一類基爾霍夫型非線性拋物方程解的存在和爆破

黃 瑤,石 鵬

(貴州民族大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院,貴陽(yáng) 550025)

0 引言

基爾霍夫(Kichhoff)方程在很多領(lǐng)域中都有廣泛應(yīng)用,在利用數(shù)學(xué)方程建立物理模型的過(guò)程中總能找到相關(guān)的理論研究.在過(guò)去的幾十年里,學(xué)者們?cè)絹?lái)越關(guān)注基爾霍夫型問(wèn)題的研究,基爾霍夫項(xiàng)經(jīng)常出現(xiàn)在雙曲線、橢圓型以及拋物線等不同類型的偏微分方程研究中[1-4].其中最原始的還是基爾霍夫本人在1883年提出的下列基爾霍夫模型:

式(1)是著名的彈性弦自由振動(dòng)的D’Alembert波動(dòng)方程的推廣,其中:L為彈性弦的長(zhǎng)度,h為橫截面積,ρ為質(zhì)量密度,P0為初始張力,E為楊氏模量.

近幾年,基爾霍夫方程在非線性偏微分方程的各項(xiàng)課題研究中十分活躍,在人口動(dòng)力學(xué)、非牛頓力學(xué)、彈性理論等諸多領(lǐng)域方面,都能看到這類方程的廣泛應(yīng)用.其中,2013年,Liu X和Sun Y[5]用Nehari流形的方法研究了一類基爾霍夫型微分方程兩個(gè)弱解的存在性.2014年,Liang、Li和Shi[6]利用拓?fù)涠壤碚摵妥兎址椒ㄑ芯苛艘活愑袧u近行為的基爾霍夫型微分方程正解的存在性.2018年,張申貴[7]利用臨界點(diǎn)理論研究了一類變指數(shù)基爾霍夫型方程的無(wú)窮多解.2019年,劉紫玉和韓偉利[8]用變分原理和山路引理證明了組合非線性項(xiàng)的基爾霍夫方程徑向解的存在性.

通常對(duì)非局部項(xiàng)做一定的改進(jìn),就可以得到一類新的方程.為了得到本研究中的一類基爾霍夫型非線性拋物方程,首先觀察下面這個(gè)含有基爾霍夫項(xiàng)的波動(dòng)方程:

當(dāng)α=0時(shí),變成了一類含有基爾霍夫型的拋物方程:

本研究對(duì)式(3)拋物方程賦予初邊值問(wèn)題,得到下列一類基爾霍夫型非線性拋物方程:

其中:Ω∈RN(N≥1)是具有光滑邊界?Ω的有界域,1

應(yīng)用位勢(shì)井理論和變分法,可以研究當(dāng)初始能量分別處于亞臨界、臨界和超臨界時(shí)解的整體存在性和有限時(shí)間爆破的結(jié)果,本研究著重討論亞臨界狀態(tài)J(u0)

1定義和引理

為了更加方便地進(jìn)行研究,首先引入位勢(shì)井,對(duì)于式(4),定義下列的能量泛函J(u)和Nehari泛函I(u),然后研究它們的功能和基本屬性.

定義Nehari流形

再分別定義位勢(shì)井和相應(yīng)的集合如下:

引理2[10]假設(shè)u(x,t)是式(4)的弱解,0

1)如果I(u0)>0,則u(x,t)∈Wδ；

2)如果I(u0)<0,則u(x,t)∈Vδ.

其中,對(duì)于δ>0,可定義下面修改后的函數(shù)集合以及位勢(shì)井:

引理4[11]假設(shè)0

M″(t)M(t)-(1+γ)(M(t))2≥0,γ>0.

2 主要結(jié)果

證明首先構(gòu)造式(4)的近似解為

和

因此,對(duì)于足夠大的m以及0

和I(um(0))>0成立.

這意味著對(duì)于足夠大的m來(lái)說(shuō)um(0)∈W.

因此,由反證法證明了對(duì)于足夠大的m和t∈[0,T],有um(t)∈W.

由式(17),對(duì)于足夠大的m來(lái)說(shuō),有I(um(t))>0,則由式

及式(17),得到

上式對(duì)于足夠大的m和?t∈[0,T]均成立,且得到以下不等式

因此,由對(duì)角化知,存在一個(gè)u和{um}的子序列,使得

在式(13)中固定j,并令m=v→∞得到

和

由引理1和引理2,得到um(t)∈W.?0≤t<∞,這就證明了um(t)∈W.

由式(21)、(22)、(24)的收斂性,根據(jù)序列收斂原理以及式(5)中J(u)的定義,得出式(11)成立.因此,證明了極限函數(shù)u=u(x,t)是式(4)的弱解.

定理2假設(shè)a,b>0,1

證明令u為式(4)的弱解且滿足J(u0)

因?yàn)?/p>

如果p>4,由式(11)、(28)、(29)可以得到

因?yàn)?/p>

所以

利用Schwart不等式,得到

接下來(lái),我們對(duì)如下兩種情況進(jìn)行討論即可.

情形1：當(dāng)J(u0)≤0時(shí),則

現(xiàn)在證明?t>0,有I(u)<0.那么一定存在一個(gè)t0>0使得I(u(t0))=0和I(u(t))<0,其中0≤t