等級制度下帶有時變時滯的群集運動

吳　晨，金英花，石　琳，王世麗

WU Chen,JIN Yinghua,SHI Lin,WANG Shili

江南大學 理學院，江蘇 無錫 214122

School of Science,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu 214122,China

1　引言

生活中常常會看到結隊成群的魚群在水中游動時，為了避免相互碰撞，似乎只要感知周圍個體的運動情況，而不需要整體的運動狀態(tài)，即使有些個體有時會偏離魚群，但能在短時間調整為協調運動的整體，朝著整體運動的方向游動。另外，可以觀察到群居的螞蟻能夠在不斷變化的環(huán)境中，自發(fā)組織為一個有效運作的整體，完成所需的工作，這兩種自組織的協調運動行為稱為群集運動。常見的例子還有編隊遷徙的鳥群、聚集的菌落、同步運動的機器人等等[1-6]。群集運動要求所有的多智能體的速度隨時間達到一致，且位移差要控制在一定的范圍內。由此，群集運動可以看作二階多智能體系統中一種特殊的一致性問題。生物學、物理學和計算機科學的學者對此做了很多的研究[7-18]。1986年，Reynolds[19]提出了群集運動的三條規(guī)則。這三條規(guī)則分別是：（1）速度匹配；（2）聚合規(guī)則；（3）分離規(guī)則。1995年，Vicsek等人[20]在Reynolds研究成果的基礎上，在平面上建立了一個經典的離散模型，即Vicsek模型。2007年，Cucker和Smale[21-22]在Vicsek模型的基礎上，提出了一個更為一般的群集模型，即C-S模型。在該模型中，每個智能體通過其與其他智能體之間的速度差的加權平均來改變自己的速度。并且他們證明了在參數β＜時，無論是連續(xù)還是離散的情形，群體會無條件達到群集運動。

可是這個最初的C-S模型并不能模擬等級制度存在的情形，Shen[23]為了解決這個問題，他設計了兩個新穎巧妙的方法來分別處理連續(xù)和離散的模型。遺憾的是，他僅證明了β＜時，連續(xù)的模型可以無條件達到群集運動，離散的模型并不可以。

2009年，Cucker和董久剛[24]成功解決了Shen的遺憾，他們證明了在β＜時，離散的模型也可以無條件達到群集運動，然而他們都沒有考慮通信時滯存在的情形。在實際系統中，由于通信帶寬有限，網絡會出現通信信道堵塞、信息傳遞不對稱以及信息傳遞有限等問題，從而產生各類時滯。因此，考慮通信時滯，尤其是時變時滯，是很有實際意義的。所以本文在之前文章的基礎上，考慮了通信時滯存在的情形，證明了在等級制度下，當 β＜時，離散的C-S模型中即使帶有時變時滯，系統仍然能無條件達到群集運動。

2　模型描述

定義2.1一個群體{1,2,…,k}具有等級制度，如果對于所有的x∈Rn，鄰接矩陣Ax=(aij(x))滿足：

（1）aij≠0暗含 j＜i；

（2）對于所有i＞1，集合L(i)={j|aij＞0}是非空的。

稱L(i)為個體i的領導集，稱這樣的群體為等級群體。

考慮包含k個智能體的二階系統，第i個智能體的動態(tài)方程為：

這里aij(x)表示個體之間的連接強度，滿足定義2.1，具體表達形式為：

其中，n≥0，xi[n]，vi[n]∈R3分別表示為第i個個體在n時刻的位置和速度，τij[n]＞0表示在n時刻，智能體i和智能體 j之間的通信時滯，并且規(guī)定當n＜minτij[n]時，智能體i不受領導集影響，以初始時刻的速度勻速運動，H為耦合系數。

定義2.2對于1≤i,j≤k，若系統（1）中的狀態(tài)xi[n]，vi[n]滿足：

則稱系統（1）在n→∞時達到群集運動。

3　帶有時變時滯的群集運動

則存在P,Q＞0，不依賴于n，滿足對所有n≥0，成立‖v[n]‖ ≤Qe-Pn。

由等級制度的定義可知，子群體{1,2,…,i-1}的行為是不依賴于個體i的。所以，當子群體{1,2,…,i-1}差不多收斂到一個速度時，等級群體{1,2,…,i}相近于一個由兩個個體組成的簡單群體，它實際上可以看作是由兩個個體的一個擾動。

證明 對子群體{1,2,…,l}來研究，其中l(wèi)=2,3,…,k，用數學歸納法來證明。

首先，證明結論對子群體{1，2}成立。由等級群體的定義，有L(2)=1，因此a21＞0。由于個體1是整個群體的領導者，并且是勻速運動，即v1[n]=v1[n-τij[n]]=v1[0]。

4　數值仿真

本章先考慮智能體之間的沒有通信時滯時的收斂情況，與有通信時滯時的情形做比較，之后再通過幾個不同的耦合系數，運用數值模擬驗證本文結論的正確性。由于在有限時間內，不能達到一致，所以在仿真中如果滿足以下條件，就看作達到一致：當t≥t0時，

下面討論由6個個體組成的多智能體系統式（1），取一組初值，即當 n＜minτij[n]時，有：(x[0],v[0])=((105,6),(79,5),(51,8),(61,7),(43,4),(83,11))（其中每個個體都用不同的顏色注明）。

當沒有時滯，耦合系數H=4時，觀察圖1知系統（1）可以實現群集運動，即最終6個智能體速度相等，任意兩個智能體的位移差恒定。利用MATLAB仿真求得收斂時刻n0=80。

觀察圖2知系統（1）可以達到群集運動，仿真求得收斂時刻n0=87。

與例1對比可知，當有通信時滯，其他條件不變時，系統實現群集運動所需要的時間變長。由此可以推測，當系統中通信時滯τij[n]滿足定理3.1的條件，耦合系數和初值不變時，智能體之間具有通信時滯，系統的收斂特性不變，但收斂速度變長。

例3通信時滯取例2中的函數，耦合系數H=5，時間步長h=0.2，β=（見圖3）。

當耦合系數H=5時，觀察圖3知系統（1）可以實現群集運動，仿真求得收斂時刻n0=73。

與例2對比可知，耦合系數H越大，系統實現一致所需要的時間越短。由此可以推測，當系統中通信時滯和初值相同時，只有耦合系數變化時，耦合系數越大，實現一致的時間越短。

圖1　沒有通信時滯時，耦合系數H=4，系統達到群集運動的情形

圖2　有通信時滯，耦合系數H=4，系統可以達到群集運動

圖3　有通信時滯，耦合系數H=5，系統可以達到群集運動

圖4　有通信時滯（與例2不同），耦合系數H=4，系統可以達到群集運動

耦合系數H=4,系統可以達到群集運動。

觀察圖4知系統（1）可以達到群集運動，仿真求得收斂時刻n0=95。

與例2對比可知，例4每一項的時滯函數系數都大于例2。當其他條件不變，通信時滯函數系數變大，系統實現群集運動所需要的時間變長。根據例1、例2和例4可以推測，當系統中通信時滯τij[n]滿足定理3.1的條件，耦合系數和初值不變時，智能體之間通信時滯函數系數越大，系統的收斂特性不變，但收斂時間越長。

5　總結

本文對等級制度下離散的C-S模型具有時變時滯的情況進行了分析，給出了系統達到群集運動的充分條件，證明了在β＜時，可以無條件收斂，并且利用數值仿真驗證了理論結果的正確性。同時通過仿真結果可知，當系統中耦合系數和通信時滯滿足定理3.1的條件時，耦合系數越大，系統達到一致的時間越短，通信時滯的變化不影響系統的收斂特性，但會影響收斂速度。本文對β≥的情況未作分析，而且要求全局領導者的速度恒定。然而，在一些實際情況下，領導者的速度可能是變化的，因而對β＞的情況，全局領導者速度變化時，還有噪音干擾情況下的分析，將是今后研究的方向。

參考文獻：

[1]Fax J A，Murray R M.Information flow and cooperative control of vehicle formations[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2004，49（9）：1465-1476.

[2]Reif J，Wang H.Social potential fields：A distributed behavioral control for autonoomous robots[J].Robotics and Autonomous Systems，1999，27：171-194.

[3]Feder T.Statistical physics is for the birds[J].Physics Today，2007，60（10）：28-30.

[4]Ben-Jacob E，Cohen I，Czirk A，et al.Chemomodulation of cellular movement，collective formation of vortices byswarmingbacteria，andcolonialdevelopment[J].Physica A：Statistical and Theoretical Physics，1997，238（1/4）：181-197.

[5]Vicsek T，Czirk A，Farkas I J，et al.Application of statistical mechanics to collective motion in biology[J].Physica A：Statistical Mechanics and its Applications，1999，274（1/2）：182-189.

[6]Vollmer J，Vegh A G，Lange C，et al.Vortex formation by active agents as a model for daphnia swarming[J].Physical Review E：Statistical，Nonlinear，and Soft Matter Physics，2006，73（6）.

[7]Ru Lining，Li Zhuchun，Xue Xiaoping.Cucker-Smale flocking with randomly failed interactions[J].Journal of the Franklin Insitute，2015，352（3）：1099-1118.

[8]Cucker F，Dong Jiugang.A general collision-avoiding flocking framework[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2011，56（5）：1124-1128.

[9]Dong Jiugang.Flocking under hierarchical leadership with a free-will leader[J].International Journal Robust Non-linear Control，2013，23：1891-1898.

[10]Erban R，Haskovec J，Sun Yongzheng.On Cucker-Smale model with noise and delay[J].SIAM J Appl Math，2015，76（4）：1535-1557.

[11]Liu Yicheng，Wu Jianhong.Flocking and asymptotic velocity of the Cucker-Smale model with processing delay[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2014，415（1）：53-61.

[12]Breder C M.Equations descriptive of fish schools and other animal aggregations[J].Ecology，1954，35：361-370.

[13]Grunbaum D，Okubo A.Modeling social animal aggregations[J].Biomathematics，1994，100：296-325.

[14]Okubo A.Dynamical aspects of animal grouping：Swarms，schools，flocks，and herds[J].Adv Biophys，1986，22：1.

[15]Cho J，Ha S Y，Huang F，et al.Emergence of bi-cluster flocking for the Cucker-Smale model[J].Math Mod Meth Appl Sci，2016，26（6）：1191-1218.

[16]Cho J，Ha S Y，Huang F，et al.Emergence of bi-cluster flocking for agent-based models with unit speed constraint[J].Analysis and Applications，2016，14：39-73.

[17]Li Z，Ha S Y.On the Cucker-Smale flocking with alternating leaders[J].Quart Appl Math，2015，73：693-709.

[18]Li Z，Ha S Y，Xue X.Emergent phenomena in an ensemble of Cucker-Smale particles under joint rooted leadership[J].Math Mod Meth Appl Sc，2014，24：1389-1419.

[19]Reynolds C W.Flocks，herds，and schools：A distributed behavioral model[J].Computer Graphics，1987，21：25-34.

[20]Vicsek T，Czirok A，Ben-Jacob E，et al.Novel type of phase transition in a system of self-driven particles[J].Physical Review Letters，1995，75：1226-1229.

[21]Cucker F，Smale S.Emergent behavior in flocks[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2007，52（5）：852-862.

[22]Cucker F，Smale S.On the mathematics of emergence[J].Japanese Journal of Mathematics，2007，2（1）：197-227.

[23]Shen J.Cucker-Smale flocking under hierarchical leadership[J].SIAM J Appl Math，2007，68：694-719.

[24]Cucker F，Dong J G.On the critical exponent for flocks under hierarchical leadership[J].Math Mod Meth Appl Sci，2009，19：1391-1404.