分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用研究

王李杰

分類討論思想即根據(jù)題目的特點和要求分成多個類別，再轉(zhuǎn)化成多個小問題解決.在新課程標(biāo)準(zhǔn)引領(lǐng)下，初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)越來越注重解題方法的傳授，比較關(guān)注學(xué)生的解題過程，教師需刻意滲透一些數(shù)學(xué)思想方法.分類討論思想即為其中之一，能夠使學(xué)生數(shù)學(xué)思維變得更為縝密與嚴(yán)謹(jǐn)，且學(xué)會全面分析與思考數(shù)學(xué)問題，最終提高他們的邏輯思維水平與解題能力.

一、分類討論思想在解決幾何問題中的應(yīng)用

初中數(shù)學(xué)知識主要由幾何與代數(shù)兩大部分構(gòu)成，其中幾何知識以各種圖形為主，與代數(shù)知識相比顯得更為直觀，不過其解題環(huán)節(jié)對學(xué)生的思維水平要求更高，需要學(xué)生具有一定的空間觀念.而且不少幾何知識本身就是在分類討論思想下學(xué)習(xí)的，像圓與直線的關(guān)系、三角形的種類和勾股定理等.所以，初中數(shù)學(xué)教師在幾何解題教學(xué)中需指導(dǎo)學(xué)生巧妙應(yīng)用分類討論思想，使其分析可能出現(xiàn)的多種情況，最終準(zhǔn)確解題.

例如，在進(jìn)行“勾股定理”解題教學(xué)時，教師出示練習(xí)題：在等腰三角形ABC中，邊AB的長度是5厘米，邊BC的長度是6厘米，那么等腰三角形ABC的面積是多大？由于題目中沒有明確說明AB、BC是等腰三角形的底還是腰，所以要分兩種情況進(jìn)行討論，即AB是底、BC是腰，AB是腰、BC是底.

在解答上述幾何題目時，學(xué)生應(yīng)該借助分類討論思想考慮等腰三角形的兩種情況，然后結(jié)合勾股定理、高等知識對各種情況加以討論、逐類求解，綜合求出正確答案.

二、分類討論思想解決有理數(shù)問題時的應(yīng)用

在初中數(shù)學(xué)知識體系中，有理數(shù)涉及正數(shù)、負(fù)數(shù)、無理數(shù)、數(shù)軸、絕對值、相反數(shù)，及加減乘除和乘方等知識，可以分為正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和零，或者分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)等.在解決初中數(shù)學(xué)有理數(shù)問題時，部分題目中所呈現(xiàn)的條件是分類給出的，涉及的定義或概念是分類的，這時教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生合理應(yīng)用分類討論思想進(jìn)行解題，討論題目中出現(xiàn)的多種情況，從而確保答案的完整性.

比如，在開展“絕對值”解題教學(xué)時，教師設(shè)置題目：一個數(shù)的平方與它的絕對值相比較，可以確定它們之間的大小關(guān)系嗎？針對范圍在0至1之間的小數(shù)來說，這些數(shù)的平方小于或等于數(shù)字的本身;而大于1和小于-1的數(shù)，它們的平方則大于數(shù)字的本身.由于題目中沒有明確給出數(shù)的范圍，難以確定這個數(shù)的平方與其絕對值之間的大小，所以應(yīng)該對各種情況進(jìn)行分類討論，也可以借助數(shù)軸輔助討論.解答：應(yīng)用分類討論思想時先討論特殊點，再討論其它范圍，設(shè)這個數(shù)是x.（1）當(dāng)x=±1或x=0時，則|x|=1或|x|=0，得出x2=|x|;（2）當(dāng)x>1或x<-1時，得出|x|>1，則有x2>|x|;（3）當(dāng)-1

在上述案例中，學(xué)生利用分類討論思想展開分析，以熟悉絕對值的定義為基礎(chǔ)，討論題目中出現(xiàn)的三種情況，避免他們在解題過程中遺漏某種情況，使其得出完整又準(zhǔn)確的答案.

三、分類討論思想在解決函數(shù)問題中的應(yīng)用

在處理初中數(shù)學(xué)函數(shù)類問題過程中，當(dāng)問題結(jié)果存在多種情形，且難以歸結(jié)到同一種模式下時，教師需引領(lǐng)學(xué)生按照可能出現(xiàn)的各種情況分別展開討論，得出問題在各種情況下相應(yīng)的結(jié)論，最后再把各種結(jié)論進(jìn)行匯總和篩選，選出符合題目要求的結(jié)論.

例如，在實施“二次函數(shù)”解題教學(xué)時，教師設(shè)計題目：已知實數(shù)m，函數(shù)y=（m-1）x2+（m-2）x-1的圖像與x軸只存在一個交點，求m的值.題目中因為沒有明確指出該函數(shù)是一次函數(shù)還是二次函數(shù)，所以要進(jìn)行分類討論.解答：（1）當(dāng)函數(shù)二次項系數(shù)m-1=0時，m=1，該函數(shù)為一次函數(shù)，把m=1帶入原式得到y(tǒng)=-x-1，讓-x-1=0，得出x=-1，這時函數(shù)與x軸的交點坐標(biāo)是（-1，0）;（2）當(dāng)函數(shù)二次項系數(shù)不是0時，即m-1≠0，該函數(shù)是一個二次函數(shù)，則△=（m-2）2+4（m-1）=0，解得m=0，把m=0帶入原式得到y(tǒng)=-x2-2x-1，這時函數(shù)的頂點坐標(biāo)（-1，0）在x軸上，所以當(dāng)m=0或m=1時，函數(shù)同x軸只要一個交點.

上述案例中學(xué)生應(yīng)用分類討論思想來解題，基于函數(shù)視角出發(fā)將題目信息分為一次函數(shù)與二次函數(shù)兩種情況進(jìn)行分類討論，然后求出相應(yīng)的結(jié)果，最終順利求出題目答案.

其實大多數(shù)初中數(shù)學(xué)知識都有所涉及分類討論思想，在解題中應(yīng)用的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確找到分類標(biāo)準(zhǔn)，把所有標(biāo)準(zhǔn)詳細(xì)地羅列出來，再分別展開討論和求解，在這一過程中學(xué)生的思維得以有效鍛煉，進(jìn)而促使他們掌握更多的解題方法與技巧.