媒體報道對SEIQR傳染病模型的影響

孔麗麗，李錄蘋，陳慧琴

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，山西大同 037009）

1 模型的建立

傳染病使得人口數(shù)量無法持續(xù)增加,生產(chǎn)效率難以有效提高,大規(guī)模的瘟疫爆發(fā)甚至影響到歷史的演進(jìn)。因此，傳染病的研究成為了一個熱門的課題。近年來，隨著社會網(wǎng)絡(luò)媒體對傳染病的傳播途徑和防治手段的宣傳使得人們對疾病的傳播方式有了進(jìn)一步認(rèn)識，從而有效地控制了疾病的發(fā)展。因此，在傳染病的研究過程中考慮媒體報道對傳染病的影響是非常必要的。目前，已經(jīng)有一些研究媒體報道對傳染病模型影響的文章出現(xiàn)[1-5]?？紤]媒體報道影響下的SEIQR傳染病模型：

這里S(t),E(t),I(t),Q(t),R(t)分別為t時刻各類人群的數(shù)量。用N(t)表示t時刻總?cè)丝跀?shù)，則

N(t)=S(t)+E(t)+I(t)+Q(t)+R(t)。

Λ 為易感者的常數(shù)輸入率，μ為各類人群的自然死亡率，為媒體報道對傳染病傳播的影響。，n分別為傳染病的平均潛伏期和染病者的隔離率，r，r1為染病者的因病死亡率和隔離者的因病死亡率，，k為傳染病的飽和恢復(fù)率和隔離者的康復(fù)率。

2 地方病平衡點的存在性

把系統(tǒng)(1)中的微分方程相加得總?cè)丝贜(t)的微分方程

顯然閉集

D1={(S,E,I,Q,R)∈R5|0＜S+E+I+Q+R≤;S,E,I,Q,R≥0}為系統(tǒng)(1)的正向不變集。

下面討論平衡點的存在性，顯然系統(tǒng)（1）總存在無病平衡點E0=(,0,0,0,0)。地方病平衡點的存在性由基本再生數(shù)R0所確定，接下來我們利用再生矩陣譜半徑方法[1-3]給出基本再生數(shù)的表達(dá)式。

令x=(E,I,Q,R,S)T，系統(tǒng)(1)可表示為

則Φ(x),Ψ(x)在E0處的雅可比矩陣分別為

定理1當(dāng)R0＞1m2＜m1時，系統(tǒng)存在唯一的地方病平衡點E1?。

證明令系統(tǒng)(1)的右側(cè)導(dǎo)數(shù)為0，由其后四個方程得

把上邊的四個表達(dá)式代入系統(tǒng)(1)的第一個方程得

則當(dāng)m2＜m1時，有F′(I)＜0，即F(I)為I的減函數(shù)。此時

從而當(dāng)R0＞1 時，有F(0)＞0，那么方程F(I)=0 存在唯一的正解I?，也即系統(tǒng)(1)有唯一的地方病平衡點E1?=(S?,E?,I?,Q?,R?)。這里

3 地方病平衡點的穩(wěn)定性

在m2＜m1的字體下討論系統(tǒng)（1）地方病平衡點E1?的穩(wěn)定性。

定理2當(dāng)(αΛ2+μ2)[(m1-m2)Λ+μ]＜2μ3且R0＞1時，E1?局部漸近穩(wěn)定。

證明系統(tǒng)(1)在E1?處的雅可比矩陣為這里

當(dāng)(αΛ2+μ2)[(m1-m2)Λ+μ]＜2μ3時,有B2＜0。由此，系統(tǒng)(1)在E1?處的特征方程為

(λ+μ)(λ+μ+r1+k)[(λ+μ+B1)(λ+μ+σ)。(λ+n+μ+r+)-B1B2σ+B2σ(λ+μ+B1)]=0 (2)

則由Hurwitz 判據(jù)知方程(3)的根均具有負(fù)實部。因此R0＜1 且(αΛ2+μ2)[(m1-m2)Λ+μ]＜2μ3時，E1?局部漸近穩(wěn)定。

對于E1?的全局漸近穩(wěn)定性的討論如下,令

定理3若(αΛ2+μ2)[(m1-m2)Λ+μ]＜2μ3，R0＞1，且下列條件之一滿足：

(1)當(dāng)0＜I＜I?時，有；

(2)當(dāng)I＞I?時，有。

則系統(tǒng)(1)的地方病平衡點E1?在D1內(nèi)全局漸近穩(wěn)定。

證明對于系統(tǒng)(1)的平衡點E1?以下式子成立：

定義Lyapunov函數(shù)

由S＞0，易知。又因算術(shù)平均數(shù)大于幾何平均數(shù)，所以有

另外，當(dāng)(αΛ2+μ2)[(m1-m2)Λ+μ]＜2μ3時，有G′(I)＞0，從而G(I)是I的增函數(shù)。同時，函數(shù)g(I)滿足定理3的條件，所以