帶有臨界項的Choquard方程的基態(tài)解

龍 雷,黃永艷

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 太原 030006)

本文主要考慮下面的Choquard方程[1-9]：

-Δu+u=λ(Iα*|u|p)|u|p-2u+

|u|2*-2u,x∈RN

(1)

其中:N≥3;α∈(0,N);λ>0;p是介于上下臨界之間且不包含上下臨界的數(shù)，上臨界是指(N+α)/(N-2)，下臨界是指(N+α)/N。Iα是一個Riesz勢函數(shù)，即

若λ=1，且沒有臨界項，方程(1)是Choquard-Pekar方程：

-Δu+u=(Iα*|u|p)|u|p-2u

x∈RN

(2)

當(dāng)N=3,α=2,p=2時，方程(2)描述了帶電粒子與未知電磁場之間的相互作用，在天體力學(xué)、量子力學(xué)、統(tǒng)計物理學(xué)中都有廣泛的應(yīng)用，可參考文獻(xiàn)[4，9]。Lieb[1]和Lion[2]最早證明了方程(2)非平凡解的存在性。目前，已經(jīng)有一系列關(guān)于Choquard-Pekar方程的結(jié)果，可參考文獻(xiàn)[5]。

Seok[3]用擾動理論證明了下面Choquard方程徑向?qū)ΨQ解的存在性：

-Δu+u=(Iα*|u|p)|u|p-2u+λ|u|2*-2u

其中x∈RN。最近，Schaftingen等[6]證明了當(dāng)非線性項f(x,u)=f(u)滿足一定條件時，下面Choquard方程基態(tài)解的存在性：

-Δu+u=(Iα*|u|(N+α)/N)|u|(α-N)/Nu+f(x,u)

x∈RN

受上述結(jié)果的啟發(fā)，本文研究當(dāng)λ≥λ0時，Choquard方程(1)基態(tài)解的存在性。

定理1存在λ0>0，使得對于所有的λ≥λ0，Choquard方程(1)有一個基態(tài)解。

在定理1中得到的基態(tài)解是指相應(yīng)能量泛函的所有非平凡臨界點中使能量泛函能量達(dá)到最小的那一個，也就是極小化問題

m=inf{J(u):u∈H1(RN){0},J′(u)=0}

(3)

可達(dá)時對應(yīng)的極小值點。

1 準(zhǔn)備工作與能量估計

記Lq(RN)中的范數(shù)為|·|q,Ck表示不同的正常數(shù),R+=[0,∞)。

工作空間是Sobolev空間H1(RN)，它的標(biāo)準(zhǔn)范數(shù)是

▽u|2+u2])1/2

H1(RN)連續(xù)嵌入Lq(RN),q∈[2,2*]。因此，對每一個q∈[2,2*],存在一個正常數(shù)Cq,使得

|u|q≤Cq||u||,u∈H1(RN)

(4)

方程(1)對應(yīng)的能量泛函是

由Hardy-Littlewood-Sobolev不等式和式(4)知,J在H1(RN)上被很好地定義，并且屬于C1。它的導(dǎo)數(shù)是

(▽u·▽v+uv)-

u,v∈H1(RN)

因此，方程(1)的弱解是能量泛函J的一個臨界點。下面給出著名的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式[8]。

引理1(Hardy-Littlewood-Sobolev不等式) 若s,t>1,μ∈(0,N)滿足

則存在正常數(shù)C(N,μ,s),使得對于所有的u∈Ls(RN),v∈Lt(RN),有

為了得到泛函J的一個(PS)c序列，需要驗證J滿足山路結(jié)構(gòu)。

引理2泛函J滿足山路結(jié)構(gòu)，即

① 存在r,η>0,使得對于所有滿足||u||=r的u有J(u)>0,而且對于所有滿足0<||u||≤r的u有J(u)>0。

② 存在u0∈H1(RN)， 使得||u0||>r和J(u0)<0成立。

證明

C1t2-C2t2p-C3t2*,t∈R+

所以，

故存在t0>0且t0足夠大,使得對于u0=t0u,②成立。

通過經(jīng)典的山路定理[7]，能量水平c0可以刻畫為

(5)

其中：Γ={γ∈C([0,1],H1(RN);γ(0)=0,J(γ(1))<1}。

為了確保緊性，現(xiàn)在對能量水平c0給出一個估計。

令S是最佳Sobolev嵌入常數(shù)，即

引理3設(shè)N≥3且c*=SN/2/N，則c0

證明令

對任意的u∈H1(RN){0}，由引理2的②可知，存在tu>0，使得J(tuu)<0。 因此，由c0的定義可知，

于是c0≤c1。為了完成證明，下面只需證明c1≤c*。

令h(t)=J(tu0),t∈R+，則h′(tλ)=0,也就是

進(jìn)一步得到

注意到，當(dāng)λ→∞時，有

于是，tλ→0,λ→∞。由h的連續(xù)性可知，

因此存在λ0>0，使得對于所有的λ≥λ0，有

于是對于所有的λ≥λ0，有

2 定理1的證明

在這一部分，分兩步來證明定理1，首先證明方程(1)在c0

令

引理4如果{un}是H1(RN)中的一個序列且滿足

則

證明注意到

再結(jié)合S的定義，可得

于是，

(6)

因此，

(7)

結(jié)合式(6)和(7)得到理想結(jié)論。

引理5設(shè){un}?H1(RN)是J的一個(PS)c序列，則{un}在H1(RN)中是有界的。

證明取μ=min{2p, 2*}>2，由{un}?H1(RN)可知J的一個(PS)c序列：

c+on(1)+on(1)||un||=J(un)-

于是,{un}在H1(RN)中是有界的。

引理6設(shè){un}?H1(RN)是J的一個(PS)c序列，其中c∈(0,c*),則存在平移過的子序列{un}弱收斂到u≠0,而且

J′(u)=0,J(u)∈(0,c]

證明本文斷言

事實上，若不成立，則由Hardy-Littlewood-Sobolev不等式可知

*|un|p)|un|p=0

(8)

由〈J′(un),un〉=on(1)可知

*|un|p)|un|p+

(9)

結(jié)合式(8)和(9)可得

另一方面，由J(un)→c>0可以得到

于是，由引理4可知

與已知條件矛盾。因此，根據(jù)文獻(xiàn)[7]，存在{un}的子序列，仍記為{un},σ>0和{yn}?RN,使得對所有的n,

(10)

記vn(·)=un(·+yn)。由J的平移不變性可知{vn}也是J的一個(PS)c序列。通過引理5可知，{vn}在H1(RN)中是有界的， 因此可以假設(shè)在H1(RN)中{vn}弱收斂到u，而且由式(10)可知u≠0。

現(xiàn)在證明J′(u)=0。根據(jù)文獻(xiàn)[9]，對任意的w∈H1(RN)，有

*|vn|p)|vn|p-2vnw→

而且

所以J′(u)=0。

取引理5中的μ，可推出

用范數(shù)的弱下半連續(xù)性和Fatou引理可得

于是J(u)∈(0,c]。

定理1的證明由引理2和山路定理可知,在H1(RN)中存在J的一個(PS)c0序列{un},即

J′(un)→0,J(un)→c0

其中能量水平c0在式(5)中給出了定義。由引理5知，當(dāng)λ>λ0時，c0∈(0,c*)。因此，通過引理6知，若{un}弱收斂到u，則u是泛函J的非平凡臨界點J(u)∈(0,c0]。

下面證明由式(3)定義的極小化問題是可達(dá)的。令{vn}是由方程(1)的非平凡解構(gòu)成的序列，且滿足

當(dāng)λ>λ0時，觀察到m≤c0

(11)

所以{vn}在H1(RN)中是有界的。而且由Hardy-Littlewood-Sobolev不等式和式(4)可得：

*|vn|p)|vn|p+

因此，

再結(jié)合式(11)知m>0。因為序列{vn}是泛函J的一個(PS)m序列，再次用引理5，可知存在u∈H1(RN){0},使得J′(u)=0,而且J(u)∈(0,m]。另一方面，由m的定義可得J(u)≥m。因此，J(u)=m，即u是方程(1)的基態(tài)解。