對(duì)高中教材平面向量基本定理的拓展

周如俊

（江蘇省灌南中等專業(yè)學(xué)校，江蘇灌南 222500）

對(duì)【題1】～【題4】及【例1】～【例5】有關(guān)形異質(zhì)同的考題進(jìn)行歸類并拓展，形成平面向量基本定理中雙變量λ，μ系數(shù)之間代數(shù)式求（最）值的問題：已知平面內(nèi)某幾何圖形，常見為三角形、梯形、四邊形、正多邊、圓、圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）等圖形上存在一組基底及任一向量點(diǎn)P一般在上述幾何圖形邊上或內(nèi)部區(qū)域變動(dòng)）求表達(dá)式的（最）值（常數(shù)m,n∈R）.本文在文獻(xiàn)[1]有關(guān)概念基礎(chǔ)上，結(jié)合有關(guān)試題，對(duì)高中數(shù)學(xué)教材中平面向量基本定理內(nèi)容進(jìn)行拓展，從“加、減、乘”三個(gè)思維視角對(duì)雙變量λ，μ系數(shù)問題作簡(jiǎn)要探究．

【題1】（2020年江蘇高考第13 題）如圖1，在△ABC中，AB=4，AC=3，∠BAC=90°，D在邊BC上，延長(zhǎng)AD到P，使得若（m為常數(shù)），則CD的長(zhǎng)度為__________.

圖1

圖2

【題2】（2013年江蘇高考第10 題）如圖2，設(shè)D,E分別是△ABC的邊AB,BC上的點(diǎn)，AD=若為實(shí)數(shù)），則λ1+λ2的值為________．

【題3】（2017年江蘇高考第12 題）如圖3，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量的模分別為與的夾角為α，且tanα=7，的夾角為45°.若（m，n∈R），則m+n= ．

圖3

圖4

【題4】（2009年安徽高考（理）第14 題）給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和它們的夾角為120°.如圖4，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動(dòng).若則x+y的最大值是 ．

一、“加”的思維策略

所謂“加”的思維策略，主要指利用平面向量的等和線性質(zhì)，借助“數(shù)形結(jié)合”將具體的平面向量的雙變量λ，μ系數(shù)之和mλ+nμ（最）值的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為距離的長(zhǎng)短的比例關(guān)系問題的解題策略.

圖5

圖6

（1）定值k的變化與等和線到點(diǎn)O的距離成正比，即

（2）當(dāng)?shù)群途€l與直線AB在O點(diǎn)兩側(cè)時(shí)，k∈(-∞,0)；當(dāng)?shù)群途€l過點(diǎn)O時(shí)，k=0；當(dāng)?shù)群途€l在O點(diǎn)與直線AB之間時(shí)，k∈(0,1)；當(dāng)?shù)群途€l恰為直線AB時(shí)，k=1；當(dāng)直線AB在O點(diǎn)與等和線l之間時(shí)，k∈(1,+∞).

（3）當(dāng)兩等和線關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，則固定值k互為相反數(shù).

以圖5為例作簡(jiǎn)證：

因點(diǎn)P在直線l0上，故平面向量基本定理知：λ+μ=1.

因O，P，P1三點(diǎn)共線，存在實(shí)數(shù)k使得故即kλ+kμ=k(λ+μ)=k.

因AB//A1B1，則由三角形相似比知：k=

等和線類考題求解思維策略是：若所求向量系數(shù)之和為λ+μ情況，先找出λ+μ=1 的直線l0，然后作l0的平行線（等值線）l，最后利用相似比k，求出λ+μ的值即可；若所求的向量系數(shù)之間是mλ+nμ線性關(guān)系，通過調(diào)節(jié)基底，使得所求表達(dá)式成為mλ+nμ兩個(gè)新基底的系數(shù)和，在此新基底情況下，確定系數(shù)和mλ+nμ為1的直線l0情況，將l0平行移動(dòng)到最值時(shí)等和線l位置，通過相似比k求出mλ+nμ即可.

對(duì)文前【題1】～【題4】試題求解作如下簡(jiǎn)析.

【題1】如圖7 所示，本題關(guān)鍵是利用等和線定理求出PD、AD的長(zhǎng)，再在△ADC中利用正弦定理求解即可.

兩系數(shù)和為1 的等和線為BC，過A點(diǎn)作的等和線兩系數(shù)和為

若D與C重合，則CD=0；若D與C不重合，則相似比從而可求PD=，AD=PA-PD=3=AC，從 而 在△ADC中，由正弦定理求出故CD=0 或

圖7

圖8

【題2】作圖8 所示輔助線，易知DF為BG的中位線.等和線l（直線AF即直線DE）的兩向量系數(shù)之和

【題3】【題4】分別作如圖9、圖10 所示等和線．

圖9

圖10

【題3】過C點(diǎn)作等和線l，則

【題4】過C點(diǎn)作等和線l（C點(diǎn)為圓O切點(diǎn)），此向量系數(shù)之和存在最大值：(x+y)max=

【例1】（2017年全國(guó)高考Ⅲ（理）第12 題）如圖11，在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上，若則λ+μ的最大值為________.

圖11

圖12

【簡(jiǎn)析】作如圖11 所示輔助虛線，兩系數(shù)和λ+μ為1 的等和線為l0（即BD直線）；最遠(yuǎn)的等和線為l（即直線P1P），此時(shí)(λ+μ)max=

【例2】（2013年杭州一模第17 題）如圖12，在扇形OAB中為弧上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若則x+3y的取值范圍是________.

二、“減”的思維策略

所謂“減”的思維策略，主要指利用平面向量的等差線性質(zhì)，借助“數(shù)形結(jié)合”將具體的向量的雙變量λ，μ系數(shù)之差mλ-nμ（最）值的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為距離的長(zhǎng)短的比例關(guān)系問題的解題策略.

圖13

（1）同號(hào)的k值之比等于點(diǎn)O到等差線距離之比，即

（2）當(dāng)?shù)炔罹€l與AM延長(zhǎng)線相交時(shí)，k∈(-∞,0)；當(dāng)?shù)炔罹€l恰為直線OM時(shí)，k=0；當(dāng)?shù)炔罹€l在直線OM與點(diǎn)A之間時(shí)，k∈(0,1)；當(dāng)?shù)炔罹€l過點(diǎn)A時(shí)，k=1；當(dāng)?shù)炔罹€l與延長(zhǎng)線MA相交時(shí)，則k∈(1,+∞).

（3）當(dāng)兩等差線關(guān)于OM對(duì)稱時(shí)，則固定值k互為相反數(shù).

以圖13為例，作簡(jiǎn)證：

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)則λ-μ=0；

當(dāng)點(diǎn)P是直線OM（即l0）上異于O、M任意一點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)

當(dāng)點(diǎn)P在與直線OM（即l0）平行的直線l上時(shí)故

等差線類考題求解思維策略是：若所求向量系數(shù)之和為λ-μ情況，先找出λ-μ的直線l0，然后作l0的平行線（等值線）l，最后利用相似比k，求出λ-μ的值即可；若所求的向量系數(shù)之間是mλ-nμ線性關(guān)系，通過調(diào)節(jié)基底，使得所求表達(dá)式成為mλ-nμ兩個(gè)新基底的系數(shù)和，在此新基底情況下，確定系數(shù)和mλnμ為1的直線l0情況，將l0平行移動(dòng)到最值時(shí)等和線l位置，通過相似比k求出mλ-nμ即可.

【例3】（2014年陜西高考（理）第18題）在直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)A(1,1) ，B(2,3)，C(3,2)，點(diǎn)P(x,y)在△ABC三邊圍成的區(qū)域（含邊界）上．

（1）略；

【簡(jiǎn)析】本題命題本質(zhì)是基于等差線的內(nèi)容背景而設(shè)計(jì)試題的，設(shè)BC中點(diǎn)為M，易求出三條平行線的直線方程（如圖14所示）．

圖14

等差線為AM時(shí)：k=m-n=0，過C點(diǎn)等差線時(shí)k=m-n存在最大值，且kmax=m-n=

三、“乘”的思維策略

所謂“乘”的思維策略，主要指利用平面向量的“等積線”性質(zhì)，借助“數(shù)形結(jié)合”，將具體向量的雙變量λ，μ系數(shù)之積的λμ（最）值運(yùn)算轉(zhuǎn)化為利用等積線（雙曲線）上（動(dòng)）點(diǎn)與題設(shè)中向量幾何（位置）之間關(guān)系問題的解題策略.

（1）當(dāng)雙曲線有一支在∠AOB內(nèi)時(shí)，k＞0.

（2）當(dāng)雙曲線兩支都不在∠AOB內(nèi)時(shí)，k＜0.

建立如圖15所示坐標(biāo)系，x軸是∠AOB平分線，作簡(jiǎn)證：

圖15

記點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,y)，則從而有x=(λ+μt)a，y=(λ-μt)b，即

等積線類考題求解思維策略是：首先，確定（或畫出）等積線（即雙曲線）方程（圖象），其次，借助等積線圖象，數(shù)形結(jié)合速解有關(guān)求（最）值問題.

【例4】（2010年上海高考（理）第13 題）如圖16 所示，直線x=2 與雙曲線的漸近線交于E1,E2兩點(diǎn)，記任取雙曲線Γ 上的點(diǎn)P，若b∈R），則a、b滿足的一個(gè)等式是______.

【簡(jiǎn)析】本題點(diǎn)P在以直線OE1，OE2為漸近線的等積線（雙曲線），漸近線方程為y=點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），E2點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1），由等積線定理知：4×1×(ab)×22=4，即ab=

圖16

【例5】（浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)2020 屆高三5 月高考仿真測(cè)試數(shù)學(xué)試題）已知平面向量a，b，c，d滿 足，a·c=b·c=0,c·d=0 ，若平面向量s=xa+yb（x,y＞0 且xy=1），則的最小值是___________.

【簡(jiǎn)析】本題命題的核心是“s=xa+yb（x,y＞0 且xy=1）”條件中隱含著等積線的性質(zhì)內(nèi)容，其中“t=1,λμ=1”.

因s=xa+yb（x,y＞0 且xy=1），由等積線定理知：向量終點(diǎn)S(m,n)在等積線（雙曲線）上（如圖18）.

圖17

圖18

事實(shí)上拓展平面向量基本定理還有等商線定理、等平方和線定理以及等和面定理，他們的性質(zhì)也是命題者未來(lái)可能關(guān)注的拓展點(diǎn)，限于篇幅不再贅述.