一類帶切換的隨機SIRS模型的穩(wěn)定性研究

王鋒，宋波

一類帶切換的隨機SIRS模型的穩(wěn)定性研究

王鋒1，宋波2

（1. 萍鄉(xiāng)學(xué)院 工程與管理學(xué)院；2. 萍鄉(xiāng)學(xué)院 初等教育學(xué)院，江西 萍鄉(xiāng) 337000）

SIRS模型是經(jīng)典的傳染病模型之一。文章利用隨機微分方程理論研究了一類帶切換的隨機SIRS模型的穩(wěn)定性。結(jié)果表明，在一定的條件下，所建立的模型是隨機漸近穩(wěn)定的，這一結(jié)果可以用數(shù)值例子來驗證。

隨機SIRS模型；機制切換；全局正解；穩(wěn)定性

引言

傳染病是人類生存發(fā)展的重大威脅之一，當(dāng)它發(fā)生并流行時，會給經(jīng)濟和人們的生活產(chǎn)生極其嚴重的危害。因此，建立傳染病傳播機制模型并對其研究，對于掌握疾病傳播規(guī)律和控制疾病有重要的作用。SIR模型是一類經(jīng)典的模型，它將群體分為3類：易受感染者（Susceptible）、感染者（Infected）和恢復(fù)者（Recovered），并假設(shè)感染者經(jīng)過治愈恢復(fù)后不再具有重新感染的可能性。這類傳染病有天花和水痘等。很多學(xué)者研究了這類模型的性質(zhì)，見文獻[1~2]。

在實際生活中環(huán)境不是一成不變的，它在時刻發(fā)生著變化，例如夏季冬季等季節(jié)的變化、溫度、濕度的變化等。這些變化都會使得模型中的參數(shù)發(fā)生改變，而這種改變不能通過上述Brown運動這類連續(xù)的隨機干擾來刻畫，但能通過有限狀態(tài)空間的連續(xù)時間Markov鏈來表示。因此，帶Markov切換的SIRS模型獲得了越來越多的關(guān)注[4-7]。Li等[6]研究了傳播率由半馬氏過程驅(qū)動的SIRS模型的動力學(xué)行為和遍歷性。Bao等[7]研究了系數(shù)受狀態(tài)依賴的Markov鏈調(diào)制的SIRS模型的持久、滅絕性。關(guān)于帶切換的隨機微分方程的系統(tǒng)知識和各種性質(zhì)，可見文獻[8]。

雖然研究帶Markov切換的傳染病模型較多，但是大多從疾病的持久滅絕性等動力學(xué)行為來研究，關(guān)于穩(wěn)定性的研究則較少。本文研究具有一般發(fā)生率函數(shù)、帶Markov切換的隨機SIRS模型的穩(wěn)定性，其形式如下：

求得。

1 基礎(chǔ)知識

對于一個方程，首先考慮的是方程是否有解，解的范圍能不能估計，下面的引理將研究這些問題。

將式（1）中三個方程相加起來，得到式子：

2 模型的穩(wěn)定性

在本節(jié)我們將研究模型（1）的隨機漸近穩(wěn)定性。

其中

因此，

。（7）

3 數(shù)值例子

圖1 例1中參數(shù)且模型（1）時N(t)的軌跡

圖2 例1參數(shù)下模型（1）時在不同初始值的軌跡

圖3 例2中參數(shù)且模型（1）時N(t)的軌跡

圖4 例2參數(shù)下模型（1）時在不同初始值的軌跡

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〔責(zé)任編校：范延琛〕

Research on the Stability of a Stochastic SIRS Model with Switching

WANG Feng1, SONG Bo2

(1. School of Management and Engineering, Pingxiang University; 2. School of Primary Education, Pingxiang Jiangxi 337000, China)

SIRS model is one of the classical epidemic models. In the paper, the stability of a class of stochastic SIRS model with switching is studied by making use of the theory of stochastic differential equations. The results show that the model is stochastically asymptotically stable under certain conditions. Finally, some numerical examples are presented to verify the results.

stochastic SIRS model; Markovian switching; global positive solution; stability

2020-06-24

江西省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項目（GJJ191145）；萍鄉(xiāng)學(xué)院青年科研基金項目（2018D0224）

王鋒（1987—），男，江西九江人，講師，碩士，研究方向：隨機微分方程及其應(yīng)用。

O211.6；O29

A

2095-9249（2020）03-0007-06