可分離變量微分方程案例教學(xué)的探索與實(shí)踐

潘 花，仇海全

可分離變量微分方程案例教學(xué)的探索與實(shí)踐

潘 花，仇海全

（安徽科技學(xué)院 信息與網(wǎng)絡(luò)工程學(xué)院，安徽 蚌埠 233030）

微分方程這部分內(nèi)容比較抽象、邏輯性較強(qiáng)、概念多，難度較大。在教學(xué)過(guò)程中采用案例教學(xué)法，將枯燥的概念講解、方程解法練習(xí)融入到實(shí)際案例分析中，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提高教學(xué)效果。

新冠肺炎；微分方程；SI模型

微分方程是《高等數(shù)學(xué)》知識(shí)體系的一個(gè)重要組成部分，這部分內(nèi)容具有概念多、方程類型多、抽象性強(qiáng)等特點(diǎn)。為激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)效果，采用案例教學(xué)法講解可分離變量微分方程。將新冠肺炎疫情分析和預(yù)測(cè)作為教學(xué)案例，將抽象的理論知識(shí)與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合起來(lái)，建立數(shù)學(xué)模型。探討了利用微分方程模型預(yù)測(cè)新冠肺炎疫情發(fā)展的方法，并將其融入到課程教學(xué)中，遵循“學(xué)生中心”教學(xué)理念[1]，注重課程思政。不僅能有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、提高學(xué)習(xí)熱情，還有利于提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力、創(chuàng)新能力和科研能力[2]。

1 建立數(shù)學(xué)模型

新冠肺炎對(duì)人們的生產(chǎn)、生活產(chǎn)生了重大影響，以新冠肺炎疫情為教學(xué)案例，通過(guò)分析建立其數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而引入新課。

該模型稱為SI傳染病模型[3]。通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為微分方程問(wèn)題。

2 結(jié)合案例，引出新課

通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行建模和分析，能夠直觀形象地給出可分離變量微分方程的概念，便于學(xué)生理解和掌握。

由上面的定義可知，SI模型中的微分方程是可分離變量微分方程，若要對(duì)模型進(jìn)行求解，需要掌握可分離變量微分方程的具體求解步驟[4]。

可分離變量微分方程的求解步驟：

在對(duì)微分方程進(jìn)行變形時(shí)，要特別注意是否有增根、減根的情況。

應(yīng)用上述步驟求解SI模型中的一階微分方程初值問(wèn)題，在練習(xí)中鞏固所學(xué)知識(shí)和方法，提升應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

所求初值問(wèn)題的特解為：

3 模型分析與預(yù)測(cè)

圖1 與之間的函數(shù)關(guān)系圖

圖2 的圖像

SI模型只考慮了傳染病爆發(fā)和傳播的過(guò)程，而沒(méi)有考慮確診病人治愈恢復(fù)健康的過(guò)程。由于該模型的假設(shè)條件過(guò)于理想化、簡(jiǎn)單化，并不能真實(shí)反映傳染病的發(fā)展趨勢(shì)，但是該模型具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

從世界衛(wèi)生組織網(wǎng)站[6]選取2020年1月21日至2020年5月17日中國(guó)新冠肺炎疫情統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。首先利用四點(diǎn)法估計(jì)，再利用線性回歸估計(jì)和的值[7]。實(shí)際數(shù)據(jù)和預(yù)測(cè)結(jié)果如圖3所示。由圖3可以看出，在黨和政府的領(lǐng)導(dǎo)下，我國(guó)采取積極有效的防控措施，經(jīng)過(guò)醫(yī)護(hù)人員的不懈努力和全體中國(guó)人民的不懈奮斗，取得了抗擊新冠肺炎疫情的重大勝利。

通過(guò)講解實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生積極思考[8]。不僅能夠凸顯知識(shí)的重要性、提高學(xué)生應(yīng)用知識(shí)的意識(shí)、激發(fā)學(xué)生的求知欲，還能讓學(xué)生更深刻地認(rèn)識(shí)當(dāng)前疫情狀況，對(duì)學(xué)生進(jìn)行思想政治教育，激發(fā)學(xué)生的愛(ài)國(guó)熱情，樹立強(qiáng)烈的民族自豪感和自信心。

4 模型拓展，激發(fā)學(xué)生求知欲

該模型稱為SIS模型，該微分方程也可利用分離變量法進(jìn)行求解。傳染病模型除了SI、SIS模型外，還有SIR、SIRS、SEIR[9]等傳染病模型。

通過(guò)介紹其他傳染病模型，拓展學(xué)生的知識(shí)面，鼓勵(lì)學(xué)生課下查資料了解其他傳染病模型，激發(fā)學(xué)生的求知欲和探索意識(shí)。

結(jié)束語(yǔ)

《高等數(shù)學(xué)》課程的重要性不言而喻[10]，為了獲得更好的教學(xué)效果，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)[11]，教學(xué)過(guò)程中必須注重理論知識(shí)與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合。將理論知識(shí)與實(shí)際問(wèn)題緊密結(jié)合，采用直觀形象的案例教學(xué)方法能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲。在多樣性、實(shí)踐性的學(xué)習(xí)過(guò)程中，讓學(xué)生既動(dòng)腦又動(dòng)手，強(qiáng)化對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力，有利于培養(yǎng)創(chuàng)新型人才。

[1] 李虹瑾, 朱雅琳. 高?！皩W(xué)生中心”教學(xué)改革的阻力與突破[J]. 宜賓學(xué)院學(xué)報(bào), 2019, 19（8）: 117~125.

[2] 高海音, 祝英杰. 將數(shù)學(xué)建模思想融入常微分方程教學(xué)的探索與實(shí)踐[J]. 長(zhǎng)春大學(xué)學(xué)報(bào), 2012, 22（12）: 1543~1546.

[3] 葛清, 冀桂琳, 李盈科, 等. 隨機(jī)SI傳染病模型的概率分析[J]. 統(tǒng)計(jì)與決策, 2017（7）: 21~24.

[4] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué): 第七版[M]. 北京: 高等教育出版社, 2014: 302~305.

[5] 趙文英, 袁赫. 基于改進(jìn)Logistic模型的中國(guó)社會(huì)消費(fèi)品零售總額預(yù)測(cè)[J]. 牡丹江師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）, 2018, 105（4）: 15~18.

[6] World Health Organization. “Coronavirus disease (COVID-2019) situation reports”[R/OL]. [2020-05-18]. https://www.who.int/emergencies/diseases/novel-coronavirus-2019/situation-reports/.

[7] 宋之杰, 唐曉莉. 基于Logistic模型的我國(guó)信息產(chǎn)業(yè)演化發(fā)展研究[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí), 2019, 49（5）: 151~159.

[8] 潘花, 仇海全. 極坐標(biāo)系下的面積元素推導(dǎo)[J]. 重慶科技學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）, 2018, 20（6）: 110~112.

[9] 李昊, 段德光, 陶學(xué)強(qiáng), 等. 傳染病動(dòng)力學(xué)模型及其在新型冠狀病毒肺炎疫情仿真預(yù)測(cè)中的應(yīng)用綜述[J]. 醫(yī)療衛(wèi)生裝備, 2020, 41（3）: 7~12.

[10] 潘花, 仇海全. 基于“超星學(xué)習(xí)通平臺(tái)”的《高等數(shù)學(xué)》混合教學(xué)模式的探索[J]. 黑河學(xué)院學(xué)報(bào), 2020（3）: 100~102.

[11] 林偉華. 分析與啟示: 數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)系[J]. 牡丹江師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）, 2018, 105（4）: 60~65.

Exploration and Practice of Case Study Mode in Differential Equations with Separable Variables

PAN Hua，QIU Hai-quan

(College of Information and Network Engineering, Anhui Science and Technology University, Bengbu Anhui 233030, China)

Differential equation is difficult to learn due to its relatively abstract yet abundant concepts, and strict logic. The case study method is adopted in the teaching process, integrating the dull concept explanation and equation solving exercises into the actual case analysis, therefore stimulating students’ enthusiasm for learning and improving the teaching effect.

COVID19; differential equation; SI model

2020-05-21

安徽省教育廳自然科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目（KJ2019A0816）；安徽省高等學(xué)校省級(jí)質(zhì)量工程項(xiàng)目（2018jyxm0671）

潘花（1980—），女，山東泗水人，講師，碩士，研究方向：計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)、高等數(shù)學(xué)教學(xué)。

O172

A

2095-9249（2020）03-0102-05

〔責(zé)任編校：吳侃民〕