鉺激光照射牙釉質作用深度的數值模擬

姜薈薈,黃瑞哲

(西安交通大學口腔醫(yī)院預防科,西安 710004;*通訊作者,E-mail:huangrzh@xjtu.edu.cn)

鉺激光是一種新型水動力激光,其波長位于紅外線區(qū),接近羥基磷灰石和水的吸收曲線[1]。鉺激光突出的特點是可有效切割牙體硬組織,且對周圍組織和牙髓熱損傷較小[2],這是傳統(tǒng)的激光所不具備的。目前雖然有很多研究表明鉺激光可以增加牙釉質的抗酸性[3-5],并可將熱損害降到最小。然而仍然有不同的觀點,Rodríguez-Vilchis等[6]的研究結果表明當使用不同能量密度的鉺激光照射釉質時,雖然釉質表面的形態(tài)結構發(fā)生了改變,但是其抗酸性未得到明顯提高。在增強釉質抗酸性的同時,還要考慮光熱作用對牙髓的影響,有研究表明隨著脈沖持續(xù)時間和個數的增加,牙髓腔溫升增加[7],容易使牙髓細胞壞死。為了更好地了解經鉺激光照射后其光熱作用對釉質作用深度的影響,本研究著力于通過建立激光輻照牙齒的傳熱學物理模型,篩選可增加牙釉質抗酸性、但不產生熱損害的適宜參數,并對相關機制進行研究,從而驗證數理模型預測抗酸性的適用性和可靠性,為鉺激光增強釉質抗酸性提供理論依據。

1 激光輻照牙齒的傳熱學物理模型

牙釉質層是人體中最堅硬的組織,在大約10-100 μm處有明顯的吸收[8]。因此將釉質假設為一個大約只有100 μm厚的有限層面,在t=0+(s)的時刻,一束均勻的激光束作用在釉質表面。假設短脈沖激光作用后釉質表面沒有熱損傷,因為激光作用的光斑直徑在毫米級別而短脈沖激光作用的深度約為幾十個微米[9],因此將激光與釉質相互作用的模型近似為一維是合理的[10]。應用溫度與釉質化學成分一一對應關系,間接得到釉質表面及沿深度方向上化學成分的梯度變化信息。激光輻射牙齒的光熱作用理論模型示意圖見圖1。

激光輻射牙齒組織時,其強度會逐漸衰減,衰減過程服從Beer-Lambert定律[12]。

I(z,t)=I(0,t)·exp(-μeff·z)

(1)

其中,z表示激光入射到牙釉質中的深度,從激光輻照表面指向牙釉質內部;t表示時間;I(0,t)表示激光入射強度;I(z,t)表示入射深度為z時的激光強度。

μeff表示激光的有效衰減系數,定義為:

(2)

上式中,μa表示牙齒對激光的吸收系數;μs表示牙齒對激光的散射系數;g表示牙齒的各向異性系數。

激光輻射時,牙齒組織每單位面積的局部熱積聚量Q(z,t)為:

Q(z,t)=μa·I(z,t)

(3)

上式中忽略激光輻射牙齒時的熱輻射和熱對流效應,則可以用經典的傅里葉傳熱模型來分析激光作用下牙齒中的熱傳導過程。

(4)

其中,T(z,t)為t時刻,牙齒中深度為z的區(qū)域的溫度;κ表示牙齒的熱傳導率;ρ表示牙齒的密度;cp表示牙齒的比熱容量。

激光輻照下將能量傳遞給牙齒,導致牙齒溫度升高并產生熱傳導過程圖1 激光輻射牙齒的光熱作用理論模型示意圖Figure 1 The schematic diagram of the theoretical model of the photothermal effect of laser radiation on the tooth

2 熱傳導數值模型

采用有限差分法(finite difference method)來解一維經典的傅立葉熱傳導方程[5]。將厚度為L的牙齒劃分n個單元,選取如下的節(jié)點坐標形式(見圖2)。

0=x1

(5)

對于1≤i≤n,單元Ei=[xi,xi+1],步長Δxi=xi+1-xi,本文中取恒定步長Δx。

熱傳導公式的顯式表達式為:

(6)

熱傳導公式的隱式表達式為:

(7)

為了得到熱傳導方程數值計算的二階時間精度,本文采用顯式和隱式平均的方法(Crank-Nicholson differencing scheme):

(8)

這種差分格式對于任意的時間步長都是穩(wěn)定的。

圖2 激光輻照下牙齒的一維能量沉積與熱傳導模型Figure 2 One-dimensional energy deposition and heat conduction model of teeth under laser irradiation

采用設定虛擬節(jié)點的方法來解決邊界條件(見圖3)。設定虛擬節(jié)點x-1,假設T-1=T1,則:

(9)

將Crank-Nicholson差分格式寫成矩陣形式為:

(10)

其中A、B為系數矩陣,向量T(t)和向量T(t+Δt)分別為t和t+Δt時刻的節(jié)點溫度向量,向量Q(t)和向量Q(t+Δt)分別為t和t+Δt時刻的節(jié)點熱積聚向量。

圖3 激光輻照下牙齒的一維熱傳導模型邊界條件的處理Figure 3 Treatment of boundary conditions of the one-dimensional heat conduction model of teeth under laser irradiation

3 計算結果

在激光照射下牙齒一維能量沉積與熱傳導數值計算模型中,將厚度為1 mm的牙釉質劃分為500份,計算時間步長取10 μs,總的計算時間為1 s。激光照射下牙齒一維能量沉積與熱傳導數值計算模型中所采用的牙釉質和鉺激光的參數(見表1)。

表1 激光照射下牙齒一維能量沉積與熱傳導模型中牙釉質的參數值[11-13]

3.1 牙釉質表面溫度隨時間變化的模擬結果

在激光照射下牙齒一維能量沉積與熱傳導數值計算模型中,將厚度為1 mm的牙釉質劃分為500份,計算時間步長取10 μs,總的計算時間為1 s。當采用1 Hz頻率的鉺激光照射牙釉質時,牙釉質表面的溫度隨著激光照射時間快速升高(見圖4)。牙釉質表面溫度的溫升速率dTs/dt隨著時間逐漸減小。可以看出當激光照射時間足夠長時,dTs/dt將趨向于0,牙釉質內的溫度分布將趨向于穩(wěn)定。采用的激光能量密度越大,dTs/dt將越大(牙釉質表面的溫度將升高的越快),牙釉質的表面溫度也會越高。當激光照射停止后,隨著熱量向牙釉質內部擴散,牙釉質表面的溫度會逐漸降低。牙釉質表面溫度的溫降速率dTs/dt隨著時間逐漸減小,且激光能量密度越大,表面溫度的溫降速率dTs/dt隨著時間減小得越快。

圖4 不同能量密度、頻率為1 Hz的鉺激光照射牙釉質時,牙釉質表面溫度隨照射時間的變化Figure 4 The surface temperature of the enamel varies with the irradiation time when the enamel is irradiated by erbium laser with different energy density and frequency of 1 Hz

將仿真模型中的激光能量密度分別設置為2.5,5,10,15,20 J/cm2,頻率為3 Hz的多脈沖激光作用后,仿真計算得到了釉質表面溫度隨時間的變化關系(見圖5)。由于多脈沖激光作用使得釉質表面溫度瞬時達到最高,隨后在短時間內逐漸下降并趨于平緩,由于上一個脈沖的溫度殘余,使下一個脈沖作用時的初始溫度提高,當第二個脈沖作用時溫度再一次上升,如此反復(見圖5)。隨著脈沖激光照射次數的增加,釉質表面的溫度是逐漸升高的。

激光的能量密度是影響釉質表面溫度的關鍵因素,將時間范圍固定在0.65-0.70 s范圍內,可以更清楚地看到激光照射過程中釉質表面溫度隨溫度的變化關系(見圖5)。隨著激光能量密度的增大,釉質表面溫升速率越大,會加熱到更高的溫度。釉質表面的最高溫度與激光能量密度成正比?？梢钥闯霎敿す饽芰棵芏葹?.5 J/cm2和5 J/cm2時激光對釉質表面產生的溫度低于650 ℃,而10 J/cm2,3 Hz激光作用的溫度在650-1 100 ℃之間。激光參數為15 J/cm23 Hz和20 J/cm23 Hz的激光對釉質表面產生的溫度大于1 600 ℃。

圖5 不同能量密度、頻率為3 Hz的鉺激光照射牙釉質時,牙釉質表面溫度隨照射時間的變化Figure 5 The surface temperature of the enamel varies with the irradiation time when the enamel is irradiated by erbium laser with different energy density and frequency of 3 Hz

3.2 溫度-深度梯度變化的數值仿真結果

在仿真模型中將激光能量密度分別設置為2.5,5,10,15,20 J/cm2,頻率為1 Hz的單脈沖激光作用后,仿真計算得到了釉質內部溫度隨深度變化的梯度(見圖6)。從輻照表面向牙齒內方向延伸,釉質的溫度逐漸下降,溫度升高的區(qū)域主要集中在表層范圍。隨著激光能量密度的升高,釉質表面的溫度越高,激光的作用深度越深。以溫度為650 ℃作為基準,參數為10 J/cm2,1 Hz的激光對釉質的作用深度大約是18 μm(見圖6A)。有激光照射時,釉質吸收激光的能量,釉質表面的溫度迅速上升。釉質表面和釉質里層會產生溫度差,形成溫度梯度場。在溫度梯度場的作用,熱量向釉質內部傳導,使得釉質內部的溫度逐漸升高。激光照射停止后,由于存在溫度梯度場,熱量繼續(xù)向釉質內部傳導,導致釉質表面的熱量逐漸減少,溫度持續(xù)下降,釉質內部的熱量逐漸增加,溫度繼續(xù)升高。當溫度梯度場消失后,激光轉移給釉質的能量全部耗散掉,釉質的溫度將趨于室溫(見圖6B)。

A.不同能量密度鉺激光照射下牙釉質溫度隨深度的變化 B.能量密度10 J/cm2的鉺激光下牙釉質溫度-深度分布隨時間的變化圖6 頻率為1 Hz的鉺激光照射下牙釉質的溫度隨深度變化圖Figure 6 The changes of enamel temperature with depth under the irradiation of erbium laser with a frequency of 1 Hz

在仿真模型中將激光能量密度分別設置為2.5,5,10,15,20 J/cm2,頻率為3 Hz的多脈沖激光作用后,仿真計算得到了釉質內部溫度隨深度變化的梯度(見圖7)。頻率高的激光轉移給釉質的能量更多,相同能量密度時,頻率越高的激光會使得釉質表面達到更高的溫度。釉質表面的溫度越高,釉質表面和內部的溫度差越大,溫度梯度場越高。因此,高頻率激光照射下將使得熱傳導更快,釉質內部的溫度也越高,激光的作用深度將隨著激光頻率的升高而增大。能量的積累使釉質內的化學成分發(fā)生變化,以溫度為650 ℃作為基準,參數為10 J/cm2,3 Hz的激光對釉質的作用深度大約是20 μm(見圖7A)。溫度梯度場作用下,釉質表面吸收的激光能量將逐漸傳導至釉質內部。由計算結果可以看出隨著激光照射時間的延長,對釉質的作用深度也逐漸增強(見圖7B)。

A.不同能量密度鉺激光照射下牙釉質溫度隨深度的變化 B.能量密度10 J/cm2的鉺激光下牙釉質溫度-深度分布隨時間的變化圖7 頻率為3 Hz的鉺激光照射下牙釉質的溫度隨深度變化Figure 7 The changes of enamel temperature with depth under the irradiation of erbium laser with a frequency of 3 Hz

4 討論

齲齒的好發(fā)部位往往是那些需要有效清潔的部位,如牙合面的溝窩點隙處。目前對齲病的預防大都采用綜合防治的策略。在細菌方面,以探索免疫疫苗為主,其療效在短期內有效,但是還缺乏相關的的血清學和毒理學的研究,還不能將此方法進行臨床推廣。氟化物預防齲齒已得到了大多數口腔醫(yī)學工作者的認可,但是隨著氟化物的長期使用,致齲菌會產生耐藥性。我國是一個地方性氟中毒高發(fā)的國家,在高氟地區(qū)氟化物防齲的應用受到限制,由于氟化物的廣泛應用也導致了氟斑牙的流行。而利用激光作為預防齲齒的手段之一可能是因為它可以高效殺滅致齲菌[14],改變釉質的化學成分以及形態(tài)學結構[3]。關于激光增強釉質抗酸性的機制中最容易被接受的假說是:當激光照射牙齒表面產生的熱量達到400-1 000 ℃時會減少碳酸鹽的含量,導致釉質的抗酸性增強[15]。

Fowler等[15]認為,激光作用于釉質產生的熱量對釉質的作用分為3個階段:在第一階段溫度低于650 ℃,雖然生成的焦磷酸鹽降低了釉質溶解性,但此階段的生成量相對較少,而且碳酸鹽的含量未大幅度減少,此溫度內釉質的抗酸性未得到明顯增強;第二階段溫度在650-1 100 ℃時,釉質內發(fā)生再結晶形成β-Ca3(PO4)2,剩余的水和碳酸鹽含量進一步減少,在這一范圍內既可以使釉質的抗酸性增強,又不會引起釉質的熔融。第三階段溫度超過1 100 ℃生成兩種產物,α-Ca3(PO4)2和Ca4(PO4)2O,這兩種物質易溶于酸性溶液中。在激光照過的牙釉質中還鑒定出有熔融物質,那些含有相當多數量的化合物所在的區(qū)域顯著增加了釉質的溶解性。

我們的研究顯示(見圖4):當激光能量密度為2.5 J/cm23 Hz和5 J/cm23 Hz時激光對釉質表面產生的溫度低于650 ℃,此時釉質的抗酸性未達到最強;而10 J/cm2,3 Hz激光作用的溫度在650-1 100 ℃時,釉質的抗酸性進一步增強。激光參數為15 J/cm2,3 Hz和20 J/cm2,3 Hz的激光對釉質表面產生的溫度大于1 600 ℃,與實際物理過程不符,這是因為建模過程不考慮高溫導致釉質的熔化過程。而實際物理過程中當溫度超過1 200 ℃時釉質表面發(fā)生融化,對釉質造成嚴重損傷,此階段的產物易溶于酸,降低了釉質的抗酸性。

激光與釉質相互作用的熱效應會引起釉質內部沿深度方向形成溫度梯度。激光照射牙齒后產生的溫升過高易引起深部牙髓的熱損傷,導致牙髓細胞的壞死。本仿真研究對所用參數進行了溫度-深度的數值模擬,研究激光照射后在增強釉質抗酸性的同時,對釉質作用深度的影響,探索鉺激光對釉質的光熱作用。當溫度處于650-1 100 ℃時,10 J/cm2,3 Hz鉺激光的有效作用深度是20 μm,遠小于正常釉質的厚度(2-2.5 mm),因此適宜的激光參數不會對深部的牙體組織造成熱損傷。

激光照射過的牙釉質會產生沿著牙本質深度方向降低的溫度梯度。激光能量在釉質內部聚集,以熱傳導的形式向內部擴散,因此要對入射的激光參數進行控制。由以上結果可知,要增強釉質的抗酸性即可將其產生的溫度控制在650-1 100 ℃。在固定的溫度范圍內,高能量密度的激光可以適當地減少入射頻率和照射時間,低能量的激光可以增加入射的頻率和照射時間,這樣可以減少多余的能量擴散到牙體組織內部。

5 結論

通過用數學建模的手段對不同激光參數照射下牙齒內部的溫度場進行數值模擬,得到了在增強釉質抗酸性的適宜溫度范圍內,激光對釉質的有效作用深度,并對不同激光參數照射下牙齒內部的溫度-深度梯度進行數值模擬,證明了適宜的激光參數照射釉質后,不但可以增強釉質的抗酸性而且不會對深部的牙體組織造成熱損傷,驗證了數理模型預測抗酸性的適用性和可靠性,為鉺激光增強釉質抗酸性提供了理論依據。