增長條件在Hamilton 系統(tǒng)邊值問題中的應(yīng)用之綜述

張曉飛，康淑瑰

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山西大同 037009)

1 研究現(xiàn)狀

1.1 變分法

非線性現(xiàn)象在自然界中屢見不鮮，數(shù)學(xué)工作者們經(jīng)過合理論證抽象出數(shù)學(xué)模型，將非線性現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為微分方程（組）解的適定性問題，即解的存在性、唯一性、穩(wěn)定性問題。為深入研究這些非線性問題，數(shù)學(xué)家們創(chuàng)造性地提出了拓?fù)涠确椒?、連續(xù)性方法、鞍點(diǎn)約化方法、變分法、臨界點(diǎn)理論、指標(biāo)理論等非線性方法，涉及非線性泛函分析、微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)、微分幾何以及天體力學(xué)與流體力學(xué)等諸多數(shù)學(xué)與物理學(xué)分支。變分法是非線性分析的一個(gè)重要分支，諸多非線性問題都是變分問題，即可以歸結(jié)為某個(gè)泛函在一定條件下的極值問題或臨界點(diǎn)問題，如微分幾何中的等周問題、測(cè)地線問題、調(diào)和映照與極小曲面問題、經(jīng)濟(jì)管理中的最優(yōu)化問題、Dirichlet 邊值問題以及Hamilton 系統(tǒng)邊值問題等。

1.2 Hamilton 系統(tǒng)

天體力學(xué)、等離子物理、航天科學(xué)以及生物工程中的很多數(shù)學(xué)模型都是以一階Hamilton 系統(tǒng)或其擾動(dòng)的形式出現(xiàn)的，而Newton 力學(xué)系統(tǒng)、Lagrange 力學(xué)系統(tǒng)以及Hamilton 力學(xué)系統(tǒng)推導(dǎo)出的方程組則是二階Hamilton 系統(tǒng)。由于其復(fù)雜性，Hamilton 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡具有多樣性，數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為各種不同類型的邊值問題，如周期解、閘軌道等，而閘軌道則是一種特殊形式的周期解。

最早從變分法入手研究Hamilton 動(dòng)力系統(tǒng)的數(shù)學(xué)家是Poincare，他利用最小作用原理探索自由度為2 的保守系統(tǒng)的周期解問題。由于一階Hamilton 系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的作用泛函在相應(yīng)的函數(shù)空間上是上下無界的，古典變分法的實(shí)用性具有很大的局限性。Rabinowitz 于1978 年在開創(chuàng)性文獻(xiàn)[Rab] 中打破這一壁壘，文章中指出利用有限維逼近原理，在有限維空間上找到一系列近似解，可以證明近似解的極限就是周期解。對(duì)于非平凡周期解，數(shù)學(xué)工作者們更關(guān)心該周期解的最小周期，因而Rabinowitz 在文獻(xiàn)[1]中提出著名猜想：由臨界點(diǎn)理論找到的τ周期解是否是最小周期解。Rabinowitz 進(jìn)一步指出，可以從三個(gè)不同的角度研究Hamilton 系統(tǒng)周期解問題：邊值解是合適度量下的測(cè)地線(微分幾何);邊值解是作用泛函的臨界點(diǎn);利用Fenchel 變換將凸Hamilton 系統(tǒng)邊值問題轉(zhuǎn)化為對(duì)偶變分問題（凸分析與最優(yōu)化理論)。

所謂的一階Hamilton 系統(tǒng)周期邊值問題是指一組特殊的常微分方程，即

其中H∈C1(?2n,?)，J=。記

z=(p,q),p,q∈?n，展開（1）式得

若Hamilton 函數(shù)具有“動(dòng)能+勢(shì)能”的表達(dá)形式：

首先我們?cè)谙到y(tǒng)(1) 式左右兩邊乘以ξ∈C∞(Sτ,?2n)，隨之在區(qū)間[0,τ]上積分，整理得

此即作用泛函

z∈(Sτ,?2n)的Euler-Lagrange方程=0,z,ξ∈(Sτ,?2n),其中Sτ=?/τ?。了解函數(shù)空間(Sτ,?2n)以及作用泛函φ1，不難發(fā)現(xiàn)尋找系統(tǒng)(1)的周期解等價(jià)于尋找作用泛函φ1的臨界點(diǎn)。同理，尋找二階Hamilton 系統(tǒng)的周期解等價(jià)于尋找下面作用泛函的臨界點(diǎn)：

1.3 研究進(jìn)展

從純粹數(shù)學(xué)角度研究Hamilton 系統(tǒng)邊值問題主要是給Hamilton 函數(shù)賦以適當(dāng)?shù)脑鲩L假設(shè)條件，如超二次增長條件、次二次增長條件、以及本文論述的混合增長條件。對(duì)應(yīng)不同的增長條件，我們要尋找合適的臨界點(diǎn)理論，比如山路引理、同調(diào)環(huán)繞定理、局部環(huán)繞定理、噴泉定理等，來證明周期解的存在性結(jié)果。由于τ周期解也是kτ周期解(次調(diào)和解)，由相同的臨界點(diǎn)理論找到的kτ周期解實(shí)際上是否就是τ周期解，這就是所謂的次調(diào)和解互異性問題。數(shù)學(xué)研究者們還經(jīng)常給Hamilton 函數(shù)附加對(duì)稱性假設(shè)，利用群作用原理推導(dǎo)出對(duì)稱臨界點(diǎn)理論，可以得到周期解的多重性結(jié)果。文獻(xiàn)[1-4] 中發(fā)展了不同形式的超二次條件，由此得到周期解的存在性結(jié)果。文獻(xiàn)[5-7] 利用不同的次二次增長條件得到存在性結(jié)果。由超二次增長條件和次二次增長條件可以引申出一些混合增長條件，應(yīng)用見文獻(xiàn)[8-10]。

為研究周期解的最小周期問題，對(duì)于次二次增長情形，數(shù)一般通過迭代方法，比較作用泛函的臨界值，見文獻(xiàn)[6，10];而對(duì)于超二次增長情形，則需要利用Maslov 型指標(biāo)理論，通過比較周期解與迭代解的Maslov 型指標(biāo)，利用指標(biāo)迭代不等式估計(jì)最小周期，見文獻(xiàn)[11]。Ekeland 關(guān)于凸Hamilton 系統(tǒng)建立了指標(biāo)迭代理論，而龍以明院士和他的合作者則對(duì)于一般的Hamilton 系統(tǒng)建立了指標(biāo)迭代不等式，并成功地將指標(biāo)迭代理論應(yīng)用于閉凸緊超曲面上閉特征個(gè)數(shù)的估計(jì)(幾何互異的周期解)。關(guān)于二階非凸Hamilton 系統(tǒng)的最小周期估計(jì)，龍以明院士建立了Morse 指標(biāo)迭代理論，由此估計(jì)周期解的最小周期。

所謂的一階Hamilton 系統(tǒng)的閘軌道邊值問題如下：

尋找系統(tǒng)(3)的閘軌道等價(jià)于尋找下述作用泛函的臨界點(diǎn)：

由于函數(shù)空間WN中的函數(shù)具有對(duì)稱性，劉春根教授和他的合作者仿照Maslov 型指標(biāo)迭代不等式的建立思路，發(fā)展了L-指標(biāo)迭代不等式，可以給閘軌道最小周期一個(gè)更加良好的估計(jì)，見文獻(xiàn)[11]。值得一提的是，文獻(xiàn)[11]指出：在緊凸且對(duì)稱的閉超曲面上存在n條幾何互異的閘軌道，進(jìn)而證明了Seifert 猜想。

2 混合增長條件

比較不同類型的增長條件，并介紹一些應(yīng)用。首先我們介紹超二次增長條件。

2.1 超二次增長條件

Rabinowitz 于文獻(xiàn)[Rab] 中引入經(jīng)典的超二次條件：

(Sup1)存在常數(shù)μ1＞2 與R＞0 使得

可以證明存在常數(shù)c1,c2＞0，使得H(z)≥-c2,z∈?2n,即該Hamilton 函數(shù)H的增長次數(shù)不低于μ1＞2。

Fei 于文獻(xiàn)[3]中弱化了文獻(xiàn)[1]中的超二次條件(Sup1)，推廣了周期解存在性結(jié)果，即

(Sup2)存在c1,c2＞0 以及β＞1 使得

計(jì)算得知Hamilton 函數(shù)H(z)=|z|2ln(1+|z|β)η(β,η＞1) 滿足(Sup2)而不滿足(Sup1)。

文獻(xiàn)[2]中就一階Hamilton 系統(tǒng)提出了一類弱化的超二次條件：

(Sup3)存在常數(shù)a＞0 以及一元函數(shù)η1滿足=+∞使得：

H''(z)≥-aI2n+η1(|z|)PX,

其中PX表示在J-不變平面上的投影，滿足PXN=NPX。

容易驗(yàn)證：Hamilton 函數(shù)H只在平面PX?2n上是超二次增長的。最近我們將(Sup3)應(yīng)用到二階Hamilton 系統(tǒng)，即

(Sup4)存在常數(shù)b＞0 以及一元函數(shù)η2滿足=+∞使得：

V″(q)≥-bIn+θ(|q|)PL，

其中PL表示在一維子空間L??n上的投影。

容易驗(yàn)證勢(shì)能函數(shù)V只在一維子空間L上是超二次增長的。

文獻(xiàn)[4]就二階Hamilton 系統(tǒng)，弱化了超二次條件(Sup2)：

(Sup5) 存在常數(shù)c,R＞0 使得

而勢(shì)能函數(shù)

V(w)=(|w|2-1)ln(1+|w|2)+sin|w|2。

滿足(Sup5)而不滿足(Sup1)。值得一提的是該超二次條件目前只在二階系統(tǒng)得到應(yīng)用，是否能夠應(yīng)用于一階系統(tǒng)需要進(jìn)一步研究。

2.2 次二次增長條件

Rabinowitz 類比超二次條件(Sup1)，提出了次二次增長條件：

(Sub1)存在1＜μ2＜2 以及R＞0 使得

文獻(xiàn)[5]提出了一般的次二次增長條件：

(Sub2)存在常數(shù)R＞0 以及單調(diào)遞增次線性一元函數(shù)f使得

而Hamilton 函數(shù)H(z)=|z|ln(1+|z|) 滿足(Sub2)不滿足(Sub1)。

文獻(xiàn)[7]中提出另一類次二次增長條件：

(Sub3)存在常數(shù)α∈[0,1) 以及c3,c4＞0 使得

文獻(xiàn)[6]就一階凸Hamilton 系統(tǒng)，提出一類條件，在原點(diǎn)處超二次增長，在無窮遠(yuǎn)處次二次增長，即

該文獻(xiàn)利用對(duì)偶變分原理，將周期解問題轉(zhuǎn)化為對(duì)偶變分求最值問題。

最近，文獻(xiàn)[12]就二階系統(tǒng)，提出新的次二次增長條件，弱化(Sub1)：

(Sub5)存在一元函數(shù)θ(定義見文獻(xiàn)[12])以及常數(shù)R＞0 使得

而函數(shù)V(w)=滿足(Sub5)不滿足(Sub1)。

該次二次增長條件目前也只在二階系統(tǒng)得到應(yīng)用，是否能夠應(yīng)用于一階系統(tǒng)需要進(jìn)一步研究。

2.3 混合增長條件

簡(jiǎn)述一下混合增長條件的演化過程。

文獻(xiàn)[8]受超二次條件(Sub1)啟發(fā)，提出一類混合增長條件，既有超二次增長項(xiàng)，二次增長項(xiàng)，也有次二次增長項(xiàng)，即：

(A1)存在常數(shù) 0＜γ＜1,R,μi,νi＞0 滿足=γ(i=1,2,…,n)使得當(dāng)|z|≥R時(shí)，下式成立：

易知當(dāng)αi=βi(i=1,2,…,n)，(A1) 就是超二次增長條件(Sup1)。

文獻(xiàn)[9]由次二次增長條件引申出一類混合增長條件：

(A2)存在常數(shù)1＜μ,ν≤2 以及R＞0 滿足μ-1+ν-1＞1 使得當(dāng)|z|≥R時(shí)，下式成立：

易知當(dāng)μ=ν時(shí)，(A2)即是(Sub1)。

文獻(xiàn)[11]結(jié)合(A1)與(Sup2)提出一類混合增長條件：

(A3)存在β＞1,c1,c2,σi,τi,αi,βi＞0 滿足αi+βi=1(i=1,2,…,n) 使得

其中z=(p1,…,pn,q1,…,qn)，

V(z)=(α1p1,…,αn pn,β1q1,…,βnqn)。

不難發(fā)現(xiàn)，存在Hamilton 函數(shù)滿足(A3)，而不滿足(A1)。在(A3)假設(shè)下，利用同調(diào)環(huán)繞定理和Maslov 指標(biāo)迭代理論，可以得到周期解的最小周期估計(jì)結(jié)果以及次調(diào)和解的多重性結(jié)果。

文獻(xiàn)[13]由條件(A2)與(A3)引申出一類混合增長條件：

(A4)存在β＞1,c1,c2,σi,τi,αi,βi＞0 滿 足αi+βi=1 (i=1,2,…,n) 使得

其中V(z)定義同上。文獻(xiàn)[13] 表明存在Hamilton 函數(shù)滿足(A4)而不滿足(A2)。

在次二次增長條件(A4) 假設(shè)下，利用同調(diào)環(huán)繞定理和Maslov 指標(biāo)迭代理論，得到了周期解的最小周期估計(jì)結(jié)果以及次調(diào)和解的多重性結(jié)果。

文獻(xiàn)[10]受文獻(xiàn)[6]啟發(fā)，引入又一類混合增長條件：

(A5)存在ai,bi＞0 滿足=1(i=1,2,…,n)，使得

而當(dāng)ai=bi(i=1,2,…,n)，(A5)即是(Sub4)。

文獻(xiàn)[10] 利用對(duì)偶變分原理，將Hamilton 系統(tǒng)周期解問題轉(zhuǎn)化為對(duì)偶變分問題，即：若H是凸函數(shù)，該函數(shù)的Fenchel 變換定義為：

H*(w)=sup{w?z-H(z)|z∈?2n},

則可以證明：

混合增長條件在一階Hamilton 系統(tǒng)周期解問題中已有了一些應(yīng)用，但是受限于增長不一樣，應(yīng)用范圍遠(yuǎn)不如超二次增長條件那樣廣泛，我們將在今后沿著這一方向繼續(xù)探索。據(jù)撰稿人所知，目前可能只有一篇文獻(xiàn)[ZL]利用對(duì)偶變分原理研究一階凸Hamilton 系統(tǒng)的閘軌道。而對(duì)于一般的非凸Hamilton 系統(tǒng)，混合增長條件能否成功應(yīng)用，尚需要繼續(xù)深入研究。