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    函數(shù)零點應用問題的熱門考點剖析

    2020-11-04 04:48:30王玉新
    中學生數(shù)理化·高一版 2020年10期
    關(guān)鍵詞:供給量二分法需求量

    王玉新

    函數(shù)零點應用問題是高考的??键c。下面就常見考點,舉例分析,供大家學習與參考。

    考點一:應用函數(shù)零點求取值范圍

    解答這類問題,如果題設中有關(guān)于函數(shù)零點的條件,就不能把函數(shù)零點看成一個概念,而應該抓住零點與函數(shù)圖像的特征以及零點存在的判斷條件,從而達到函數(shù)零點的解題功效。

    對于0<x1<x0,f x1( )的值恒為正值,即f x1( )的取值范圍是0,+∞( )。

    當函數(shù)具有單一的單調(diào)性,而又存在零點時,則在這個零點的左右兩側(cè)的函數(shù)值異號,即在這個零點的左右兩側(cè)函數(shù)值恒為正或恒為負。本題的解答正是抓住了這一點,解決了函數(shù)值f x1( )的取值范圍。

    考點二:應用二分法求函數(shù)的零點或方程的近似解

    給定精度ε,用二分法求函數(shù)f(x)的零點近似值的步驟如下:第1 步,確定區(qū)間[a,b],驗證f(a)·f(b)<0,給定精度ε;第2步,求區(qū)間(a,b)的中點x1;第3 步,計算f(x1),①若f(x1)=0,則x1就是函數(shù)的零點,②若f(a)·f(x1)<0,則令b=x1(此時零點x0∈(a,x1)),③若f(x1)·f(b)<0,則令a=x1(此時零點x0∈(x1,b));第4步,判斷是否達到精度ε,即若|a-b|<ε,則得到零點值a(或b),否則重復步驟2~4。

    例2 用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x在區(qū)間(1,2)內(nèi)的近似解(精確到0.1)。

    解:原方程可化為ln(2x+6)-3x+2=0。令f(x)=ln(2x+6)-3x+2,用計算器得到如表1所示的對應值。

    表1

    觀察表中對應值,可知零點在(1,2)內(nèi)。

    取區(qū)間中點x1=1.5,由f(1.5)≈-1.00<0,可知零點在(1,1.5)內(nèi);再取區(qū)間中點x2=1.25,由f(1.25)≈0.20>0,可知零點在(1.25,1.5)內(nèi)。

    同理取區(qū)間中點 x3= 1.375,由f(1.375)≈-0.39<0,可知零點在(1.25,1.375)內(nèi);取區(qū)間中點x4=1.3125,由f(1.3125)≈-0.074<0,可知零點在(1.25,1.3125)內(nèi)。

    由于區(qū)間(1.25,1.3125)內(nèi)任一值精確到0.1后都是1.3,故方程ln(2x+6)+2=3x在區(qū)間(1,2)內(nèi)的近似解是1.3。

    解答這類問題的關(guān)鍵是要確定零點所在的大致區(qū)間。所求的區(qū)間長度應盡量小,否則會增加運算次數(shù)和運算量。解題時應注意運算的準確性,也應注意對精確度的要求。本題充分展示了利用二分法求方程近似解的過程,同時使同學們學會了借助精度終止二分法的過程。

    考點三:二分法在經(jīng)濟技術(shù)中的應用

    市場經(jīng)濟價格自行調(diào)整,若供過于求,價格會跌落,若供不應求,價格會上漲,找一個價格平衡點,應怎樣找? 不妨試著求一下。

    例3某農(nóng)貿(mào)市場出售的西紅柿,當價格上漲時,供給量相應增加,而需求量相應減少,具體調(diào)查結(jié)果如表2,表3所示。

    表2_

    表3

    據(jù)以上提供的信息,市場供需平衡點(即供給量和需求量相等時的單價)應在區(qū)間( )。

    A.(2.3,2.6) B.(2.4,2.6)

    C.(2.6,2.8) D.(2.4,2.8)

    解:A 中供給量在(50,70)之間,需求量在(70,75)之間,供給量不足,排除A,B 中的供給量不足。易知D 中的供給量也不足。應選C。

    或者,建立直角坐標系,以橫坐標表示供給量(需求量),縱坐標表示價格,利用所給數(shù)據(jù)在坐標系內(nèi)描點,畫出供給量線和需求量線(折線),即擬合曲線,供給量線和需求量線的交點即為市場供需平衡點(圖略)。從圖中可以看出市場供需平衡點應在(2.6,2.8)內(nèi)。

    充分閱讀題目,理解題意,把兩表中的信息與題目要求結(jié)合起來,可找答案。利用數(shù)形結(jié)合的思想方法處理本題也是一個不錯的解法。

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