基于DE-CSO混合算法的多目標(biāo)無功優(yōu)化

盧維佳，黃海濤，魏明磊

(1.廣東電網(wǎng)汕尾供電局，廣東 汕尾 516600; 2.國網(wǎng)安徽省電力有限公司定遠(yuǎn)供電局，安徽 滁州 233200)

0 引 言

多目標(biāo)無功潮流優(yōu)化是一個(gè)多變量、多約束混合的非線性規(guī)劃問題[1]，它通過調(diào)整系統(tǒng)中發(fā)電機(jī)端電壓、變壓器分接頭及無功補(bǔ)償設(shè)備的投切來改變無功潮流，從而降低系統(tǒng)的有功損耗、提高電壓穩(wěn)定裕度，同時(shí)使系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)電壓保持在額定范圍內(nèi)。常規(guī)的無功優(yōu)化求解智能方法已經(jīng)有很多，包括粒子群算法[2-4]、差分進(jìn)化算法[5]、遺傳算法[6-8]等。但這些算法自身在優(yōu)化過程容易導(dǎo)致粒子早熟，陷入局部最優(yōu)。另外，單一的智能優(yōu)化算法不能夠提高粒子的多樣性，優(yōu)化后的多目標(biāo)函數(shù)可行解分布不夠均勻、廣泛，限制了不同需求者對多目標(biāo)無功優(yōu)化可行解的選擇。

本文提出一種融合CSO算法[9-11]和DE算法的DE-CSO算法。CSO算法參數(shù)少，調(diào)整策略相對單一，但該算法通過縱橫兩部分交叉操作產(chǎn)生的新種群不容易陷入早熟收斂。DE算法收斂速度快，種群粒子多樣性好，但是該算法容易導(dǎo)致早熟收斂，收斂精度不夠。而將兩種算法相結(jié)合的DE-CSO算法不僅保留了CSO算法種群粒子不易陷入早熟收斂的特點(diǎn)，而且通過DE-CSO算法中的變異交叉操作，能夠有效地提高粒子多樣性，對于無功優(yōu)化這樣的非線性問題求解有很好的適用性。另外，針對多目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問題，本文通過快速非支配排序和計(jì)算粒子擁擠距離的方法來實(shí)現(xiàn)對粒子的優(yōu)勝劣汰，產(chǎn)生均勻、廣泛的Pareto前沿分布。

1 多目標(biāo)無功優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型

1.1 多目標(biāo)函數(shù)

多目標(biāo)無功優(yōu)化數(shù)學(xué)模型是在滿足系統(tǒng)和發(fā)電機(jī)組運(yùn)行約束的前提下，通過改變發(fā)電機(jī)端電壓、變壓器分接頭及無功補(bǔ)償設(shè)備的投切，使系統(tǒng)的有功網(wǎng)損及電壓偏移最小，電壓穩(wěn)定裕度最大。

1)系統(tǒng)網(wǎng)損最小

式中：Ploss為系統(tǒng)的有功網(wǎng)損；NE為系統(tǒng)總支路數(shù)；Gk(i、j)為支路k電導(dǎo)；Vi、Vj、δij分別為支路k兩端節(jié)點(diǎn)i、j的電壓幅值及其相角差。

2)電壓偏差量最小

式中：NPQ為系統(tǒng)負(fù)荷節(jié)點(diǎn)總數(shù)；Vspc為節(jié)點(diǎn)i額定電壓；Vimax、Vimin分別為節(jié)點(diǎn)i的最大、最小允許偏差。

3)靜態(tài)電壓穩(wěn)定裕度最大

靜態(tài)電壓穩(wěn)定裕度是指系統(tǒng)當(dāng)前運(yùn)行點(diǎn)到電壓崩潰點(diǎn)間的距離。本文采用最小特征值模[2]作為靜態(tài)電壓穩(wěn)定裕度指標(biāo)，這是因?yàn)樽钚√卣髦的Ｄ軌蛴沙绷餮趴杀染仃囍苯忧蟮?，方便算法運(yùn)行。當(dāng)電力系統(tǒng)由正常工作點(diǎn)向電壓崩潰點(diǎn)過渡時(shí)，系統(tǒng)雅可比矩陣最小特征值模單調(diào)地趨向于0。為了使多目標(biāo)函數(shù)中每個(gè)函數(shù)都具有最小化的形式，對靜態(tài)電壓穩(wěn)定裕度取負(fù)。因此，靜態(tài)電壓穩(wěn)定裕度最大的目標(biāo)函數(shù)為

minF3=-(min(|eig(J)|))

式中：J為收斂潮流雅可比矩陣；eig(J)為雅可比矩陣的所有特征值。

綜上所述，本文建立的目標(biāo)函數(shù)為

1.2 約束條件

1)等式約束條件

式中：PGi、QGi分別為節(jié)點(diǎn)i注入的有功功率和無功功率；Pdi、Qdi分別為節(jié)點(diǎn)i的負(fù)荷有功功率和無功功率；ui、uj分別為節(jié)點(diǎn)i、j的電壓；n為系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)總數(shù)；Qci為節(jié)點(diǎn)i的電容器無功補(bǔ)償量；Gij、Bij分別為節(jié)點(diǎn)i、j之間的電導(dǎo)、電納；θij為節(jié)點(diǎn)i、j的電壓相角差。

2)不等式約束條件：

式中：Tk為變壓器分接頭檔位。

2 DE-CSO優(yōu)化算法及在多目標(biāo)無功優(yōu)化中的應(yīng)用

2.1 CSO算法原理

假設(shè)CSO算法的種群用矩陣B表示，矩陣中的每一行用B(i)表示，代表問題的一個(gè)解，B(i,j)表示矩陣中的每一個(gè)元素，種群規(guī)模M即矩陣的行數(shù)，解空間維數(shù)D即矩陣列數(shù)。橫向交叉和縱向交叉得到的解稱為折中解，分別用MShc和MSvc表示。

1)橫向交叉

橫向交叉是在種群中兩個(gè)不同個(gè)體所有維之間進(jìn)行的一種算數(shù)交叉。父代個(gè)體X(i)和X(j)的第d維進(jìn)行橫向交叉，產(chǎn)生的第d維后代的折中解MShc(i,d)和MShc(j,d)采用式(1)進(jìn)行計(jì)算：

(1)

其中：r1、r2∈[0,1]；c1∈[-1,1]；X(i,d)、X(j,d)分別是父代種群X(i)和X(j)的第d維。

隨機(jī)抽取矩陣DSvc中不同行的2個(gè)粒子，抽取共進(jìn)行M/2次，被選中的個(gè)體(如X(no1)和X(no2))通過式(1)產(chǎn)生他們的后代(MShc(no1)和MShc(no2))。

2)縱向交叉

縱向交叉是所有個(gè)體都會參與自身個(gè)體不同維之間的一種算數(shù)交叉。假定父代個(gè)體X(i)的第d1維和第d2維進(jìn)行縱向交叉，產(chǎn)生的第d1維后代[12]MSvc(i,d1)采用式(2)進(jìn)行計(jì)算：

MSvc(i,d1)=r·X(i,d1)+(1-r)·X(i,d2)

(2)

式中：d1、d2∈[1，D];i∈[1，M];r∈[0，1]。

由于縱向交叉法是對于所有種群不同維的運(yùn)算操作，故先對父代種群即經(jīng)橫向交叉后保留下來的矩陣DShc進(jìn)行歸一化處理，然后隨機(jī)抽取不同行的2列數(shù)據(jù)，每個(gè)列數(shù)有且只有一次被選中(如d1列和d2列)，再通過式(2)產(chǎn)生新的子代(MSvc(i,d1))，最后對新的種群進(jìn)行反歸一化處理?？v向交叉抽取共進(jìn)行D/2次，只改變D/2列的數(shù)據(jù)，其目的是促使可能陷入停滯不前的維(如d1)跳出局部最優(yōu)，同時(shí)不破壞另外可能正常進(jìn)化的維(如d2)。

2.2 DE算法原理

DE算法主要通過變異操作和交叉操作來產(chǎn)生新的后代。

1)變異操作

DE算法從群體中任意選取3個(gè)互不相同的染色體進(jìn)行加權(quán)變異，產(chǎn)生子代染色體，計(jì)算式如下：

yi=xno1+F·(xno2-xno3)

(3)

式中：xno1、xno2、xno3為3個(gè)互不相同的染色體；F為縮放因子。

標(biāo)準(zhǔn)的DE算法中F為固定數(shù)值，F(xiàn)值對算法的全局尋優(yōu)能力有很大影響。F選擇過小，算法容易陷入早熟收斂；F選擇過大，算法收斂速度會變慢。為了能夠解決易早熟和迭代收斂速度較慢的問題，提出一種自適應(yīng)縮放因子Fi，其計(jì)算式為

2)交叉操作

DE算法將父代粒子維度按一定概率與變異粒子維度執(zhí)行交叉操作，計(jì)算式如下：

(4)

式中：CR為交叉概率；yi，j是變異操作后第i條染色體的第j個(gè)基因。

DE算法通過交叉操作保留父代粒子的特征，使算法在優(yōu)化過程中能夠有效地保持粒子多樣性。

2.3 多目標(biāo)函數(shù)的處理

由于多目標(biāo)無功優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)之間存在相互矛盾性，因此很難找到一個(gè)可以使各目標(biāo)函數(shù)同時(shí)達(dá)到最優(yōu)的解，如何評價(jià)這些解的優(yōu)劣性是該問題求解的難點(diǎn)之一。目前，絕大部分算法采用加權(quán)疊加比較的評價(jià)方法，但是該方法不能很好地反應(yīng)各目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)劣性。本文通過多目標(biāo)快速非支配排序法[12-13]和比較粒子擁擠距離的方式得到所有解中的Pareto最優(yōu)前沿[14]，并采用模糊隸屬度尋找最優(yōu)解。

1)快速非支配排序法

對于目標(biāo)函數(shù)fi的兩個(gè)可行解a和b，滿足任意fi(a)≤fi(b)(i=1,2,…,n)且存在fi使得fi(a)

2)擁擠距離

(5)

式中：f[i]p為第i個(gè)種群中第p個(gè)目標(biāo)函數(shù)中的解。

比較每個(gè)粒子的擁擠距離，擁擠距離越大，粒子具有越好的多樣性和尋優(yōu)性，經(jīng)過多次迭代，能夠使Pareto前沿分布更加均勻。

2.4 多目標(biāo)DE-CSO優(yōu)化算法及應(yīng)用

針對CSO算法和DE算法在優(yōu)化過程中的缺點(diǎn)，DE-CSO優(yōu)化算法混合了CSO算法中縱向交叉操作、橫向交叉操作及DE算法中變異、交叉操作。在更新粒子種群時(shí)，分別對父代粒子進(jìn)行變異、交叉和縱橫交叉操作，然后再將產(chǎn)生的子代粒子與父代粒子進(jìn)行比較，從而實(shí)現(xiàn)粒子的優(yōu)勝劣汰。通過多種更新子代粒子的方式，DE-CSO算法能夠融合兩種算法的優(yōu)點(diǎn)，使新種群能夠跳出局部最優(yōu)，提高收斂精度和粒子多樣性。為了將DE-CSO算法應(yīng)用到多目標(biāo)函數(shù)中，混合算法不保留基本縱橫交叉算法中競爭算子的運(yùn)算，而是采用多目標(biāo)快速非支配排序法和比較粒子擁擠距離的方式來評價(jià)子代粒子和父代粒子的優(yōu)劣性。通過多次迭代后，粒子的Pareto前沿分布更加廣泛、均勻。將DE-CSO算法應(yīng)用在多目標(biāo)無功優(yōu)化問題上，其算法步驟如下所述，流程圖如圖1所示。

圖1 多目標(biāo)DE-CSO優(yōu)化算法流程圖

1)設(shè)置算法參數(shù)、控制變量，初始種群為F1。

2)將種群F1粒子帶入式(3)、(4)進(jìn)行粒子變異和交叉操作，產(chǎn)生子代種群，并合并父代和子代，形成種群規(guī)模為2n的混合種群F2。

4)運(yùn)用快速非支配排序法和計(jì)算粒子擁擠距離的擇優(yōu)策略從混合種群F2中選擇種群數(shù)為n的優(yōu)秀粒子，形成新種群F3。

5)執(zhí)行CSO算法運(yùn)算。將種群F3的粒子帶入式(1)、(3)進(jìn)行橫向交叉操作和縱向交叉操作，產(chǎn)生種群F6。

6)合并混合種群F3和F6，執(zhí)行步驟4)產(chǎn)生新種群F7，并用種群F7覆蓋種群F1。

7)更新Pareto前沿分布，檢驗(yàn)是否滿足迭代次數(shù)，滿足則退出運(yùn)行，輸出結(jié)果；否則轉(zhuǎn)回步驟2)。

3 算例分析

本文使用IEEE14、IEEE57標(biāo)準(zhǔn)節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。算法參數(shù)設(shè)置如下：種群規(guī)模為50，最大迭代次數(shù)為200，CSO算法中的橫向交叉概率為1，縱向交叉概率為0.6，差分算法的交叉率為 0.5，變異率為 0.5。在測試中除平衡節(jié)點(diǎn)外，電源節(jié)點(diǎn)都作為PV節(jié)點(diǎn)處理，負(fù)荷節(jié)點(diǎn)都作為PQ節(jié)點(diǎn)處理。變壓器變比上限為1.1，下限為0.95，變量步長為0.05；無功補(bǔ)償為0.0～0.5 p.u.，調(diào)節(jié)步長為0.1 p.u.；發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)電壓上、下極限分別為1.1、0.9，變量步長為0.05。

3.1 IEEE14節(jié)點(diǎn)算例

該系統(tǒng)包含20條支路，有3臺變壓器、5臺發(fā)電機(jī)、1個(gè)無功補(bǔ)償點(diǎn)，其中節(jié)點(diǎn)1為平衡節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)2、3、6、8為PV節(jié)點(diǎn)，系統(tǒng)數(shù)據(jù)詳見文獻(xiàn)[15]。為了更加清晰地對比不同算法的仿真效果，IEEE14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)只考慮有功網(wǎng)損和電壓穩(wěn)定裕度兩個(gè)目標(biāo)。運(yùn)用CSO算法、DE-CSO算法對該系統(tǒng)進(jìn)行無功優(yōu)化，仿真效果對比如圖2所示。

圖2 IEEE14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中兩種算法的Pareto前沿分布

對比CSO算法、DE-CSO算法仿真的曲線可以看出，經(jīng)過DE-CSO優(yōu)化后的Pareto前沿分布更加均勻、廣泛，其收斂精度更高。這是因?yàn)镈E-CSO算法融合了DE算法和CSO算法各自的優(yōu)點(diǎn)，它一方面彌補(bǔ)了DE算法在優(yōu)化過程中容易陷入局部最優(yōu)的缺點(diǎn)，通過CSO算法縱橫交叉體制產(chǎn)生的新種群能夠有效跳出局部最優(yōu)，提高收斂精度；另一方面融合了DE算法中的交叉操作和變異操作，改變了CSO算法收斂速度慢、調(diào)整策略單一的缺點(diǎn)，有效地提高了種群的多樣性。所以，運(yùn)用DE-CSO算法優(yōu)化后的多目標(biāo)無功優(yōu)化Pareto前沿分布明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的CSO算法，數(shù)據(jù)對比如表1所示。

表1 IEEE14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)結(jié)果對比

3.2 IEEE57節(jié)點(diǎn)算例

該系統(tǒng)包含41條支路，有15臺變壓器、7臺發(fā)電機(jī)、3個(gè)無功補(bǔ)償點(diǎn)，其中節(jié)點(diǎn)1為平衡節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)2、3、6、8、9、12為PV節(jié)點(diǎn)。分別運(yùn)用CSO算法、DE-CSO算法對該系統(tǒng)進(jìn)行無功優(yōu)化，系統(tǒng)數(shù)據(jù)詳見文獻(xiàn)[15]。仿真效果如圖3、4所示。

圖3 IEEE57節(jié)點(diǎn)CSO算法Pareto前沿分布

對比CSO算法和DE-CSO算法優(yōu)化后的三維仿真效果圖可以看出，DE-CSO算法產(chǎn)生的Pareto前沿分布均勻、廣泛，同時(shí)收斂精度更高，其優(yōu)化效果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的CSO算法，充分地顯示了混合算法良好的收斂能力及尋優(yōu)效率，達(dá)到了預(yù)期的效果，數(shù)據(jù)對比如表2所示。

圖4 IEEE57節(jié)點(diǎn) DE-CSO算法Pareto前沿分布

表2 IEEE57節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)結(jié)果對比

4 結(jié) 語

為了解決電力系統(tǒng)無功優(yōu)化多約束、多變量的問題，創(chuàng)新性地提出了一種融合DE算法和CSO算法的多目標(biāo)DE-CSO算法。新算法改進(jìn)了標(biāo)準(zhǔn)DE算法和CSO算法，提高了算法的收斂效率，能有效地防止粒子陷入局部最優(yōu)。同時(shí)，在采用非支配排序法的基礎(chǔ)上，通過DE-CSO算法的運(yùn)算增加了粒子的多樣性。為提高Pareto分布的均勻性，通過計(jì)算粒子間的擁擠距離來控制目標(biāo)函數(shù)的解集。在IEEE14和IEEE57節(jié)點(diǎn)的系統(tǒng)中進(jìn)行仿真，產(chǎn)生Pareto多目標(biāo)分布前沿。仿真結(jié)果表明，新算法能有效地降低電力系統(tǒng)有功網(wǎng)損和電壓偏移量、提高靜態(tài)電壓穩(wěn)定裕度，為解決電力系統(tǒng)無功優(yōu)化問題提供了新的思路。