“判別式法”在追及、相遇問題中的巧妙運(yùn)用

毛廣文

“判別式法”是數(shù)學(xué)中常用的一個(gè)解題方法，若將此方法引入到物理的學(xué)習(xí)中，則可以使得物理問題的解答更加嚴(yán)謹(jǐn)和靈活。比如，在處理追及、相遇問題時(shí)，根據(jù)兩物體的位移關(guān)系列出關(guān)于時(shí)間t 的一元二次方程，得出相遇時(shí)間t 的表達(dá)式，就可以通過對(duì)時(shí)間t的解來討論相遇的可能性及相遇的次數(shù)，即通過對(duì)關(guān)于時(shí)間t 的一元二次方程的判別式“Δ=b2-4ac”的討論來確定物體是否能夠相遇，以及相遇的次數(shù)。下面舉例說明。

例1 甲、乙兩物體相距s，同時(shí)同向沿同一直線運(yùn)動(dòng)，物體甲在前面做初速度為零、加速度為a1的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，物體乙在后面做初速度為v0、加速度為a2的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則( )。

A.若a1=a2，則兩物體只能相遇一次

B.若a1＞a2，則兩物體可能相遇兩次

C.若a1＜a2，則兩物體可能相遇兩次

D.若a1＞a2，則兩物體可能相遇一次或不相遇

討論：

(1)當(dāng)a1＜a2時(shí)，判別式“Δ”一定大于零，且 Δ ＞v0，時(shí)間t 有兩解，但因時(shí)間t 不能為負(fù)值，故只有一解有物理意義，即兩物體只能相遇一次，選項(xiàng)C錯(cuò)誤。

(3)當(dāng)a1＞a2時(shí)，判別式“Δ”的值由v0、a1、a2、s共同決定，可能小于零、等于零或大于零，且 Δ ＜v0。若v20＜2(a1-a2)s，即判別式“Δ”的值小于零，則關(guān)于時(shí)間t的方程無解，故兩物體不相遇；若v20=2(a1-a2)s，即判別式“Δ”的值等于零，則關(guān)于時(shí)間t的方程只有一個(gè)解，故兩物體相遇一次；若v20＞2(a1-a2)s，即判別式“Δ”的值大于零，則關(guān)于時(shí)間t的方程有兩個(gè)正解，故兩物體相遇兩次。因此當(dāng)a1＞a2時(shí)，兩物體可能不相遇、相遇一次或相遇兩次，選項(xiàng)B、D 正確。

答案：ABD

本題采用一元二次方程的判別式進(jìn)行分析、解答，顯得簡(jiǎn)潔、明快。為同學(xué)們進(jìn)行抽象思維和邏輯推理訓(xùn)練提供了有效方法。

例2 甲、乙兩質(zhì)點(diǎn)相距s，質(zhì)點(diǎn)乙在前，質(zhì)點(diǎn)甲在后，沿著同一條直線，向同一方向同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)甲以速度v 做勻速運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)乙由靜止開始以加速度a 做勻加速運(yùn)動(dòng)，在什么情況下質(zhì)點(diǎn)甲才能追上乙? 在什么情況下質(zhì)點(diǎn)甲追不上乙?

設(shè)兩質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則甲、乙兩質(zhì)點(diǎn)的位移分別為

討論：

(1)當(dāng)Δ=v2-2as＜0，即v＜ 2as時(shí)，方程無解，表明當(dāng)質(zhì)點(diǎn)甲做勻速運(yùn)動(dòng)的速度小于 2as時(shí)，質(zhì)點(diǎn)甲不可能追上乙。

(2)當(dāng)Δ=v2-2as=0，即v= 2as時(shí)，方程有唯一解，表明當(dāng)質(zhì)點(diǎn)甲做勻速運(yùn)動(dòng)的速度等于 2as時(shí)，質(zhì)點(diǎn)甲可以追上乙，且兩質(zhì)點(diǎn)只相遇一次。

(3)當(dāng)Δ=v2-2as＞0，即v＞ 2as時(shí)，方程有兩解，表明當(dāng)質(zhì)點(diǎn)甲做勻速運(yùn)動(dòng)的速度大于 2as時(shí)，質(zhì)點(diǎn)甲可以追上乙，且第一次追上質(zhì)點(diǎn)乙時(shí)的速度大于乙，之后將超過乙，隨著質(zhì)點(diǎn)乙速度的增大，質(zhì)點(diǎn)乙將追上甲并超過甲，故兩質(zhì)點(diǎn)相遇兩次，相遇的時(shí)間分別為方程的兩個(gè)解。

火車甲正以速度v1勻速行駛，司機(jī)突然發(fā)現(xiàn)前方距自己d 處有火車乙正以較小速度v2同向勻速行駛，于是他立即剎車，使火車甲做勻減速運(yùn)動(dòng)而停下。為了使兩列火車不相撞，加速度a 應(yīng)滿足什么條件?