèn)題，黃繼[16]將GM(1,1|τ,r)模型拓展為GM(1,N|τ,r)模型；陳興怡等[17]提出了GM(1,1,τ)模型，并以灰色相對(duì)關(guān)聯(lián)度最大化為目標(biāo)來(lái)求解模型的時(shí)滯參數(shù)；文獻(xiàn)[18]為使時(shí)滯參數(shù)不為某一固定值，提出了含時(shí)變時(shí)滯參數(shù)的GM(1,1|τi)模型；王正新[19]提出了灰色多變量時(shí)滯GM(1,N)模型，該模型在描述多變量不確定系統(tǒng)的延時(shí)性方面效果較好；丁松等[20]提出了具有時(shí)滯特性的灰色多變量離散預(yù)測(cè)模型，當(dāng)背景信息不充分時(shí)，可使用粒子群算法來(lái)確定時(shí)滯參數(shù)。

現(xiàn)有的時(shí)滯模型中，系統(tǒng)行為序列的當(dāng)期值大多僅受滯后τ期單期影響因子的作用，而對(duì)時(shí)滯效應(yīng)的長(zhǎng)期性研究較少。為有效預(yù)測(cè)地下水資源量，需考慮其時(shí)滯積累效應(yīng)，故本文在傳統(tǒng)的GM(1,1)模型中引入時(shí)滯參數(shù)，構(gòu)建新的預(yù)測(cè)模型，并將模型應(yīng)用到河南省南陽(yáng)市和信陽(yáng)市的地下水資源量的模擬預(yù)測(cè)中，驗(yàn)證模型的有效性和實(shí)用性。

1 時(shí)滯GM(1,1)模型

1.1 時(shí)滯GM(1,1)模型的定義及參數(shù)估計(jì)

定義1設(shè)系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列為：

X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))，

其一階累加生成序列(1-AGO)為：

X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n))。

Z(1)=(z(1)(2),z(1)(3),…,z(1)(n))，

其中z(1)(k)=0.5(x(1)(k)+x(1)(k-1))。則稱

(1)

為時(shí)滯GM(1,1)模型。

該時(shí)滯GM(1,1)模型中，-a為系統(tǒng)發(fā)展系數(shù)；bλk-1-j為驅(qū)動(dòng)系數(shù),其隨時(shí)間的推移呈現(xiàn)遞減規(guī)律；λ為時(shí)滯參數(shù),反映變量對(duì)系統(tǒng)行為變化影響的遞減程度，0<λ<1，λ越大，遞減程度越小；c為灰作用量。該模型反映了系統(tǒng)的行為受當(dāng)期值和前期所有狀態(tài)的影響。若不考慮時(shí)滯作用，則時(shí)滯GM(1,1)模型即為傳統(tǒng)的GM(1,1)模型。

證明將k=2、3、…、n代入式(1)中可得：

x(0)(2)=-az(1)(2)+bx(1)(1)+c,

?

上述寫成矩陣形式為：

1.2 時(shí)滯GM(1,1)模型的求解

定理2從時(shí)滯GM(1,1)模型的基本形式可以推導(dǎo)出其x(1)型為：

(2)

證明根據(jù)z(1)(k)的定義有:

z(1)(k)=0.5(x(1)(k)+x(1)(k-1))=

0.5(x(1)(k-1)+x(0)(k)+x(1)(k-1))=

代入時(shí)滯GM(1,1)模型的定義型得：

x(0)(k)+a(x(1)(k-1)+0.5x(0)(k))=

即

ax(1)(k-1)+c。

解之得:

由定理1與定理2可知，時(shí)滯GM(1,1)模型的近似時(shí)間響應(yīng)式為:

(3)

1.3 時(shí)滯GM(1,1)模型中時(shí)滯參數(shù)的識(shí)別方法

時(shí)滯GM(1,1)模型中,時(shí)滯參數(shù)λ既反映了系統(tǒng)行為序列的時(shí)滯程度，又影響到模型的精度,因此確定時(shí)滯參數(shù)在構(gòu)建模型中尤為重要。若背景信息充分，則能夠從已知信息中判斷出時(shí)滯參數(shù)，即可根據(jù)經(jīng)驗(yàn)分析選定λ的值。若信息不充分，則無(wú)法根據(jù)已有信息判斷時(shí)滯參數(shù)的值。為提高模型的精度，本文建立了以模型平均誤差最小化為目標(biāo)、參數(shù)間的關(guān)系為約束條件的非線性優(yōu)化模型，如下：

(4)

1.4 時(shí)滯GM(1,1)模型的有效性檢驗(yàn)

1.4.1 檢驗(yàn)方法

正式拍攝前要練習(xí)一遍實(shí)驗(yàn)操作，保持動(dòng)作的熟練和穩(wěn)定。有的實(shí)驗(yàn)時(shí)間比較長(zhǎng)，需要2～3 d才能得到實(shí)驗(yàn)結(jié)果，比如SDS-PAGE實(shí)驗(yàn)，提前2 d做預(yù)備實(shí)驗(yàn)，準(zhǔn)備了一張完全脫色、背景透明的凝膠，也就是實(shí)驗(yàn)的最終結(jié)果；預(yù)備了一張凝膠，正式拍攝時(shí)就不用等待，可以直接使用提前做出的幾個(gè)階段性產(chǎn)品，能節(jié)約大量時(shí)間。

本文利用相對(duì)誤差和灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度兩種方法來(lái)對(duì)模擬序列進(jìn)行檢驗(yàn)。

1)通過(guò)相對(duì)誤差對(duì)模擬精度進(jìn)行檢驗(yàn)。

絕對(duì)誤差：

相對(duì)誤差：

Δ(k)越小,說(shuō)明模型的模擬精度越高。倘若Δ(k)大于給定值，檢驗(yàn)不通過(guò)，則該模型不適用于該序列。

2)采用灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度來(lái)判斷模擬序列和原始序列形狀的相似程度，確保兩序列的趨勢(shì)具有一致性。

則關(guān)聯(lián)度的計(jì)算公式為:

1.4.2 實(shí)例驗(yàn)證

為了驗(yàn)證時(shí)滯GM(1,1)模型的有效性，采用時(shí)滯GM(1,1)模型對(duì)文獻(xiàn)[17]的實(shí)例數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬，并與其他3種模型GM(1,1)、GM(1,1|τ,r)、GM(1,1,τ)的模擬結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，詳見(jiàn)表1。

表1 4種模型模擬值與實(shí)際值的比較

從表1可知，時(shí)滯GM(1,1)模型的模擬值與原始值的擬合程度最高，平均相對(duì)誤差僅為1.31%，平均模擬精度在98%以上。而GM(1,1)、GM(1,1|τ,r)、GM(1,1,τ)模型模擬值的平均相對(duì)誤差分別為4.57%、4.44%和3.46%。時(shí)滯GM(1,1)模型模擬值與實(shí)際值的灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度為0.964，比其余3個(gè)模型的擬合度都高。由此可見(jiàn)，無(wú)論從相對(duì)誤差還是灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度角度都反映出時(shí)滯GM(1,1)模型能較好地描述原始序列的發(fā)展變化。因?yàn)閹?kù)存量具有一定的時(shí)滯積累特性，恰巧時(shí)滯GM(1,1)模型既體現(xiàn)了系統(tǒng)行為的滯后性又充分考慮了時(shí)滯效應(yīng)的長(zhǎng)期性，故有很好的模擬效果。由此，也驗(yàn)證了時(shí)滯GM(1,1)模型的有效性。

2 實(shí)例應(yīng)用

河南省是我國(guó)重要的產(chǎn)糧基地，若發(fā)生農(nóng)業(yè)干旱則受影響很大，當(dāng)干旱嚴(yán)重時(shí)，甚至?xí)?duì)全國(guó)的糧食安全造成影響。南陽(yáng)市作為河南省占地面積最大、人口數(shù)量最多的農(nóng)業(yè)大市，素有“中州糧倉(cāng)”之稱。對(duì)該市作旱情現(xiàn)狀分析對(duì)保障糧食產(chǎn)量具有重要意義。信陽(yáng)市在夏季較其他季節(jié)更容易發(fā)生干旱，為更好地提高該城市的抗旱能力，需要分析當(dāng)?shù)氐暮登椴⒆龀鲱A(yù)測(cè)，進(jìn)而根據(jù)所判斷出的干旱等級(jí)采取相應(yīng)的措施。地下水資源是評(píng)價(jià)旱情現(xiàn)狀的重要信息，且具有一定的時(shí)滯積累效應(yīng)。故本文選取河南省南陽(yáng)市和信陽(yáng)市2013—2018年的地下水資源量進(jìn)行模擬預(yù)測(cè)，數(shù)據(jù)來(lái)源于2013—2018年的《河南省水資源公報(bào)》。

2.1 南陽(yáng)市地下水資源量預(yù)測(cè)

南陽(yáng)市2013—2018年地下水資源量數(shù)據(jù)見(jiàn)表2。

表2 南陽(yáng)市2013—2018年地下水資源量

表3 3種灰色模型對(duì)南陽(yáng)市地下水資源量的模擬對(duì)比

由表3可見(jiàn)，GM(1,1)、GM(1,1,τ)模型模擬結(jié)果的平均相對(duì)誤差分別為7.54%和8.03%；而時(shí)滯GM(1,1)模型模擬結(jié)果的平均相對(duì)誤差為4.50%，模擬精度達(dá)95%以上；時(shí)滯GM(1,1)模型的模擬數(shù)據(jù)序列與原始數(shù)據(jù)序列的灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度為0.954，而GM(1,1)和GM(1,1,τ)模型得到的模擬數(shù)據(jù)序列與原始數(shù)據(jù)序列的灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度分別為0.801和0.825?？梢?jiàn)，時(shí)滯GM(1,1)模型的模擬數(shù)據(jù)序列與原始數(shù)據(jù)序列的灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度最高。由此可知，時(shí)滯GM(1,1)模型較另外兩種模型對(duì)南陽(yáng)市地下水資源量的描述更為精確。用時(shí)滯GM(1,1)模型預(yù)測(cè)南陽(yáng)市2019年的地下水資源量為27.45億m3。

2.2 信陽(yáng)市地下水資源量預(yù)測(cè)

信陽(yáng)市2013—2018年地下水資源量數(shù)據(jù)見(jiàn)表4。

表4 信陽(yáng)市2013—2018年地下水資源量

表5 3種灰色模型對(duì)信陽(yáng)市地下水資源量的模擬對(duì)比

3 結(jié)語(yǔ)

有效預(yù)測(cè)地下水資源量對(duì)旱情防范具有重要意義。針對(duì)地下水資源量表現(xiàn)出的不確定性和時(shí)滯積累性，考慮將灰色系統(tǒng)和時(shí)滯現(xiàn)象結(jié)合起來(lái)分析，提出時(shí)滯GM(1,1)模型，給出時(shí)滯參數(shù)的估計(jì)方法，并將模型應(yīng)用于河南省南陽(yáng)市與信陽(yáng)市的地下水資源量預(yù)測(cè)中。實(shí)例研究表明，本文提出的時(shí)滯GM(1,1)模型可以較好地描述地下水資源量的發(fā)展變化。不考慮時(shí)滯作用時(shí)，時(shí)滯GM(1,1)模型退化為經(jīng)典的GM(1,1)模型。另外，本文僅考慮單一變量，對(duì)于具有時(shí)滯效應(yīng)的多變量數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)有待進(jìn)一步研究。