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    用好數(shù)軸不言“愁”

    2020-11-05 05:53:38文江蘇省無錫市梅里中學(xué)七年級(jí)13
    初中生世界 2020年37期
    關(guān)鍵詞:數(shù)是正整數(shù)動(dòng)點(diǎn)

    文江蘇省無錫市梅里中學(xué)七年級(jí)(13)班 甄 璽

    進(jìn)入初中后,我們學(xué)習(xí)了有理數(shù)這一章。有理數(shù)這個(gè)名字聽起來比小學(xué)里學(xué)的內(nèi)容高大上了許多,它是整數(shù)(正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù))和分?jǐn)?shù)(正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù))的統(tǒng)稱,是整數(shù)和分?jǐn)?shù)的集合。在這章里,我們還認(rèn)識(shí)了有理數(shù)的好朋友——數(shù)軸,它幫助我們解決了很多困擾,讓我們一起來看一看吧!

    例1數(shù)軸上表示數(shù)m與n的點(diǎn)之間的距離可以表示為|m-n|。

    (1)若|x- 5|=3,求x的值。

    (2)A、B為數(shù)軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)A表示的數(shù)是a,點(diǎn)B表示的數(shù)是b,且|a-b|=6(b>a)。點(diǎn)C表示的數(shù)是-2。若A、B、C三點(diǎn)中的某一個(gè)點(diǎn)到另外兩個(gè)點(diǎn)的距離相等,求a、b的值。

    【解答】第(1)題很簡(jiǎn)單。|x- 5|=3表示代表x的點(diǎn)到代表5 的點(diǎn)之間的距離為3,所以x=2或8。

    第(2)題因?yàn)閨a-b| =6(b>a),所以點(diǎn)A和點(diǎn)B之間的距離為6,點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)。題目中并沒有說A、B、C哪個(gè)點(diǎn)在中間,所以要分類討論。

    如圖1,若點(diǎn)C到點(diǎn)A與到點(diǎn)B的距離相等,因?yàn)辄c(diǎn)C表示的數(shù)為-2,|a-b| =6,所以點(diǎn)A與點(diǎn)B到點(diǎn)C的距離都是3。則a=-2-3=-5,b=-2+3=1。

    圖1

    如圖2,若點(diǎn)A到點(diǎn)C與到點(diǎn)B的距離相等,因?yàn)辄c(diǎn)C表示的數(shù)為-2,AB之間距離為6,所以a=-2+6=4,b=a+6=10。

    圖2

    如圖3,若點(diǎn)B到點(diǎn)C與到點(diǎn)A的距離相等,因?yàn)辄c(diǎn)C表示的數(shù)為-2,所以b=-2-6=-8,a=b-6=-14。

    圖3

    綜上所述,a=-5,b=1 或a=4,b=10 或a=-14,b=-8。

    由此看來,做有關(guān)數(shù)軸的題目時(shí),一定要細(xì)心。別看數(shù)軸表面平淡無奇,也許暗藏玄機(jī),不止一解呢。

    例2在數(shù)軸上A點(diǎn)表示數(shù)a,B點(diǎn)表示數(shù)b,C點(diǎn)表示數(shù)c,b是最小的正整數(shù),且a、c滿足|a+ 2|+(c-7)2=0。

    (1)a=______,b=______,c=______;

    (2)若將數(shù)軸折疊,使得A點(diǎn)與C點(diǎn)重合,則點(diǎn)B與數(shù)______表示的點(diǎn)重合;

    (3)點(diǎn)A、B、C開始在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng),若點(diǎn)A以每秒1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2 個(gè)單位長(zhǎng)度和4 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng),假設(shè)t秒鐘過后,若點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離表示為AB,點(diǎn)A與點(diǎn)C之間的距離表示為AC,點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離表示為BC。則AB=______,AC=______,BC=______。(用含t的代數(shù)式表示)

    (4)在(3)的前提下,請(qǐng)問:3BC-2AB的值是否隨著時(shí)間t的變化而改變?若變化,請(qǐng)說明理由;若不變,請(qǐng)求出它的值。

    【解答】(1)b是最小的正整數(shù),所以b=1。|a+2|+(c-7)2=0 是一個(gè)典型的“0+0”模型,因?yàn)閨a+2 |≥0,(c-7)2≥0,所以a+2=0,c-7=0,則a=-2,c=7。

    (2)折疊后點(diǎn)A和點(diǎn)C重合,則折痕表示的數(shù)到A和C的距離相等,所以折痕處表示的數(shù)是2.5,而B表示1,則與點(diǎn)B重合的點(diǎn)到2.5的距離也就等于1到2.5的距離,則與點(diǎn)B重合的點(diǎn)表示的數(shù)為4。畫出數(shù)軸則能一目了然,同學(xué)們不妨自己動(dòng)手試一下。

    (3)這一問條件比較多,畫一個(gè)數(shù)軸把條件標(biāo)一下,如圖4,這樣可以很輕松地得出AB=3t+3,AC=5t+9,BC=2t+6。

    圖4

    (4)這一問有兩種做法,可以分別是從數(shù)的角度和形的角度出發(fā)。

    從數(shù)的角度:由題可得,開始移動(dòng)后,A表示-2-t,B=1+2t,C=7+4t。

    所以3BC-2AB=3[(7+4t)-(1+2t)]-2[(1+2t)-(-2-t)]=12。因此值不變,為12。

    從形的角度:由(3)可得,BC=2t+6,AB=3t+3。

    所以3BC-2AB=3(2t+6)-2(3t+3)=12。因此值不變,為12。

    在做一些信息量大,條件繁多的題目時(shí),把條件標(biāo)注在圖上,會(huì)簡(jiǎn)單很多哦。有的題目不止一種解法,我們要善于選擇最簡(jiǎn)單的解法。

    怎么樣?看了這兩題后,是不是覺得借助數(shù)軸,題目會(huì)簡(jiǎn)單了許多?快去找以前難倒你的題目試試看吧!

    教 師 點(diǎn) 評(píng)

    進(jìn)入初中代數(shù)的開篇,同學(xué)們走進(jìn)了有理數(shù)的世界,為了更好地探究有理數(shù)的相關(guān)知識(shí),我們引進(jìn)了一個(gè)新的數(shù)學(xué)工具——數(shù)軸。在數(shù)軸上我們進(jìn)行了數(shù)的分類,數(shù)的大小比較;認(rèn)識(shí)了相反數(shù),絕對(duì)值;我們還研究了有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方……然而,數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離問題與動(dòng)點(diǎn)問題,卻是本章中最有難度和最為經(jīng)典的題目。小作者從兩個(gè)點(diǎn)的距離,到三個(gè)點(diǎn)之間的距離,再到動(dòng)點(diǎn)間的距離,逐步推進(jìn),由易到難,分別從數(shù)與形兩個(gè)角度對(duì)此類題進(jìn)行分類解剖,可謂循序漸進(jìn),娓娓道來。只要大家細(xì)細(xì)揣摩,定能理清思路,掌握打開此類題的正確方式,也定能將有理數(shù)這一章學(xué)好學(xué)會(huì)!

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