基于伽馬范數(shù)最小化的圖像去噪算法

王洪雁，王拓，潘勉，汪祖民

（1.浙江理工大學(xué)信息學(xué)院，浙江 杭州 310018；2.大連大學(xué)信息工程學(xué)院，遼寧 大連 116622；3.五邑大學(xué)智能制造學(xué)部，廣東 江門 529020；4.杭州電子科技大學(xué)電子信息學(xué)院，浙江 杭州 310018）

1 引言

數(shù)字圖像在采集和傳輸過程中不可避免地受到噪聲污染，從而造成圖像細(xì)節(jié)丟失和質(zhì)量下降，進(jìn)而影響后續(xù)處理[1-2]。圖像去噪的目的則是從噪聲圖像y中盡可能準(zhǔn)確地恢復(fù)原始圖像x，并保留邊緣、紋理等重要細(xì)節(jié)特征。去噪問題退化模型可表示為y=x+v，其中，v可假設(shè)為均值為0、方差為的高斯白噪聲。由于圖像去噪的不適定性，利用表征圖像統(tǒng)計(jì)特征的先驗(yàn)知識(shí)去噪顯得尤其重要[3-4]。

近年來，眾多圖像降噪算法相繼被提出，其大致可分為以下兩類：基于局部先驗(yàn)的方法和基于非局部自相似（NSS,nonlocal self-similarity）先驗(yàn)的方法。基于局部先驗(yàn)的方法主要包括基于小波收縮（WS,wavelet shrinkage）[5]、全變分（TV,total variation）[6]和基于模擬退火的改進(jìn)圖像去噪（PID,progressive image denoising）[7]。然而，上述方法僅考慮局部先驗(yàn)知識(shí)，忽視非局部圖像塊間相似性先驗(yàn)信息，從而導(dǎo)致算法的去噪性能較差。非局部自相似先驗(yàn)可表述為給定圖像某局部塊，利用該圖像非局部相似塊之間的線性相關(guān)特性，搜尋與給定圖像塊相似的其他局部塊。實(shí)踐表明，NSS作為先驗(yàn)信息，在圖像恢復(fù)任務(wù)中效果甚佳[8]?；诖?，文獻(xiàn)[9]提出一種非局部均值（NLM,nonlocal means）去噪算法，通過對(duì)相似圖像塊加權(quán)平均，可獲得較好的去噪性能，但當(dāng)噪聲等級(jí)較高時(shí)，由于相似圖像塊包含大量噪聲，從而導(dǎo)致去噪圖像存在大面積模糊現(xiàn)象。針對(duì)此問題，文獻(xiàn)[10]提出一種三維塊匹配（BM3D,block matching 3D filtering）算法，將具有相似結(jié)構(gòu)的2D圖像塊構(gòu)造為三維數(shù)據(jù)，而后聯(lián)合去噪來改善去噪性能，但較高時(shí)間復(fù)雜度限制了其實(shí)際應(yīng)用。基于此，文獻(xiàn)[11]提出一種非局部集中稀疏表示（NCSR,non-locally centralized sparse representation）算法，將相似圖像塊構(gòu)造為矩陣，利用組稀疏方法改善去噪性能。然而，該算法所得去噪圖像存在關(guān)鍵細(xì)節(jié)模糊等問題[12]。針對(duì)以上問題，研究人員注意到將非局部相似圖像塊以向量形式構(gòu)造為矩陣會(huì)具有低秩特性及稀疏奇異值[13]，因而可以考慮利用低秩先驗(yàn)信息提升去噪性能?；诖?，文獻(xiàn)[14]提出一種核范數(shù)最小化（NNM,nuclear norm minimization）算法，利用核范數(shù)近似秩函數(shù)來構(gòu)建低秩去噪模型，從而獲得較好的去噪性能。然而該算法均衡處理各個(gè)奇異值，忽視了各奇異值不同程度地反映圖像紋理等先驗(yàn)信息這一基本事實(shí)，從而導(dǎo)致去噪性能提升有限。針對(duì)此問題，文獻(xiàn)[15]提出一種加權(quán)核范數(shù)最小化（WNNM,weighted nuclear norm minimization）算法，利用加權(quán)核范數(shù)近似秩函數(shù)，通過對(duì)奇異值賦予不同權(quán)值來改善去噪性能。然而，利用核范數(shù)近似秩函數(shù)將過度懲罰較大奇異值，從而導(dǎo)致去噪問題，只能獲得次優(yōu)解。此外，在網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及學(xué)習(xí)算法的驅(qū)動(dòng)下，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（CNN,convolutional neural network）在圖像去噪領(lǐng)域的應(yīng)用受到越來越多的關(guān)注[16]。其中，Zhang等[17]基于殘差學(xué)習(xí)理論提出去噪卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（DnCNN,denoising convolutional neural network），其通常針對(duì)單個(gè)噪聲水平學(xué)習(xí)特定模型，因而在處理包含不同噪聲水準(zhǔn)圖像時(shí)需要生成多去噪模型，由此顯著增加了網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度，從而限制了此網(wǎng)絡(luò)的實(shí)際應(yīng)用。針對(duì)此問題，Zhang等[18]通過將噪聲水平圖及含噪圖像作為網(wǎng)絡(luò)輸入，提出快速靈活去噪卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（FFDNet,fast and flexible denoising convolutional neural network）以處理不同噪聲水準(zhǔn)及空域變化噪聲，由于輸入噪聲水平圖能夠靈活權(quán)衡去噪程度及圖像細(xì)節(jié)保持水平，因而此網(wǎng)絡(luò)可對(duì)實(shí)際圖像實(shí)現(xiàn)有效去噪。必須指出的是，盡管基于CNN的去噪方法行之有效，然而其面臨特性重用問題，并且無法充分利用層數(shù)增加和大卷積核所導(dǎo)致的巨量參數(shù)，因而導(dǎo)致此類模型去噪性能提升有限[19]。

針對(duì)上述問題，基于可近乎無偏近似秩函數(shù)的非凸伽馬范數(shù)（γ-norm）[20]及低秩去噪模型，本文提出一種基于非凸伽馬范數(shù)最小化的圖像去噪算法。所提算法首先利用結(jié)構(gòu)相似性（SSIM,structural similarity）搜索相似圖像塊，避免傳統(tǒng)方法相似圖像塊搜索不準(zhǔn)確；然后利用伽馬范數(shù)近乎無偏的近似矩陣秩函數(shù)以構(gòu)建低秩去噪模型，從而解決傳統(tǒng)秩函數(shù)近似方法估計(jì)精度較差的問題；最后基于奇異值分解對(duì)此非凸問題進(jìn)行求解。仿真結(jié)果表明，與現(xiàn)有主流PID、NLM、BM3D、NNM、WNNM、DnCNN和FFDNet算法相比，所提算法可較顯著地消除高斯噪聲，且可以較高精度恢復(fù)原始圖像細(xì)節(jié)。

2 低秩去噪模型

對(duì)所有重疊塊執(zhí)行上述操作并重組，即可構(gòu)建原始圖像。然而，核范數(shù)為有偏估計(jì)量，其近似秩函數(shù)可能過懲罰較大奇異值，從而導(dǎo)致核范數(shù)最小化問題無法獲得最優(yōu)解，進(jìn)而降低去噪性能[24]。針對(duì)此問題，本文采用非凸伽馬范數(shù)代替核范數(shù)以獲得秩函數(shù)近乎無偏估計(jì)，進(jìn)而改善低秩去噪性能。

3 所提圖像去噪算法

本節(jié)首先提出一種自適應(yīng)非局部相似圖像塊搜索方法，然后簡要介紹伽馬范數(shù)，并基于最小化非凸伽馬范數(shù)來構(gòu)建圖像去噪模型，最后利用奇異值分解對(duì)所得優(yōu)化問題進(jìn)行求解。

3.1 自適應(yīng)相似圖像塊搜索方法

傳統(tǒng)基于歐氏距離的非局部相似圖像塊搜索方法未考慮圖像塊的結(jié)構(gòu)相似性，從而導(dǎo)致非局部相似圖像塊搜索不準(zhǔn)確[25]。為提高相似圖像塊搜索準(zhǔn)確度，本文提出一種基于SSIM的自適應(yīng)相似圖像塊搜索方法。SSIM是一種綜合圖像相似性的評(píng)價(jià)指標(biāo)[26]，考慮圖像間亮度、對(duì)比度和結(jié)構(gòu)3 個(gè)不同特性，可較好評(píng)價(jià)兩幅圖像的相似程度。給定兩幅圖像x和y，SSIM定義為

自適應(yīng)相似圖像塊搜索方法的主要思想簡述如下：給定當(dāng)前圖像塊yi和目標(biāo)數(shù)據(jù)集，計(jì)算當(dāng)前圖像塊與目標(biāo)數(shù)據(jù)集各圖像塊的SSIM，并據(jù)此搜索與當(dāng)前圖像塊最相似的m個(gè)圖像塊。其中，相似塊數(shù)m需根據(jù)噪聲等級(jí)自適應(yīng)確定。然后將各相似圖像塊轉(zhuǎn)換為列向量，并按相似度降序自左向右依次排列以組成相似圖像塊矩陣Yi，構(gòu)建過程如圖1所示。

圖1 相似圖像塊矩陣構(gòu)建過程

綜上所述，所提相似圖像塊搜索方法可充分利用圖像非局部自相似的先驗(yàn)信息，提高相似圖像塊的搜索準(zhǔn)確性?；谒@得相似圖像塊Yi，本文所提基于伽馬范數(shù)最小化的圖像去噪模型如3.2節(jié)所述。

3.2 伽馬范數(shù)最小化模型

伽馬范數(shù)是非凸MCP（minmax concave plus）函數(shù)的矩陣擴(kuò)展，相比有偏估計(jì)核范數(shù)，其近乎無偏近似秩函數(shù)[27]。設(shè)矩陣X的奇異值分解為X=U ΣVT，其中，U=[u1…un]，V=[v1…vn]，Σ=diag(λ1…λn)，且λ1≥ …≥λn≥ 0，則伽馬范數(shù)可定義為[20]

基于伽馬范數(shù)可近乎無偏地近似秩函數(shù)的特性，本文用其替換式(1)中的低秩項(xiàng)，構(gòu)建非凸伽馬范數(shù)最小化去噪模型，可表示為

3.3 所提非凸模型求解

為便于表述，令X=Xi，Y=Yi，則優(yōu)化問題式(8)的解的推導(dǎo)過程為

由于式(14)右端第一項(xiàng)與待優(yōu)化變量X無關(guān)，則y(X)關(guān)于X的最小化問題等價(jià)于?(ξi)關(guān)于ξi的最小化問題，由此?(ξi)可重新表示為

對(duì)各重疊圖像塊依次求解上述優(yōu)化問題，即可求得所有去噪相似圖像塊矩陣{Xi},i=1,2,…,n，進(jìn)而基于文獻(xiàn)[15]圖像塊重組方法重構(gòu)去噪圖像x。實(shí)際應(yīng)用中，可重復(fù)迭代以上步驟以獲得較好的去噪性能。綜上所述，基于非凸伽馬范數(shù)最小化的圖像去噪算法如算法1 所示，其中，步驟3)迭代正則化過程用以改善算法的去噪性能[28]。

算法1基于非凸伽馬范數(shù)最小化的圖像去噪算法

4 實(shí)驗(yàn)仿真及分析

實(shí)驗(yàn)基于標(biāo)準(zhǔn)圖像庫中如下6 幅圖像（如圖2 所示）：256 像素×256 像素Monarch、720 像素×576 像素Boats、512 像素×512 像素Lena、512 像素×512 像素Pepper、256 像素×256 像素House和720 像素×576像素 Barbara，采用PID[7]、NLM[9]、BM3D[10]、NNM[14]、WNNM[15]、DnCNN[17]和FFDNet[18]作為對(duì)比算法，分別從去噪性能和運(yùn)行時(shí)間兩方面驗(yàn)證所提算法的有效性。實(shí)驗(yàn)環(huán)境為Intel Core i7-8700，主頻為3.70 GHz，內(nèi)存為16 GB，操作系統(tǒng)為Windows 10，仿真軟件為Python3.6。

為定量評(píng)估所提算法的去噪性能，本文采用文獻(xiàn)[29]所定義的峰值信噪比（PSNR,peak signal to noise ratio）作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，即

其中，MSE 表示均方誤差（mean square error），M×N為兩幅圖像x和y的尺寸。

4.1 參數(shù)設(shè)置

依據(jù)實(shí)驗(yàn)，確定搜索窗口尺寸L×L為30 × 30，圖像塊尺寸、相似圖像塊數(shù)m及算法迭代次數(shù)K需根據(jù)噪聲等級(jí)自適應(yīng)確定。對(duì)于噪聲方差為σn≤ 20、20<σn≤ 40、40<σn≤ 60和σn>60的噪聲圖像，圖像塊尺寸分別設(shè)為6 × 6、7 × 7、8 × 8和9 × 9，相似圖像塊數(shù)m分別設(shè)為70、90、120 和140。相應(yīng)地，迭代次數(shù)K分別設(shè)為8、12、14 和14。參數(shù)δ、λ和γ分別設(shè)為0.1、0.001 和100。此外，DnCNN以及FFDNet的參數(shù)設(shè)置類似于文獻(xiàn)[17-18]，不同的是，此二者皆基于文獻(xiàn)[17]所用數(shù)據(jù)集中所選的200 幅圖像進(jìn)行20 次迭代訓(xùn)練。

4.2 去噪性能

圖3 各測(cè)試圖像條件下不同算法所得PSNR 隨噪聲方差的變化曲線

表1 不同去噪算法PSNR 對(duì)比

6 幅測(cè)試圖像分別添加均值為0、方差分別為σn=10,30,50,70,90,100的高斯白噪聲來生成噪聲圖像?；谒迷肼晥D像，PID、NLM、BM3D、NNM、WNNM、DnCNN、FFDNet及本文所提算法所得PSNR隨噪聲方差的變化曲線如圖3 所示。不同測(cè)試圖像及噪聲方差條件下所得PSNR的具體數(shù)據(jù)如表1 所示（由于篇幅限制，本文只列出σn=10,30,50,100條件下的去噪結(jié)果），各實(shí)驗(yàn)最高PSNR用粗體表示。由圖3 及表1 可知，NLM去噪性能不明顯，這是因?yàn)镹LM僅對(duì)相似圖像塊加權(quán)平均，而沒有考慮噪聲本身特性；PID基于全域搜素的模擬退火算法進(jìn)行去噪，因而去噪效果稍好于NLM；NNM和WNNM考慮了含噪圖像的低秩特性，因而可獲得較好的去噪效果，且由于WNNM對(duì)含噪圖像奇異值差異性加權(quán)充分利用圖像先驗(yàn)信息，從而使其降噪效果優(yōu)于NNM；BM3D由于利用了相似圖像塊結(jié)構(gòu)約束聯(lián)合去噪，從而使其在非學(xué)習(xí)算法中脫穎而出，去噪效果明顯優(yōu)于上述算法。再者，基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的DnCNN模型從訓(xùn)練集中估計(jì)噪聲信息，因而僅當(dāng)待去噪圖像噪聲水平接近訓(xùn)練集噪聲水準(zhǔn)時(shí)，降噪效果才較理想，而FFDNet模型則將噪聲水平圖作為先驗(yàn)輸入，因而可顯著提升降噪效果。此外，所提算法在多數(shù)情況下皆可獲得較高的PSNR，且相較于PID、NLM、BM3D、NNM、WNNM、DnCNN和FFDNet算法，所提算法PSNR在噪聲水平為σn=10條件下分別平均提高0.44 dB、1.6 dB、0.33 dB、1.15 dB、0.22 dB、0.53 dB和0.43 dB，且隨著噪聲等級(jí)提高，PSNR改善更顯著，此可歸因于所提算法利用SSIM塊匹配以提高相似圖像塊搜索準(zhǔn)確度，且基于非凸伽馬范數(shù)改善了秩函數(shù)的近似精度。由此可知，相比其他7 種算法，所提算法在不同噪聲等級(jí)下均有較好的去噪性能。

對(duì)于噪聲方差σn=50的House圖像和噪聲方差σn=100的Boats 圖像，不同算法去噪結(jié)果分別如圖4和圖5 所示。

圖4 House 圖像去噪結(jié)果（σn=50）

圖5 Boats 圖像去噪結(jié)果（σn=100）

由圖4 和圖5 可知，NLM去噪圖像存在大面積模糊現(xiàn)象，去噪效果較差，這是由于其搜索相似圖像塊中存在大量噪聲，且僅利用加權(quán)平均相似圖像塊去噪的緣故；NNM利用矩陣低秩先驗(yàn)可有效避免圖像大面積模糊現(xiàn)象，然而其均衡處理各個(gè)奇異值，導(dǎo)致去噪圖像存在關(guān)鍵細(xì)節(jié)模糊和丟失等問題，比如圖5(e)中船只的部分桅桿明顯缺失；盡管WNNM可較有效地消除噪聲，卻存在圖像細(xì)節(jié)丟失和紋理偽影等問題，此現(xiàn)象可歸因于平均化過程中相似度度量收集了一些不相關(guān)的候選圖像塊；PID利用空域和頻域聯(lián)合處理及退火算法，有效解決去噪圖像關(guān)鍵細(xì)節(jié)丟失問題，但仍存在細(xì)節(jié)模糊現(xiàn)象；BM3D則利用聯(lián)合濾波方法，獲得了較好的去噪效果，但由于其過于平滑圖像，使圖像信息丟失較多，進(jìn)而導(dǎo)致去噪圖像存在較強(qiáng)的偽影現(xiàn)象。再者，基于深度網(wǎng)絡(luò)的DnCNN模型的降噪效果取決于訓(xùn)練集，僅當(dāng)去噪圖像噪聲水平接近于訓(xùn)練集噪聲水準(zhǔn)時(shí)，才可獲得較好的去噪效果，并且此模型無法較好地保持圖像細(xì)節(jié)，且存在過度平滑現(xiàn)象；當(dāng)噪聲水平較低時(shí)，將噪聲水平圖作為先驗(yàn)信息的FFDNet模型可保留圖像細(xì)節(jié)，但在光滑區(qū)域仍具有較多噪聲；當(dāng)噪聲水平較高時(shí)，F(xiàn)FDNet模型可較有效地去除噪聲，然而會(huì)平滑關(guān)鍵細(xì)節(jié)。此外，所提算法采用基于結(jié)構(gòu)相似性指數(shù)的相似圖像塊搜索方法，并利用非凸伽馬范數(shù)近乎無偏近似矩陣秩函數(shù)以克服上述缺點(diǎn)，進(jìn)而改善算法的去噪性能。由圖4(f)和圖5(f)可知，所提算法去噪圖像偽影現(xiàn)象較弱，且可較好地恢復(fù)邊緣、紋理等關(guān)鍵細(xì)節(jié)特征。

綜上所述，在不同等級(jí)高斯噪聲條件下，所提算法的去噪性能比其他7 種算法改善顯著，其不僅可有效避免去噪圖像模糊及偽影現(xiàn)象，且可較好地恢復(fù)原始圖像的關(guān)鍵細(xì)節(jié)信息。需要注意的是，盡管所提算法具有較好的去噪效果，然而由于結(jié)構(gòu)相似性指數(shù)在某些區(qū)域不穩(wěn)定，且依賴于輸入?yún)?shù)的絕對(duì)值，因而基于結(jié)構(gòu)相似性指數(shù)的相關(guān)算法穩(wěn)健性較差[30]。針對(duì)此問題，后續(xù)研究將構(gòu)建區(qū)域及輸入?yún)?shù)不敏感的相似度量指標(biāo)，以提升去噪算法的穩(wěn)健性。

4.3 時(shí)間復(fù)雜度分析

實(shí)驗(yàn)選取標(biāo)準(zhǔn)圖像庫中的6 幅測(cè)試圖像，并在上述計(jì)算平臺(tái)評(píng)估不同算法的平均運(yùn)行時(shí)間，測(cè)試結(jié)果如表2 所示。由表2 可知，非學(xué)習(xí)算法中的BM3D運(yùn)行速度快于NLM、NNM、WNNM、PID和所提算法，其主要原因在于NLM、NNM、WNNM和所提算法采用圖像塊提取及相似圖像塊搜索操作較耗時(shí)，且NNM、WNNM和所提算法因?yàn)閷?duì)相似圖像塊矩陣進(jìn)行奇異值分解及多次迭代去噪操作，所以算法運(yùn)行時(shí)間較長，而BM3D雖然包含圖像塊提取及相似圖像塊搜索操作，但代碼優(yōu)化后算法運(yùn)行速度顯著加快。其次，由表2 可知，基于深度網(wǎng)絡(luò)的DnCNN、FFDNet模型運(yùn)行速度快于其他非學(xué)習(xí)方法，且由于FFDNet網(wǎng)絡(luò)深度比較淺，因此其運(yùn)行時(shí)間小于DnCNN，然而，此二者需要額外的訓(xùn)練時(shí)間，且在訓(xùn)練樣本較少時(shí)并不具有優(yōu)勢(shì)。再者，所提算法與NNM運(yùn)行時(shí)間相近，但由于所提算法采用基于SSIM的相似圖像塊搜索方法，平均耗時(shí)比NNM長。需要注意的是，犧牲運(yùn)算效率所換來的收益為不同噪聲等級(jí)下所提算法較好的去噪性能，即不僅可較顯著地抑制噪聲，且可較好地避免偽影及細(xì)節(jié)模糊現(xiàn)象。此外，如前所述，所提算法基于SSIM搜素相似圖像塊，且需對(duì)相似圖像塊矩陣進(jìn)行奇異值分解，因而計(jì)算復(fù)雜度相較于其他算法較高。針對(duì)此問題，在后續(xù)研究中，將基于圖像亮度等先驗(yàn)信息縮小相似搜索區(qū)域，以加速搜索速度；基于相似圖像塊間強(qiáng)相關(guān)事實(shí)對(duì)相似圖像塊矩陣施加低秩等結(jié)構(gòu)約束，以減少奇異值分解的數(shù)據(jù)量，從而降低所提算法的計(jì)算復(fù)雜度，進(jìn)而提升其實(shí)時(shí)性。

表2 不同算法平均運(yùn)行時(shí)間對(duì)比

5 結(jié)束語

針對(duì)高斯噪聲條件下去噪圖像存在偽影及細(xì)節(jié)模糊問題，基于可近乎無偏近似秩函數(shù)的非凸伽馬范數(shù)及低秩去噪模型，提出一種基于伽馬范數(shù)最小化的圖像去噪算法。首先基于綜合亮度、對(duì)比度以及結(jié)構(gòu)的SSIM構(gòu)造相似圖像塊矩陣，可以避免傳統(tǒng)方法相似圖像塊搜索不準(zhǔn)確的缺點(diǎn)；然后利用非凸伽馬范數(shù)構(gòu)建低秩去噪模型，以解決傳統(tǒng)秩函數(shù)近似方法估計(jì)精度較差的問題；最后基于奇異值分解求解所得非凸問題并重組去噪圖像塊以獲得去噪圖像。仿真結(jié)果表明，與現(xiàn)有主流PID、NLM、BM3D、NNM、WNNM、DnCNN、FFDNet等算法相比，所提算法雖因奇異值分解和多次迭代操作具有較高的計(jì)算復(fù)雜度，然而不同噪聲等級(jí)下其具有比其他算法更好的去噪性能，即所提算法可較顯著地消除高斯噪聲，且可較好地避免偽影及細(xì)節(jié)模糊，恢復(fù)邊緣及紋理等細(xì)節(jié)特征，因而可獲得較高的圖像重構(gòu)精度。