基于聚焦矩陣的毫米波信號(hào)DOA估計(jì)

苗豐滿, 車凱琪, 李佑宇

(1. 蘭州理工大學(xué) 計(jì)算機(jī)與通信學(xué)院, 甘肅 蘭州 730050; 2. 甘肅建投文化旅游發(fā)展集團(tuán)有限公司, 甘肅 蘭州 730050; 3. 蘭州工業(yè)學(xué)院 計(jì)算機(jī)與人工智能學(xué)院, 甘肅 蘭州 730050)

隨著終端業(yè)務(wù)需求的多樣化,對(duì)無線通信系統(tǒng)提出了更高的要求[1],而目前緊張的頻譜資源無法滿足日益增加的數(shù)據(jù)流量需求.在此背景下,有著充足頻帶資源的毫米波通信成為解決頻譜資源緊張、系統(tǒng)容量不足等問題的可行方案[2].毫米波波長較短,在毫米波通信系統(tǒng)中使用多天線來提高增益和增加傳輸距離[3],當(dāng)天線數(shù)達(dá)到一定數(shù)量時(shí),不同路徑在空間正交而不具有相關(guān)性或可視為相關(guān)性較低[4].在此基礎(chǔ)上,將DOA估計(jì)技術(shù)應(yīng)用到毫米波多天線系統(tǒng)中,可將用戶方向進(jìn)行區(qū)分,定向通信補(bǔ)償路損.但毫米波信號(hào)頻率間差異會(huì)導(dǎo)致波束隨頻率變化,信號(hào)檢測和參數(shù)估計(jì)性能也會(huì)隨之下降,因此傳統(tǒng)的DOA估計(jì)技術(shù)無法滿足毫米波信號(hào)DOA估計(jì)的要求,對(duì)于毫米波信號(hào)DOA估計(jì)不能直接采用傳統(tǒng)方法進(jìn)行處理.

傳統(tǒng)的信號(hào)DOA估計(jì)算法,包括多重信號(hào)分類(MUSIC)[5]算法、旋轉(zhuǎn)不變子空間(ESPRIT)[6]算法、非相干子空間(ISSM)和相干子空間算法(CSSM)[7]無法直接應(yīng)用到毫米波DOA估計(jì)場景中.隨著信號(hào)DOA估計(jì)的應(yīng)用范圍不斷更新,趙陽等[8]考慮了信源數(shù)超出陣元數(shù)的估計(jì)精度問題,在MUSIC算法的基礎(chǔ)上引入內(nèi)插陣列變換和空間平滑技術(shù),在信源數(shù)多于實(shí)際陣元數(shù)時(shí)實(shí)現(xiàn)了較高的側(cè)向分辨率,但實(shí)驗(yàn)結(jié)果受變換區(qū)域影響,變換區(qū)域選取不當(dāng)或區(qū)域過大,估計(jì)誤差將會(huì)增大.Yu等[9]為解決算法對(duì)參考頻點(diǎn)的依賴性,提出了TOFS算法,利用不同頻點(diǎn)下陣列方向矢量與噪聲子空間相互正交完成DOA估計(jì),同時(shí)消除了偽峰,但在中等信噪比下的估計(jì)性能仍需改進(jìn).蔡進(jìn)等[10]提出一種聚焦的子空間正交性DOA 估計(jì)方法來提高角度分辨力和估計(jì)精度,此方法僅在信源角度間隔較小時(shí)適用.Liu等[11]采用最小二乘法準(zhǔn)則進(jìn)行毫米波信號(hào)DOA估計(jì),可提高定向頻譜下的分辨率,但在多陣元情況下的DOA估計(jì)性未能達(dá)到理想狀態(tài).

針對(duì)以上不足,本文在頻域內(nèi)建立毫米波信號(hào)轉(zhuǎn)化模型,將毫米波信號(hào)看成多個(gè)窄帶分量,并將其“聚焦”在參考頻率下,減少波束因頻率變化帶來的影響,將所有信號(hào)協(xié)方差矩陣進(jìn)行平均,利用信號(hào)的所有子空間信息,得到更加精確的DOA估計(jì)值.通過仿真驗(yàn)證了算法的有效性,在多陣元及中等信噪比情況下實(shí)現(xiàn)相對(duì)精準(zhǔn)的DOA估計(jì),在不同頻率下估計(jì)性能保持穩(wěn)定.

1 陣列結(jié)構(gòu)和信號(hào)模型

1.1 信號(hào)轉(zhuǎn)化模型

毫米波信號(hào)區(qū)別于傳統(tǒng)窄帶信號(hào)的是,它不僅與信號(hào)DOA有關(guān),還與其頻率有關(guān).由于毫米波信號(hào)頻率間差異會(huì)導(dǎo)致形成的波束隨頻率變化,信號(hào)檢測和參數(shù)估計(jì)性能也會(huì)隨之波動(dòng),影響整體效果.因此,毫米波通信過程中不能直接采用窄帶模型進(jìn)行處理.基于此特點(diǎn),毫米波DOA估計(jì)采用頻域模型.

考慮存在P個(gè)毫米波信號(hào),分別以θ1,θ2,θ3,…,θp的入射角度到達(dá)天線陣列.陣元數(shù)為N(P≤N),相鄰陣元間距為d(d=λ/2),λ為波長,第i個(gè)毫米波信號(hào)的波達(dá)角為θi,如圖1所示.

入射到陣列的毫米波信號(hào)為s(t),當(dāng)?shù)趇個(gè)信號(hào)到達(dá)第m個(gè)陣元,將入射信號(hào)分解為K個(gè)窄帶分量,即陣列接收數(shù)據(jù)看成K個(gè)分量,得到頻率fk,k=1,2,…,K,其接收模型為

(1)

對(duì)式(1)進(jìn)行變換,可得毫米波信號(hào)在N個(gè)天線陣列上的頻域表示形式:

X(fk)=A(fk)S(fk)+N(fk)

(k=1,2,…,K)

(2)

式中:N×1維陣元接收信號(hào)為

X(fk)=[x1(fk),x2(fk),…,xN(fk)]T

(3)

N×P維陣列流型方向?yàn)?/p>

A(fk)=[a(fk,θ1),a(fk,θ2),…,a(fk,θP)]T

(4)

入射毫米波信號(hào)的波形矢量為

S(fk)=[s1(fk),s2(fk),…,sP(fk)]T

(5)

陣列噪聲矢量為

N(fk)=[n1(fk),n2(fk),…,nN(fk)]T

(6)

a(fk,θ)表示毫米波信號(hào)的方向矢量,可表示為

(7)

通過“聚焦”方式可將毫米波信號(hào)在不同頻率下的窄帶分量聚焦在同一頻率分量下,得到聚焦后的窄帶信號(hào)空間,進(jìn)一步結(jié)合Esprit算法進(jìn)行估計(jì).

在毫米波信道中,不同路徑的陣列響應(yīng)有：

a(θl)⊥a(θk),l≠k

證明：

(8)

式(8)中的分子：

則原式可以表示為

(9)

式(9)表明,當(dāng)毫米波陣元數(shù)N較大時(shí),各條路徑在空間正交而不具有相關(guān)性或可視為相關(guān)性較低.毫米波系統(tǒng)中涉及到較大的路徑損耗,因此一般配置多天線以獲得較高的信噪比,提高接收信號(hào)功率.

1.2 構(gòu)造聚焦矩陣

毫米波信號(hào)中陣列矢量矩陣A(fk,θ)與毫米波DOA及其相關(guān)頻率有關(guān).由參考文獻(xiàn)[12]可知,對(duì)于陣列方向矢量A(fk,θ),其在不同頻率點(diǎn)下的秩等于毫米波信號(hào)源個(gè)數(shù),因此存在N×N維非奇異矩陣T(fk),符合以下條件：

T(fk)A(fk)=A(f0) (k=1,2,…,K)

(10)

式中：T(fk)表示聚焦矩陣；f0表示毫米波信號(hào)中頻,采用Jacobi-Anger展開構(gòu)造與DOA無關(guān)的聚焦矩陣:

(11)

(±i)符號(hào)選取與x取值有關(guān),x為正值取正號(hào),否則取負(fù);qm(x)表示球面貝塞爾函數(shù):

(12)

pm(sinθ)為勒讓得多項(xiàng)式：

(13)

對(duì)于任意變量的pm(y),當(dāng)|y|≤1時(shí)滿足式 (13),信號(hào)到達(dá)角|sinθ|≤1滿足上述條件.

式中J11=i0(2*0+1)q0(0*d)

J1M=iM(2*M+1)qM(0*d)

JN1=i0(2*0+1)q0((N-1)*d)

JNM=iM(2*M+1)qM((N-1)*d)

x=(n-1)d(n=1,2,…,N)

x表示各陣元到參考陣元的距離.

將式(14)代入式(4)可得

A(fk)=J(Dkx)P(θ)

(16)

式中:P(θ)=[P(θ1),…,P(θp)];A(fk)被分成了J(Dkx)和P(θ)兩個(gè)矩陣,J(Dkx)只與信號(hào)的頻率有關(guān),因此可用它來構(gòu)造與毫米波信號(hào)DOA不相關(guān)的聚焦矩陣T(fk)：

T(fk)=J(D0x)[JH(Dkx)J(Dkx)-1JH(Dkx)]

(17)

將式(17)左乘式(16),可得

T(fk)A(fk)=J(D0x)P(θ)=A(f0)

(18)

令

Y(fk)=T(fk)X(fk)

將式(2)及式(18)帶入可得

Y(fk)=A(f0)S(fk)+T(fk)N(fk)

(19)

從式(18,19)可以看出,T(fk)可將任意頻率下的方向矩陣聚焦到參考頻率下,輸出數(shù)據(jù)的導(dǎo)向矢量相同,保持了方向矩陣的結(jié)構(gòu)不變,將接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行平均可得

(20)

定義

則

(21)

經(jīng)平均后,由于平均后的協(xié)方差矩陣?yán)昧怂凶诱瓗У男畔?因此在進(jìn)行算法下的估計(jì)時(shí)可得到更加精確的估計(jì)值.

2 算法模型

接收毫米波信號(hào)時(shí),將整個(gè)接收陣劃分成兩個(gè)接收子陣Y1、Y2,陣元數(shù)為N.如圖2所示,Y1表示前N-1個(gè)陣元,Y2表示后N-1個(gè)陣元,Y1、Y2在信號(hào)接收過程中,相差一個(gè)包含DOA信息的旋轉(zhuǎn)因子φ.

P個(gè)毫米波信號(hào)源,根據(jù)上文信號(hào)轉(zhuǎn)化模型,將毫米波信號(hào)轉(zhuǎn)化成窄帶信號(hào),得到陣列信號(hào)模型:

Y1(fk)=A1(f0)S(fk)+η1(fk)

(22)

Y2(fk)=A2(f0)S(fk)+η2(fk)

(23)

(24)

功率為σ2的理想高斯白噪聲η=σ2I.

子陣列1與子陣列2相差一個(gè)陣元的延遲,因而A1、A2可由以下公式聯(lián)系:

將兩個(gè)接收子陣模型進(jìn)行合并得到

(27)

根據(jù)式(20)可知聚焦后的陣列接收信號(hào)Y(fk)的協(xié)方差矩陣可表示成

(28)

對(duì)式(28)特征分解得到

(29)

P個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量空間US滿足如下關(guān)系：

(30)

存在一個(gè)唯一的非奇異矩陣T滿足:

(31)

陣列的不變結(jié)構(gòu)使US可分解成兩個(gè)子空間US1和US2分別滿足:

US1=A1T
US2=A1φT

并且US1、US2陣列流型張成的信號(hào)子空間有以下關(guān)系:

Rang{US1}=Rang{US2}=Rang{A(θ)}

(32)

由兩個(gè)子陣在陣列流型上的關(guān)系可知

US1=A1T

(33)

將式(33)代入U(xiǎn)S2=A1φT,可得

US2=US1T-1φT=US1ψ

(34)

式(34)反映出Y1和Y2接收信號(hào)的子空間旋轉(zhuǎn)不變性,其中定義ψ=T-1φT.矩陣ψ稱為φ的相似變換,兩者特征值相同,則

ψ=(US1)-1US2

(35)

綜上所述,毫米波信號(hào)的低復(fù)雜度DOA估計(jì)算法簡述如下：

1) 對(duì)接收的毫米波信號(hào)進(jìn)行頻域內(nèi)變換；

2) 構(gòu)造聚焦矩陣T(fk)；

3) 通過聚焦矩陣將各頻點(diǎn)下的方向矩陣聚焦到參考頻點(diǎn)下；

4) 利用ESPRIT算法,得到毫米波信號(hào)DOA 估計(jì).

3 仿真實(shí)驗(yàn)及分析

利用仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)算法進(jìn)行驗(yàn)證,設(shè)天線陣元個(gè)數(shù)為10,各陣元上的噪聲不相關(guān),陣元間距d=λ/2,帶寬為28×109Hz,中心頻率f=30×109Hz,信號(hào)采樣值長度為1 024.三個(gè)遠(yuǎn)場毫米波信號(hào)DOA分別為15°、30°、40°.定義均方根誤差(RMSE)的計(jì)算公式為

(36)

表1為本文算法在信噪比為20、30、40、50 dB情況下得到的DOA估計(jì)均值和RMSE.

表1 DOA估計(jì)均值和RMSETab.1 DOA estimated mean and RMSE

如表1所示,對(duì)比表內(nèi)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn),在20～50 dB信噪比時(shí),隨著信噪比的升高,估計(jì)均值與實(shí)際值之間的差距減小,均方誤差整體呈下降趨勢,估計(jì)精度不斷提高.在同一信噪比下,本文算法對(duì)不同角度的估計(jì)誤差幾乎保持一致,因此可針對(duì)不同的信源方向?qū)崿F(xiàn)穩(wěn)定的角度估計(jì).

如圖3所示,在30 dB的仿真條件下,遠(yuǎn)場信號(hào)DOA分別為15°、30°、40°時(shí),均方根誤差隨著陣元數(shù)的增加而變化且呈下降趨勢,表明均方根誤差受陣元數(shù)的影響.當(dāng)陣元數(shù)達(dá)到70時(shí),陣列中的非相關(guān)噪聲和快衰落的影響被平滑掉,均方根誤差逐漸趨于穩(wěn)定,通常情況下毫米波通信會(huì)用到多天線,實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合預(yù)期設(shè)想.曲線中的數(shù)據(jù)波動(dòng)與實(shí)際的噪聲環(huán)境有關(guān),但不影響整體效果.

如圖4所示,均方根誤差隨信噪比的升高而降低,在中等信噪比情況下估計(jì)性能明顯優(yōu)于其他算法.當(dāng)信噪比達(dá)到40 dB時(shí),均方根誤差穩(wěn)步降低.本文所提出的算法利用各個(gè)信號(hào)的子空間信息且毫米波信號(hào)路徑之間互相正交,減弱了噪聲子空間帶來的誤差,從而在中等信噪比條件下得到更精確的估計(jì)值.

當(dāng)遠(yuǎn)場信號(hào)分別為15°、40°、65°時(shí),對(duì)比不同頻率下三種算法的估計(jì)性能.從圖5可以看出,相比于其他算法,本文所提算法下的均方根誤差隨頻率變化整體波動(dòng)較小,呈現(xiàn)相對(duì)穩(wěn)定的估計(jì)效果.在60 GHz時(shí)三種算法的均方根誤差均有明顯增大,主要由于60 GHz的電磁波信號(hào)在空氣中出現(xiàn)較大程度的衰減.

4 結(jié)論

本文采用毫米波信號(hào)向窄帶信號(hào)轉(zhuǎn)化思想,建立毫米波信號(hào)頻域模型,將各窄帶分量“聚焦”在某參考頻率下,進(jìn)一步利用ESPRIT算法進(jìn)行毫米波DOA估計(jì).該方法提高了中等信噪比情況下的估計(jì)性能,在20～50 dB信噪比范圍內(nèi),均方根誤差隨信噪比升高而降低；隨著天線陣元數(shù)增多,估計(jì)性能顯著提升,且陣元數(shù)達(dá)到70時(shí)可實(shí)現(xiàn)相對(duì)穩(wěn)定的估計(jì)效果.仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文算法的估計(jì)性能隨頻率變化仍保持整體穩(wěn)定狀態(tài),將在毫米波通信系統(tǒng)中發(fā)揮重要作用.